专题 53 两招玩转多面体的外接球 【方法点拨】 解决多面体的外接球问题的关键是“定心”，常用方法有两种： （1）“补体法”：对于符合特殊条件的四面体补形为长方体解决，常见的有下列两种类型. 类型一：墙角模型（三条线两个垂直，补形为长方体，其体对角线的中点即球心） 方 法 ： 找 三 条 两 两 垂 直 的 线 段 ， 直 接 用 公 式 2 R=√ a2 +b2 +c 2 2 2 2 (2 R ) =a +b +c 2 ， 即 ，求出 R . 类型二：对棱相等模型（补形为长方体） 如下图，三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（ AD=BC ， AC=BD ） AB=CD ， 第 一步 ：画 出一 个长 方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第 二步 ：设 出长 方体 的 长 宽 高 分 别 为 AD=BC =x 2 2 ， AB=CD= y ， AC=BD=z a,b,c ， ，列方程组， 2 a +b = x 2 2 2 b +c = y 2 2 2 c +a =z ¿ { ¿ { ¿ ¿¿ ¿ ⇒ ( 2 R )2 =a2 + b2 + c 2= 2 2 x + y +z 2 2 ， 1 1 V A−BCD =abc− abc ×4= abc 补充： 6 3 第三步：根据墙角模型， √ x 2 + y 2 +z 2 R= 8 2 R=√ a2 + b2 + c 2= ，求出 R √ x2+ y 2+ z2 2 2 ， R = 2 2 x + y +z 8 2 . （2）“窜心法”：多面体的外接球心问题，可转化为其某两个侧面三角形外接圆的垂线来解 决，即球心就是分别过两个侧面三角形外接圆的圆心且垂直于该平面的直线的交点（即将 三角形外接圆的圆心，垂直上蹿下跳）. 第一步：先画出如图所示的图形， ， 将 Δ BCD 画在小圆上，找出 Δ BCD 和 Δ A' BD 的外心 H 1 和 H 2 ； 第二步：过 球心 O H1 ，连接 和 H2 分别作平面 OE,OC 第 三 步 ： 解 ΔOEH 1 OH 12 +CH 12 =OC 2 BCD 和平面 A ' BD 的垂线，两垂线的交点即为 ； ， 算 出 OH 1 ， 在 Rt ΔOCH 1 中 ， 勾 股 定 理 ： . 说明： 解法二是通法，具体解题过程中，常常涉及复杂的线面位置关系的论证、多次解三角形 等，有一定的难度. 【典型题示例】 例 1 （2021·江苏南师附中期末·12）在边长为 2 3 的菱形 ABCD 中， A  60� ，沿对角 线 BD 折起，使二面角 A  BD  C 的大小为 120°，这时点 A，B，C，D 在同一个球面上， 则该球的表面积为____________. 【答案】 28 【解析】设 VABD 和 VBCD 的外心 O1 和 O2 ，过 O1 和 O2 分别作平面 ABD 和平面 BCD 的 垂线，两垂线的交点即为球心 O （两垂线共面的证明，此处从略），连接 OA 即为所求球 的半径 易知二面角 A  BD  C 的平面角为 �AEC （证明从略），故 �AEC  120� ， 因为 O1 是 VABD 的外心，所以 在 AE  CE  3 �2 3  3 ， O1 E  1 ， O1 A  2 2 Rt VO1OE ， O1 E  1 ， �OEO1  60�，所以 O1O  3 ， 在 Rt VAOO1 ， OA  OO1  O1 A  2 2 ∴四面体的外接球的表面积为 例2 在三棱锥 2 2 3  22  7 4 R 2  28 . A−BCD 中 ， AB=CD=2, AD=BC=3, AC=BD=4, A−BCD 则三棱锥 外接球的表面积为 。 29 π 【答案】 2 【解析】如“方法点拨类型二”图，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长， 设长宽高分别为 ∴ 2 2 2 ，则 2 29 2 2 ， 4 R 2= 2 2 2 2 2 2 a +b =9 ， b + c =4 ， c + a =16 2(a +b + c )=9+ 4+16=29 a2 +b2 + c 2= 例3 a,b,c ， 2 2(a +b + c )=9+ 4+16=29 ， 29 29 S= π . 2 ， 2 已知三棱锥 P－ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，△ABC 满足 AB＝ 2，∠ACB＝90°，PA 为球 O 的直径且 PA＝4，则点 P 到底面 ABC 的距离为(　 ) A. B.2 C. 