2021-2022 学年度第一学期第二次学情调研 高三数学试题 一、单项选择题：（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.） 1．已知集合，B＝{1，2，3，4}，则 A．{1，2} B．{2，3} (C R A )∩B =( ) C．{1，2，3} D．{1，2，3，4} (1  i ) z  3  i i z 2．若复数 满足 (其中 是虚数单位)，则( z  5 A. B. z  1  2i C. z 的虚部是 2i 3．已知角 A 是△ABC 的内角，则“”是“”的( A．充要条件 D. z 的实部是 1 ) B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 4．已知向量 ) r a  (2, 1) ， D．既不充分又不必要条件 r b  (m, 2) ，且 r r a / /b ，则 m =( ) A. 4 B. 8 C.4 D.8 5．已知函数 y＝f(x)的图象与函数的图象关于直线 y＝x 对称，函数 g(x)是奇函数，且当 x＞ 0 时，g(x)＝f(x)＋x，则 g(－4)＝( A．－18 B．－12 ) C．－8 D．－6 6．某校为了解学生体能素质，随机抽取了 50 名学生，进行体能测试，并将这 50 名学生 成结整理得如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图．下列结论中不正确的是（ ） A．这 50 名学生成绩在[80，100]内的人数占比为 20% B．这 50 名学生中成绩在[60，80）内的人数有 26 人 C．这 50 名学生成绩的中位数为 70 D．这 50 名学生的平均成绩 68.2（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表） a b c 4 a  6b  9 c 7．设 ， ， 都是正数，且 ，那么( ) A. ab  bc  2ac B. ab  bc  ac C. 2ab  2bc  ac D. 2ab  bc  ac 8．若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为 1，当该圆锥体积是球 体积两倍时，该圆锥的高为（　　） ❑ B． 2 √ 3 A．2 C． √3 D．4 二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.） � 9．已知变量 x ， y 之间的经验回归方程为 y  7.6  0.4 x ，且变量 x ， y 的数据如表所示， ) 则下列说法正确的是( y A.变量 x ， 之间呈正相关关系 B.变量 x ， y 之间呈负相关关系 C. m 的值等于 5 D.该回归直线必过点(9，4) {an } a1  20 2a6  a5  a4  0 {an } n 10.已知等比数列 的各项均为正数， ， ，数列 的前 项积为 Tn ，则( A.数列 C. Tn ) {an } 单调递增 的最大值为 T5 B.数列 D. Tn {an } 单调递减 的最小值为 T5 11．已知（1﹣2x）2021＝a0+a1x+a2x2+…+a2021x2021，则（　　） A．展开式中所有项的系数和为 −¿ 1 B．展开式中二项系数最大项为第 1010 项 C． a1 a2 a3 a + 2 + 3 +⋯+ 2021 =−1 2 2 2 22021 D．a1+2a2+3a3+…+2021a2021＝ −¿ 4042 12.如图，已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 2，E，F，G 分别为 AB，AD，B1C1 的中 点，以下说法正确的是（　　） A．三棱锥 C﹣EFG 的体积为 2 B．A1C⊥平面 EFG ❑ C．异面直线 EF 与 AG 所成的角的余弦值为 √2 3 D．过点 E、F、G 作正方体的截面，所得截面的面积是 3 ❑ √3 三、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.） 13．设 f(x)是定义域为 R 的奇函数，且 f(1＋x)＝f(1－x)．若，则的值是 14. 党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农 村义务教育”．为了响应报告精神，某师范大学 5 名毕业生主动申请到某贫困山区的乡 村小学工作、若将这 5 名毕业生分配到该山区的 3 所乡村小学，每所学校至少分配 1 人， 则分配方案的总数为　 　． 15.如图，△ ABC 中点， D，E 是线段 BC 上两个动点，且 → AC ，则 → → → AD + AE =¿ x AB + ¿ y x +9 y 的最小值为 　 　． xy 16.已知四面体 ABCD 中，△ABD 和△BDC 是等边三角形，二面角 A﹣BD﹣C 为直二面角． 若 AB＝ 4 √3 ，则四面体 ABCD 外接球的表面积为 　 　． 四、解答题：（本题共 6 小题，10+12+12+12+12+12 共 70 分.） 17.为了解观众对球类体育节目的收视情况，随机抽取了 200 名观众进行调查．