第 3 章 不等式 单元综合测评卷 一、单选题 2 1．不等式 x  2 x  3  0 的一个充分不必要条件是（ ） A． - 1 <x <3 1 B．   x  0 2 C． 3  x  1 D． 1  x  6 2．已知 a ， b 均为正数，且 a  b �4 ，则（ ） 1 1 � ab 2 A． ab �2 B． 1 1 C．  �1 a b D． a 2  b 2 �4 3．设 m  n  0 ，则关于 x 的不等式 A．  x n  x  m  m  x   n  x   0 的解集是（ ） B． {x | x   n 或 x  m} C． {x | x  m 或 x  n} D．  x m  x  n �1�  �  x2  x1   0 恒成立，设 a  f � �f  x2   f  x1  � � 4．已知函数 f  x  1 是偶函数，当1  x1  x2 时， � � 2 �， b  f  2 ， c  f  3 A． b  a  c ，则 a ， b ， c 的大小关系为（ B． c  b  a ） C． b  c  a D． a  b  c 5．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论 基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆 不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10g 黄金，售货员先将 5g 的砝码放在左盘，将黄 金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将 5g 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客， 则顾客实际所得黄金（ ） A．大于 10g 6．已知 bg B．小于 10g 糖水中含有 ag 糖  b  a  0 C．大于等于10g ，若再添加 mg D．小于等于 10g 糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中 含糖浓度变大）．根据这个事实，下列不等式中一定成立的是（ a am  A． b b  m a  m a  2m  B． b  m b  2m C．  a  2m   b  m    a  m   b  2m  D． 7．已知 a＞c，b＞d，则下列结论正确的是（ ） 2 1  a1 3 1 3 b ） A．ab＞cd B．a－b＞c－d C．ab＋cd＞ad＋bc D． | a  b || c  d | 4 x2 9 y2 3 1  �2 x y 8．若实数 恒成立，则正实数 t 的最大值为（ 2， 3 ，不等式 t  3 y  1 t  2 x  3  A． B． 16 4 C． 7 2 D． 8 二、多选题 2 9．（多选）不等式 mx  ax  1  0 （ m  0 ）的解集不可能是（ A．  x x  1 或 1� x � 4� ） B．R � 1 3� �x   x  � 2 C． � 3 D．  x x  3 或 x  5 2  x | x  2 或 x  3 ，则（ 10．已知关于 x 的不等式 ax  bx  c  0 的解集为 A． a  0 B．不等式 bx  c  0 的解集是 C． a  b  c  0  x x  6 ） ） 1� 1 � x � �x | x   2� 3或 D．不等式 cx  bx  a  0 的解集是 � 2 11．设 a  1, b  1 ，且 A． a  b 有最小值 2 B． a  b 有最大值  C．ab 有最大值 D．ab 有最小值 x  ab  (a  b)  1 ，那么（ ）  2 1  2 1 3 2 2 3 2 2 2 . . 12．已知关于 的不等式 ax 2  bx  c �0 的解集为 {x | x �3 或 x �4} ，则下列说法正确的是（ ） A． a  0 B．不等式 bx  c  0 的解集为  x x  4 � 1 1� x � �x x   4或 C．不等式 cx  bx  a  0 的解集为 � 3� 2 D． a  b  c  0 三、填空题 4x 3y  x , y x  3 y x 的最小值为______． 13．已知 为正实数，则 1 14．已知 M  a 2  3a  1 ， N  2a  ，则 M________N．（填“>”或“<”） 2 15．某单位要租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到码头的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓 库到码头的距离成正比.经测算，若在距离码头 10 km 处建仓库，则每月的土地费用和运输费用分别为 2 万元和 8 万元.那么两项费用之和的最小值是___________万元. 2  x 1 �x �2 ，则 cx2  bx  a≤ 0 的解集为_________． 