【答案】　B 【解析】　取 AB 的中点 O1，连接 OO1， 如图，在△ABC 中，AB＝2，∠ACB＝90°， 所以△ABC 所在小圆圆 O1 是以 AB 为直径的圆， 所以 O1A＝，且 OO1⊥AO1， 又球 O 的直径 PA＝4，所以 OA＝2， 所以 OO1＝＝，且 OO1⊥底面 ABC， 所以点 P 到平面 ABC 的距离为 2OO1＝2. D.2 【巩固训练】 1. （2021·江苏徐州期末·8）在三棱锥 D  ABC 中，平面 ACD⊥平面 ABC，AB⊥AC，且 AC＝CD＝DA＝3，AB＝，则三棱锥 A  BCD 的外接球的表面积为（ 15 π A． 4 3 π C． 2 B． 15π ）． D． 6π 2. （ 2021· 江 苏 常 州 期 末 ·8 ） 如 下 图 ， 在 四 棱 锥 P  ABCD 中 ， 已 知 PA  底 面 ABCD, AB  BC , AD  CD 接球的表面积为（ A． 8π B． 20π ，且 �BAD  120� , PA  AB  AD  2 ，则该四棱锥外 ） C． 20 5π 3.三棱锥 P− ABC 中，平面 PAC ⊥ ¿ ¿ D． 20 5 π 3 平面 ABC ，△ PAC 和△ ABC 均为边长 为 2 的正三角形，则三棱锥 P− ABC 外接球的半径为 . 4.如图所示三棱锥 A  BCD ，其中 AB  CD  5, AC  BD  6, AD  BC  7, 则该三棱 锥外接球的表面积为 . 5.正四面体的各条棱长都为 √2 ，则该正面体外接球的体积为 . 6. 在三棱锥 P  ABC 中， PAB 是边长为 3 的等边三角形， AC  BC ， �ACB  90�，二 面角 P  AB  C 的大小为 120�，则三棱锥 P  ABC 外接球的表面积为　　． 【答案与提示】 1. 【答案】B 甲 乙 丙 【解析】∵AB⊥AC ∴△ABC 外接圆的圆心为 BC 中点， ∴ A  BCD 外接球的球心在过 BC 中点且垂直于△ABC 所在平面的直线上 如上图（乙）中，设 BC 中点为 O1，球心为 O，同理，设△ADC 外接圆的圆心为 O2 则 OO2= O1E=， 在△OO2D 中，O2D=，所以 OD2= O1E2+ O2D2= 15 4 所以三棱锥 A  BCD 的外接球的表面积为 15 2. 【答案】B 【解析】四边形 ABCD 的外接圆的直径 AC  4 ，故四棱锥外接球的球心在过 AC 的中点 且垂直于平面 ABCD 的直线上， 又因为 P、A 两点在球面上，故其球心在过 PA 中点且垂直于 PA 的垂面上， 所以球心即为 PC 中点（ VPAC 的外接圆即为大圆）， 故 PC =2 5 ，四棱锥外接球的表面积为 20π . 15 3.【答案】 3 【解析一】 2 r 1=2 r 2= 2 4 ∘= sin 60 √3 ， r 1 =r 2 = 2 √3 ， O2 H= 1 √3 ， 1 4 5 √ 15 R2 =O2 H 2 +r 21 = + = ， R= 3 3 3 3 . O2 H= 【解析二】 AH =1 1 √3 ， O1 H= 1 √3 ， ， R2 =AO 2 =AH 2 +O1 H 2 + O1 O 2= 5 √ 15 R= 3 ， 3 . 4.【答案】 55 【解析】同例 2，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为 a,b,c ， 2 2 2 2(a +b +c )=25+36+ 49=110 ， a2 +b2 + c 2=55 ， 2 4 R =55 ， S=55 π . 3 5.【答案】 2  【解析】这是对棱相等的特殊情况放入长方体中， 3 R= √ 2 ， 4 3 3 3 V = π⋅ √ = √ π 3 8 2 . 6.【答案】 13 【解析】取 AB 的中点 M ，连接 PM 、 CM ， 因为 PAB 是等边三角形， 所以 PM  AB ，又因 AC  BC ，所以 CM  AB ， 2R=√ 3 ， 所以 �PMC 即为二面角 P  AB  C 的平面角，即 �PMC  120�， 因为 PAB 是等边三角形， 所以 过 O1 PAB 作 l1  的外接圆圆心即为三角形的重心 平面 PAB ，而 M 为 ABC O1 ， 的外接圆圆心，过 M 作 l2  平面 ABC l1 l2 P  ABC O 所以 与 的交点即为三棱锥 外接球的球心 ， 作平面 PMC 截面图， 则 PM  AP 2  ( AB 2 3 3 1 3 3 3 3 )  OM  �  O1 P  �3  3 2 2 ， 1 ， 3 2 2 ， 3 ‫ װ‬1 而 �PMO  �PMC  90� 30�，则 OO 所以 r  OP  O1 P 2  OO12  所以三棱锥 P  ABC O1 M tan 30 13 2 ， 外接球的表面积为 4 r 2  13 ． 1 ， 2 ，