下面是根据 调查结果绘制的观众日均收看球类体育节目时间的频率分布直方图、2×2 列联表(将日均 收看球类体育节目时间不少于 40 分钟的观众称为“球迷”)． (1)根据已知条件完成上图的 2×2 列联表； (2)据此调查结果，是否有 95%的把握认为“球迷”与性别有关? 附：(其中 n＝a＋b＋c＋d)． 临界值表： P(χ2≥x0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 18．设△ABC 的内角 A．B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 bsin2A＋asinB＝0，点 D 为 边 BC 上一点，AD⊥AC． (1)求∠BAC 的大小； 19.已知各项都为正数的数列 （1）证明：数列 （2）若 a1  (2)若 AC＝4，AD＝3，求 AB． {an } {an  an 1} 满足 an  2  2an 1  3an ． 为等比数列； 1 3 a2  2， 2 ，求 {an } 的通项公式． 20．在正四棱锥 P﹣ABCD 中，AB＝2， PA=❑√ 6 ，E，F 分别是 AB，AD 的中点，过直 线 EF 的平面 α 分别与侧棱 PB，PD 交于点 M，N． （1）求证：MN∥BD； （2）若 EF＝2MN，求直线 PA 与平面 α 所成角的正弦值． f (x )=x ln x 21．已知函数 （1）若函数 g( x )= ． f (x) 1 − x 2 x ，求 g( x) 的极值； （2）证明： f (x )+1<e −x ． x2 22．已知函数 f（x）＝lnx﹣x+2sinx，f'（x）为 f（x）的导函数，求证： （1）f'（x）在（0，π）上存在唯一零点； （2）f（x）有且仅有两个不同的零点． 2021-2022 学年度第二次学情调研高三数学试题参考答 案 一、单选题：1.A 2.A 3.C 4.A 5.D 6.C 7.A 8.D 二、多选题：9.BCD 10.BC 11.ACD 12.BD 三、填空题：13. 3 14. 150 15. 8 16. 四．解答题 80 π . 18. 19.证明：（1）各项都为正数的数列{an}满足 an+2＝2an+1+3an， 得，an+1+an+2＝3（an+1+an），因为 an+1+an >0 所以数列{an+an+1}是公比为 3 的等比数列；............................................................4 分 1 3 ¿ 2 ，a2 2 ， （2）因为 a1 ¿ 所以 a1+a2＝2， 由（1）知数列{an+an+1}是首项为 2，公比为 3 的等比数列， 所以 an+an+1＝2×3n﹣1，...................................................................6 分 1 2 1 2 n 于是 an +1− ×3 =−an + ×3 所以 an − 3 n−1 2 =¿ 0，即 an ¿ n−1 3 1 2 ， a1− =¿ 0， n−1 2 ...................................................................12 分 20.解：（1）证明：在△ABD 中，因为 E，F 分别是 AB，AD 的中点，所以 EF∥DB， 又因为 EF⊄平面 PBD，BD⊂平面 PBD， 所以 EF∥平面 PDB，........................................................3 分 因为 EF⊂平面 α，α∩平面[PDB＝MN， ∴EF∥MN，所以 MN∥BD．...................................................................6 分 （2）由 EF＝2MN，可得 → → MN 1 = ， PM = 1 PB ， BD 4 4 以正方形 ABCD 的中心为原点，OE 为 x 轴方向，建立空间直角坐标系， ❑ √6 因为侧棱为 ， ∴ PO ＝ 2， 则 A （ 1 ， ﹣ 1 ， 0 ） ， E （ 1 ， 0 ， 0 ） ， F （ 0 ， ﹣ 1，0），B（1，1，0），P（0，0，2）， → → → AP =¿ （﹣1，1，2）， EF =¿ （﹣1，﹣1，0）， PB =¿ （1，1，﹣2）， → EB =¿ （0，1，0）， → → → → 3 3 3 −3 1 3 → ， ，− ）， EM =EB −MB =¿ （ MB = PB =¿ （ ， 4 4 2 4 4 ， 4 3 2 ）． → 设平面 α 的法向量为 n =¿ （x，y，z）， 由 { → → n ⋅ EF =−x− y=0 → → 可 −3 1 3 n ⋅ EM = x + y + z=0 4 4 2 取 → n =(3 ，−3 ， 2) ，.............................................9 分 → → ❑ −2 √33 = ，.............................................10 分 ❑ √ 6 × √22 33 则 cos ＜ n ， AP