16．已知关于 x 的不等式 ax  bx  c �0 的解集为 四、解答题 1 1 2 17．已知不等式 mx  nx  m  0 的解为  x | x   或 x  2 . 2 （1）求 m ， n 的值； （2）解关于 x 的不等式： (2a  1  x)( x  m)  0 ，其中 a 是实数． 18．已知实数 （1）若 x0 ， x  y  xy  3 y0 . ，求 2xy 的最大值与 x y 的最小值； xy 2 1  xy  2 y 的最小值. （2）若 x  y ，求 x  y 19．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的 倡议.为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励 企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产.为此，该地政府决定为当地某 A 企业春节期间加班追产 提供 x  x � 0, 20  (万元)的专项补贴.A 企业在收到政府 x(万元)补贴后，产量将增加到 t  ( x  2) (万件).同时 72 40 A 企业生产 t(万件)产品需要投入成本为 (7t  t  2 x) (万元)，并以每件 (6  ) 元的价格将其生产的产品全 t 部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本 （1）求 A 企业春节期间加班追产所获收益 R( x ) x (万元)关于政府补贴 (万元)的函数关系式； （2）当政府的专项补贴为多少万元时，A 企业春节期间加班追产所获收益最大？ 20．已知关于 x 的不等式 (kx  k 2  9)( x  6)  0 ，其中 k �R ． （1）当 k 变化时，试求不等式的解集 A； （2）对于不等式的解集 A，若满足 A I Z  B （其中 Z 为整数集）．试探究集合 B 能否为有限集？若能， 求出使得集合 B 中元素个数最少时 k 的所有取值；若不能，请说明理由 21．已知正数 a，b 满足 a+3b=4. （1）求 ab 的最大值，且写出取得最大值时 a，b 的值； 1 3 （2）求 a  b 的最小值，且写出取得最小值时 a，b 的值. a c 22．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点  a, b  ，  c, d  作如下定义：  ，那么称点  a, b  是点 b d  c, d  的“上位点”，同时点  c, d  是点  a, b  的“下位点”. （1）试写出点  3,5  的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）设 a 、 b 、 c 、 d 均为正数，且点  a, b  是点  c, d  的上位点，请判断点 P  a  c, b  d  是否既是点  a, b  的“下位点”又是点  c, d  的“上位点”，如果是请证明，如果不是请说明理由； （3）设正整数 n 满足以下条件：对任意实数 点  2020, m  的“下位点”，又是点  2021, m  1 m � t 0  t  2020, t �Z  * ，总存在 k �N ，使得点 n 的“上位点”，求正整数 的最小值.  n, k  既是 参考答案 1．B 【分析】 2 2 由 x  2 x  3  0 可得 - 1 <x <3 ，所以要求不等式 x  2 x  3  0 的一个充分不必要条件，只要求出集合  x 1  x  3 的一个真子集即可 2  x  1  x  3  0 【解析】将不等式 x  2 x  3  0 化为 ， 1 解得 - 1 <x <3 ，所以选项中不等式 x 2  2 x  3  0 的充分不必要条件是  2  x  0 ， 故选：B． 2．C 【分析】 由基本不等式判断 C．ABD 可通过举反例说明、 【解析】正数 a, b a  b �4 满足 ，若 a  b 1 满足已知，但 ab  1  2 ， a2  b2  2  4 1 1 1 已知，但 ab  4  2 ， a  0, b  0 ，则 4≥≥ a  b 2 ab ，所以 ab �4 ， ab �2 ，所以 a  b �2 ab � ab �ab  ab ab 1 1 �1 ，即  �1 ，当且仅当 a  b  2 时等号成立． ab a b 故选：C． 3．A 【分析】 化不等式二次项系数为正，再比较大小即可写出解集. 【解析】原不等式  m  x   n  x   0 可化为  x  m   x  n   0 ， ， ，若 ab2 满足 因 m  n  0 ，即 m  n ，于是得： n  x  m ， 所以原不等式的解集为  x n  x  m . 故选：A 4．A 【分析】 首先根据题意得到 f  x  在  1, � 为增函数，根据 f  x  1