7．3.5　已知三角函数值求角 类型一　利用正弦值求角、解不等式 【角度 1】　已知正弦值求角 【典例】已知 sin x＝－，求 x. 【变式】 　将本例条件改为：sin x＝，试求 x. 【角度二】　利用正弦值解不等式 【典例】求不等式 sin x≥的解集． 【题组训练】 1．已知 α 是三角形的内角，且 sin α＝，则 α＝(　　) A． B． C．或 D．或 2．已知函数 f(x)＝2sin (ω＞0)的最小正周期为 π，则方程 f(x)＝1 在(0，π]上的解 集为________． 3．求不等式 sin x＞－的解集． 4. 已知函数 f＝sin x＋2，x∈. (1)作出函数 f 的图像； (2)求方程 f＝3 的解． 类型二　利用余弦值求角、解不等式 【典例】1.已知 cos ＝，求 x. 【典例】2．求不等式 cos ＞－的解集． 【跟踪训练】 1．若 cos (π－x)＝，x∈(－π，π)，则 x 的值等于(　　) A．， B．± C．± D．± 2．求不等式 2cos －＜0 的解集． 类型三　利用正切值求角、解不等式 【典例】1.方程 tan ＝在区间[0，2π)上的解的个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 2．不等式－<tan x<1 的解集是(　　) A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．当 0＜x＜π 时，使 tan x＜－1 成立的 x 的取值范围为________. 2．函数 y＝1＋tan 在区间(－π，π)内的零点个数为________． 类型四　与正、余弦型函数值有关的综合问题 【典例】已知函数 f＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，＜)在一个周期内的简图如图 所示，则方程 f＝m(m 为常数且 1＜m＜2)在内所有解的和为(　　) A． B． C． D．π 【跟踪训练】 (多选题)函数 f＝A sin 部分图像如图所示，对不同的 x1，x2∈，若 f＝f，都有 f(x1 ＋x2)＝，则(　　) A．a＋b＝π B．b－a＝ C．φ＝ D．f＝ 课堂达标训练 1．已知 cos x＝－，π＜x＜2π，则 x＝(　　) A． B． C． D． 2.(2021·长沙高一检测)若 tan α＝，且 α∈，则 α＝(　　) A． B． C． D． 3．(2021·上海高一检测)若 sin ＝－，θ∈[0，2π)，则 θ＝________． 4．求下列不等式的解集． (1)cos x－＜0； (2)3tan x－≥0. 参考答案 类型一　利用正弦值求角、解不等式 【角度 1】　已知正弦值求角 【典例】已知 sin x＝－，求 x. 【思路分析】利用三角函数线或正弦函数的图像解题． 【解析】方法一：由 sin x＝－＜0 可知，角 x 对应的正弦线方向朝下，而且长度 为， 如图所示， 可知角 x 的终边可能是 OP，也可能是 OP′. 又因为 sin ＝sin ＝－， 所以 x＝＋2kπ 或 x＝＋2kπ，k∈Z. 方法二：因为 sin x＝－， 如图所示， 由正弦函数的图像，知在内，sin ＝sin ＝－， 所以 x＝＋2kπ 或 x＝＋2kπ，k∈Z. 【变式】 　将本例条件改为：sin x＝，试求 x. 【解析】由 sin x＝＞0 可知，角 x 对应的正弦线方向朝上，而且长度为，如图所 示， 可知角 x 的终边可能是 OP，也可能是 OP′. 又因为 sin ＝sin ＝， 所以 x＝＋2kπ 或 x＝＋2kπ，k∈Z. 【角度二】　利用正弦值解不等式 【典例】求不等式 sin x≥的解集． 【思路分析】先求出 x∈[0，2π]时，sin x≥的解集，根据正弦函数的周期进而得 到答案． 【解析】当 x∈[0，2π]时，由 sin x≥得 x∈，而 y＝sin x 的最小正周期为 2π，所 以不等式的解集为，k∈Z. 【解题策略】 1．利用正弦值求角 利用正弦线、正弦函数的图像求出一个周期(常用，，)内的角，再表示出定义 域上的所有取值，即加周期的 k(k∈Z)倍． 2．利用正弦值解不等式 先求出相等时的 x 值，再根据单位圆、图像确定 x 的范围． 【题组训练】 1．已知 α 是三角形的内角，且 sin α＝，则 α＝(　　) A． B． C．或 D．或 【解析】选 D.因为 sin α＝，所以 α＝＋2kπ，k∈Z 或 α＝＋2kπ，k∈Z，又因为 α 为三角形的内角， 所以 α∈，所以 α＝或. 2．已知函数 f(x)＝2sin (ω＞0)的最小正周期为 π，则方程 f(x)＝1 在(0，π]上的解 集为________． 【解析】由题意可得：＝π，解得 ω＝2， 所以 f(x)＝2sin ＝1，可得 sin ＝， 因为 x∈(0，π]，所以 2x＋∈， 所以 2x＋＝或，即：x∈. 答案： 3．求不等式 sin x＞－的解集． 【解析】当 sin x＝－时，x＝＋2kπ 或 x＝－＋2kπ，k∈Z， 所以－＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z， 所以不等式的解集为. 4. 已知函数 f＝sin x＋2，x∈. (1)作出函数 f 的图像； (2)求方程 f＝3 的解． 【解析】(1)当 0≤x≤π 时，sin x≥0， 则 f＝3sin x；当 π＜x≤2π 时，sin x≤0， 则 f＝sin x－2sin x＝－sin x. 