2021-2022 学年度高二数学 5 月月考卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题(共 40 分) x 1．设集合 A   x 2 �x �1 ， B  y y  2 , x �A ，则 A I B  （ ）   1 � � B． � ,1� C． [2, 0) 4 � � � r r r 2．向量 a   x, 1,1 ， b   4, y, 2  ，若 ar //b ，则 x  y 的值为（ A． A．0 B．1 D． (0, �) ） C．2 D．3 2 3．已知患者通过飞沫传播被感染新冠肺炎的概率为 3 ，假设甲、乙两人是否被飞沫感染相互 独立，则甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为（ 11 3 8 2 A． B． C． D． 3 12 4 9 ） 4．2021 年 10 月 26 日国务院印发《2030 年前碳达峰行动方案》，要求我国二氧化碳排放力争 于 2030 年前达到峰值．低碳生活已经深入民心，新能源汽车备受欢迎，下表是某地区近 5 个 月新能源汽车的销售量与月份统计表： 月份代号 x 1 2 3 4 5 销售量 y （万 辆） 0. 4 0. 6 0. 9 1. 2 1. 4 $  0.12 ，则利用此回归方程预测第 6 个 y  bx 若根据表中数据求得的 x 与 y 的线性回归方程为 $ 月新能源汽车的销售量为（ ） A．1.7 万辆 B．1.68 万辆 C．1.6 万辆 D．1.58 万辆 3 �2 1 � 5．关于 �x  2  2 �的展开式，下列结论不正确的是（ � x � ） A．所有项的二项式系数和为 64 C．常数项为 20 B．所有项的系数和为 0 D．系数最大的项为第 3 项 6．已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数，对任意 x1 ， x2 �(0, �) ，都有 1 1 f ( x1 )  f ( x2 ) 1  0( x1 �x2 ) ， a  f (log 1 ) ， b  f (log 2 ) ， 2 ，则（ 2 c  f (5 ) x1  x2 3 3 A． a  b  c B． c  a  b C． b  a  c ） D． c  b  a 7．8 个人坐成一排，现要调换其中 3 个人中每一个人的位置，其余 5 个人的位置不变，则不同 调换方式有（ ） 3 A． C3 3 3 3 B． C8A8 3 2 D． 3C8 C． C8A 2 x 8．函数 f  x   xe  x  ln x  1 的零点个数为( A．0 B．1 C．2 ) D．3 二、多选题(共 20 分) 9．已知 f  x  是定义在 R 上的偶函数，且对任意 x �R ，有 f  1  x    f  1  x  ，当 x � 0,1 时， f  x   x 2  x  2 ，则（ ） A． f  x  是以 2 为周期的周期函数 B．点  3,0  是函数 f  x  的一个对称中心 C． f  2021  f  2022   2 D．函数 y  f  x   log 2  x  1 有 3 个零点 10．下列说法正确的有（ ） A．设随机变量 X 服从二项分布 B(n，p)，若 E(X)＝50，D(X)＝20，则 p  2 5 B．设随机变量 ξ 服从正态分布 N(0，1)，若 P    1  p ，则 P  1 � �1  1  2 p C．若样本数据 x1 , x2 ,L , x10 的方差为 3，则数据 2 x1  1, 2 x2  1,L , 2 x10  1 的方差为 12 D．若从这 10 件产品(7 件正品，3 件次品)中任取 2 件，则恰好取到 1 件次品的概率 7 30 11．某校组织“喜迎二十大，奋进新征程”线上演讲比赛，经预选有甲、乙、丙、丁、戊五名同 学进入复赛，在复赛中采用抽签法决定演讲顺序，记事件 A：学生甲不是第一个出场，也不是 最后一个出场，B：学生乙第一个出场，则下列结论中正确的是（ ） A．事件 A 中包括 78 种情况 C． P  AB   3 20 B． P  A   D． P  A | B   3 5 1 4 12．如图，在长方体 ABCD  A1 B1C1 D1 中， AD  AA1  3 ， AB  2 ，点 P，E 分别为 AB， AA1 的中点，点 M 为直线 CD1 上的动点，点 N 为直线 C1D1 上的动点，则（ A．对任意的点 N，一定存在点 M，使得 PM  DN r uuuu r uuur uuuu B．向量 PM ， A1 B ， D1 E 共面 C．异面直线 PM 和 AA 所成角的最小值为 1  4 ） D．存在点 M，使得直线 PM 与平面 DCC D 所成角为 1 1  3 三、填空题(共 20 分) 13．设  ： 1 �x �3 ，  ： m  1 �x �2m  4 （ m �R ）．