复旦附中 2022 学年第一学期高三年级数学拓展练习 2 2022.9 一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，第 1—6 题每题 4 分，第 7—12 题每 题 5 分． 1．设 A  2,3  2．不等式 ， x3  B  1,5  uuur uuur 7 9 � 2 2 的解集是______． 3．已知随机变量 X 的方差 4．设函数 uuur ，且 AD  3 AB ，则 AD 的坐标表示为______． y  f  x D X   1 D  Y   ______． ，则随机变量 Y  3 X  2 的方差 是定义在 R 上周期为 3 的奇函数，且 f  1  2 ，则 f  2022   f  2023  ______． 10 1 � � 5．二项式 � x  3 � 展开式中的常数项是______． x� � AC  2 3 ，则△ABC 的面积是______． 6．在△ABC 中，若 �B  60� ， AB  2 ， r f x  3 cos x  sin x n   a, 0   a  0  平移，所得图像对应   7．将函数 的图像按向量 的函数为偶函数，则 a 的最小值为______． 8．若数列  an  的通项公式是 an  3 n   2   n 1 ，则数列  an  的各项和为______． y 9．已知复数  x  4   yi  x, y �R  的模为 2，则 x 的最大值是______． 10．如图所示，直三棱柱 E是 AA1 的中点，O 是 ABC  A1B1C1 C1B1 的中点．则异面直线 11．设 A  x1 , y1  离”为： L  A, B   x1  x2  y1  y2 顿距离” L  A, B  、 的体积为 8，且 AB  AC  2 ， �BAC  90� ， B  x2 , y2  C1 E 与 BO 所成角的余弦值为______． 是平面直角坐标系上的两点，定义点 A 到点 B 的“曼哈顿距 ．若点 A  1,1 ，点 B 在抛物线 y  x 上，则“曼哈 2 的最小值为______． : 12．已知双曲线 x2 y 2  1 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ．点 P 坐标为 P  4, 2  ，双 16 9 uuur uuur uuuur uuur QF1 � PF1 F2 F1 � PF  uuuur 1 ，记 曲线 上第一象限内的点 Q 满足 uuur 、 分别为 QF1 F2 F1 S△ F1PQ S△ F2 PQ  △ F1PQ 、 △ F2 PQ 的面积，则 S△△F1PQ  S F2 PQ  ______． 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，请在答题纸 的相应编号上将代表答案的小方格涂黑． 13．现有 8 个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为（ （A） P53 � P33 （B） P88  P66 � P33 （C） P63 � P55 （D） ）． P88  P64 uuur uuur uuur uuur uuur uuu r r AB  AC  BC AB  BC  CA  0 ；③若 14．在△ABC 中，有如下的命题：① ；② uuur uuur uuur uuur uur uuu r  AB  AC  � AB  AC   0 ，则△ABC 是等腰三角形；④若 uAB � CA  0 ，则△ABC 为 锐角三角形．以上命题正确的是（ ）． （A）②③ （B）①④ �x  1 2 15．已知 f  x   � �x  1 （A） y  f  x  1 （C） y  f  x  的图像 （C）①② （D）②③④ x � 1, 0  x � 0,1 ，则下列函数的图像错误的是（ 的图像 （B） y  f  x （D） y  f  x  的图像 的图像 16．对于一个古典概型的样本空间  和事件 A、B、C、D，满足 B  10 ， C  20 ， D  30 ， A �B  40 ， A �C  10 ， ）．   60 ， A �D  60 （A）A 与 B 不互斥 （B）A 与 D 互斥但不对立 （C）C 与 D 互斥 （D）A 与 C 相互独立 A  30 ，则（ ， ）． 三、解答题（本大题共有 5 题，本大题满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸相应的 编号规定区域内写出必要的步骤． 17．某公司今年初用 25 万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为 21 万元．同时， 公司每年需要付出设备的维修和工人工资等费用，第一年各种费用 2 万元，第二年各种费 用 4 万元，以后每年各种费用都增加 2 万元． （1）引进这种设备后，求该公司使用这种设备后第 n  n �18 年后所获利润 f  n ； （2）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？ 18．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分． 已知 为 � � f  x   A sin   x    �A  0,   0,   � 2 �，函数 y  f  x  的图像与 y 轴的交点 �  0,1 ，它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为  x0 , 2  和  x0  2 , 2  ． （1）求函数 y  f  x （2）若锐角  满足 19．四棱锥 cos   S  ABCD AD  DC  的表达式及 中 x0 的值； 1 3 ，求 f  4  的值． AD ∥ BC ， BC  CD ， �SDA  �SDC  60� ， 1 1 BC  SD ，E 为线段 SD 的中点． 2 2 （1）求证：平面 AEC  平面 ABCD； （2）求 BC 与平面 CDE 所成角的余弦值． 20．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分． 设抛物线 （1）若  : y 2  2 px  p  0  p2 的焦点为 F，过点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点． ，求线段 AF 中点 M 的轨迹方程； r （2）若直线 AB 的法向量为 n   2, 1 ，当焦点为 �1 � F � ,0� �2 �时，求△OAB 的面积； （3）若 M 是抛物线  准线上的点，直线 MA、MB、MF 的斜率分别为 证： k3 为 k1 、 k2 、 k2 、 k3 ，求 的等差中项． f  x  g  x  h  x 21．设 k1 ，其中 y  g  x 是定义在 R 上的周期函数， h  x   ax  b ， a、b 为常数． （1） g  x   sin x （2）求证：“ 的对称中心 （3）若 小值． ，讨论函数 y  f  x y  f  x 的奇偶性，并说明理由； 为奇函数”的一个必要非充分条件是“ y  f  x 的图像有异于原点  m, n  ”； g  x   sin x  cos x ，函数 y  f  x 在 x � 0,3  上的最大值为 M，求 M 的最