所以 f＝ 函数 y＝f 的图像如图所示： (2)当 0≤x≤π 时，令 f＝3，即 3sin x＝3， 得 sin x＝1，解得 x＝； 当 π＜x≤2π 时，令 f＝3，得－sin x＝3，该方程无解．综上所述，方程 f＝3 的解 为 x＝. 类型二　利用余弦值求角、解不等式 【典例】1.已知 cos ＝，求 x. 【思路分析】利用余弦线、图像求值． 【解析】由 cos ＝＞0，知角 2x－对应的余弦线方向向右，且长度为， 如图所示， 可知角 2x－的终边可能是 OP，也可能是 OP′. 又因为 cos ＝cos (－)＝， 所以 2x－＝－＋2kπ 或 2x－＝＋2kπ，k∈Z. 所以 x＝＋kπ 或 x＝＋kπ，k∈Z. 【典例】2．求不等式 cos ＞－的解集． 【思路分析】先求出相等时的 x 值，再写出满足不等式的 x 的范围． 【解析】如图所示， 在上，x＋＝－或 x＋＝时， cos ＝－， 所以 x＋＝－＋2kπ 或 x＋＝＋2kπ，k∈Z 时，cos ＝－. 令－＋2kπ＜x＋＜＋2kπ，k∈Z， 解得－＋4kπ＜x＜＋4kπ，k∈Z， 所以不等式的解集为. 【解题策略】 利用余弦值求角、解不等式的思路 将 ωx＋φ 看作整体，先求出或上的角，再通过周期推广到整个定义域内，最后 解出 x 的值或范围． 【跟踪训练】 1．若 cos (π－x)＝，x∈(－π，π)，则 x 的值等于(　　) A．， B．± C．± D．± 【解析】选 C.由 cos (π－x)＝－cos x＝得，cos x＝－.又因为 x∈(－π，π)，所以 x 在第二或第三象限，所以 x＝±. 2．求不等式 2cos －＜0 的解集． 【解析】不等式变为 cos ＜， 则＋2kπ＜2x＋＜＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z， 所以不等式的解集为. 类型三　利用正切值求角、解不等式 【典例】1.方程 tan ＝在区间[0，2π)上的解的个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【思路分析】利用正切线或图像求值． 【解析】选 C.方法一：令 t＝2x＋，作出函数 y＝tan t 的图像如图： 令 2x＋＝＋kπ，k∈Z，所以 x＝，k∈Z. 又由 0≤＜2π，所以 k＝0，1，2，3. 故在区间[0，2π)上有 4 个解． 方法二：由 tan ＝＞0，设 t＝2x＋， 所以角 2x＋对应的正切线方向朝上，而且长度为，如图所示， 可知 2x＋的终边可能是 OT，也可能是 OT′， 因为 tan ＝tan ＝， 所以 2x＋＝＋kπ，k∈Z，所以 x＝，k∈Z. 又由 0≤＜2π，所以 k＝0，1，2，3. 故在区间[0，2π)上有 4 个解． 2．不等式－<tan x<1 的解集是(　　) A． B． C． D． 【思路分析】先得到 x∈内满足不等式的 x 的范围，再根据正切函数的周期性， 得到答案． 【解析】选 A.当 x∈时， tan ＝－，tan ＝1 且 y＝tan x 单调递增，又－<tan x<1， 所以－<x<.因为 y＝tan x 的周期为 π， 所以不等式的解集为. 【解题策略】 已知正切值求角、解不等式的思路 (1)将 ωx＋φ 看作一个整体，先根据正切线、图像求出一个周期内的值或范围， 一般选取，再推广到定义域上，正切加 kπ，区别于正、余弦加 2kπ. (2)最后代入 ωx＋φ 求值或求范围． 【跟踪训练】 1．当 0＜x＜π 时，使 tan x＜－1 成立的 x 的取值范围为________. 【解析】由正切函数的图像知，当 0＜x＜π 时， 若 tan x＜－1，则＜x＜， 即实数 x 的取值范围是. 答案： 2．函数 y＝1＋tan 在区间(－π，π)内的零点个数为________． 【解析】函数 y＝1＋tan ， 令 1＋tan ＝0，得 tan ＝－1， 所以 2x－＝kπ－，k∈Z；解得 x＝－，k∈Z； 当 k＝－1 时，x＝－；当 k＝0 时，x＝－； 当 k＝1 时，x＝；当 k＝2 时，x＝； 所以 y 在区间(－π，π)内的零点有 4 个． 答案：4 类型四　与正、余弦型函数值有关的综合问题 【典例】已知函数 f＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，＜)在一个周期内的简图如图 所示，则方程 f＝m(m 为常数且 1＜m＜2)在内所有解的和为(　　) A． B． C． D．π 【思路分析】根据题图知 A＝2，再求解 ω 和 φ 进而求方程 f＝m(m 为常数且 1＜ m＜2)在内所有解的和． 【解析】选 B.根据函数 f＝A sin (A＞0，ω＞0，＜)在一个周期内的简图，可得 A＝2，再把点代入可得 2sin φ＝1，求得 sin φ＝，所以 φ＝. 再根据五点法作图可得 ω·＋＝π，所以 ω＝2，故函数 f＝2sin ，令 2x＋＝＋ 2kπ，k∈Z 得 x＝kπ＋，k∈Z，又 x∈，故函数的对称轴是 x＝，故由图像可得方 程 f＝m(m 为常数且 1＜m＜2)在内所有的解共有 2 个，且这 2 个解的和等于 2× ＝. 【解题策略】 与正、余弦型函数值有关的综合问题 此类问题的情形较多，含有参数是此类问题常呈现的一种形式．一是函数值含 有参数，通常可利用参变量分离的方法将参变量分离出来，然后作出三角函数 的图像利用特殊角的值进行求解；二