若  是  的必要条件，则 m 的取值 范围是______． r 14．已知点 A  1,1, 1 ，平面  经过原点 O，且垂直于向量 n   1,  1,1 ，则点 A 到平面  的 距离为______. 15．已知函数 f  x   3 x  1 � 1 ln x  1 �  6 ，函数 g  x    m ，若对任意 x � 1, 2 ，存在 x2 �� ,e �， 3 e � 1 � x x 使得 f  x1  �g  x2  ，则实数 m 的取值范围为______． 16．考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字 142857，因为142857 �2  285714 ， 142857 �3  428571 ，……所以这组数字又叫走马灯数．该组数字还有如下规律： 142  857  999 ， 571  428  999 ，……若从 1, 4, 2,8,5,7 这 6 个数字中任意取出 3 个数字构成一 个三位数 x ，则 999  x 的结果恰好是剩下 3 个数字构成的一个三位数的概率为______． 四、解答题(共 70 分) 3 2 2 17．（10 分）已知正整数 n 满足 3 An  6 An  4Cn 1 . (1)求 n； 2 n 5 (2)求 (1  x )  (1  x )  L  (1  x ) 的展开式中 x3 的系数.（用数字表示结果） 2 18．（12 分）已知函数 f  x   ln  x  ax  1 ． (1)若 f  x  为偶函数，求 a ； (2)若命题“ x � 0,1 ， f  x  �0 ”为假命题，求实数 a 的取值范围． 19．（12 分）如图，AB 是圆柱底面圆 O 的直径， AA1 、 CC1 为圆柱的母线，四边形 ABCD 是 底面圆 O 的内接等腰梯形，且 AB  AA1  2 BC  2CD ，E、F 分别为 A1D 、 C1C 的中点． (1)证明：EF∥ 平面 ABCD； (2)求平面 OEF 与平面 BCC1 夹角的余弦值． 20．（12 分）第 24 届冬季奥林匹克运动会 （XXIVOlympicWINTERGames），即 2022 年北京冬 季奥运会， 是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于 2022 年 2 月 4 日开幕，2 月 20 日闭幕.北京冬季奥运 会共设 7 个大项，15 个分项，109 个小项.北京某中学研究小组为了研究该校学生参加冰雪运 动与性别的关系，随机对学校 500 名学生进行了跟踪调查，其中喜欢冰雪运动的学生有 200 人， 1 在余下的学生中，女生占到 2 ，根据数据制成了下图所示的列联表 男生 喜欢 女生 合计 150 200 不喜欢 合计 500 (1)根据题意，完成上述 2 �2 列联表，并判断是否有 99.9%的把握认为喜欢冰雪运动和性别有关？ (2)将频率视为概率，用样本估计总体，若从全市所有的中学生中，采用随机抽样的方法抽取 4 名学生，记被抽取的 4 名学生为男生的人数为  ，求  的分布列和数学期望 E ( ) . K2 n  ad  bc  2  a  b  c  d   a  c  b  d  ，其中 n  a bc  d . P  K 2�k  0.15 0.10 0.05 0.02 5 0.01 0 0.00 5 0.001 k 2.07 2 2.70 6 3.84 1 5.02 4 6.63 5 7.87 9 10.82 8 21．（12 分）某学校组织教职工运动会，新增加的“趣味乒乓球单打”是这届运动会的热门项目. 比赛规则如下：两人对垒，开局前抽签决定由谁先发球(机会均等)，此后均由每个球的赢球者 发下一个球.对于每一个球，若发球者赢此球，发球者得 1 分，对手得 0 分；若对手赢得此球， 发球者得 0 分，对手得 2 分；有一人得 6 分及以上或是两人分差达 3 分时比赛均结束，得分高 者获胜.已知在选手甲和乙的对垒中，甲发球时甲赢得此球的概率是 0.6，乙发球时甲赢得此球 的概率是 0.5，各球结果相互独立. （1）假设开局前抽签结果是甲发第一个球，求三次发球后比赛结束的概率； （2）在某局 3∶3 平后，接下来由甲发球，两人又打了 X 个球后比赛结束，求 X 的分布列及数 学期望. 22. （12 分）已知函数 f  x   x  mlnx ，其中 m  0 . 2 （1）若 m  2 ，求函数 f  x  的极值； （2）设 1．B g( x )=xf (x )−1 2．A 3．D 9．BD 10．BC .若 g( x )>0 在 (1,+∞) 参考答案： 4．B 5．D 6．D 7．C 8．B 11．BC 12．BCD 12.建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A1 A     3, 2, 0 , C  0, 2, 0  , D  0,0, 0    3, 2, 3 , C1 0,