专题 01 单调性的几个等价命题 【方法点拨】 1. 函数 f(x)为定义域在 D 上的增函数 � 对任意 x1 , x2 �D ，当 x1 �x2 时,都有 f ( x1 )  f ( x2 ) 0； x1  x2 f ( x1 )  f ( x2 ) k x1  x2 � 2. 对任意 x , x �D ，当 x �x 时,都有 1 2 1 2  f ( x1 )  kx1    f ( x2 )  kx2   0 x1  x2 函数 f(x)－kx 为 � 说明：含有地位同等的两个变量 x1 , x 2 D 上的增函数 或�,�等不等式，进行“尘归尘，土归土”式的整 理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单 调性（需要预先设定两个变量的大小）. 【典型题示例】 例1 意 （2021·江苏镇江八校·12 联考）已知函数 f(x)的定义域为 R，图象恒过(0,1)点，对任 x1 , x2 �R ， 当 x1 �x2 时 , 都 有 f [ln(e x  1)]  1  ln( e x  1) )的解集为( A.(In2, +∞) B.(-∞,ln2) C.(In 2,1) f ( x1 )  f ( x2 ) 1， 则 不 等 式 x1  x2 ) D.(0, ln 2) 【答案】D f ( x1 )  f ( x2 ) 1 【分析】移项通分，按结构相同、同一变量分成一组的原则，将 化为 x1  x2  f ( x1 )  x1    f ( x2 )  x2   0 x1  x2 令 F ( x)  f ( x)  x ， 故 F ( x) 在 R 上单增，且 F (0)  f (0)  0  1 f [ln(e x  1)]  1  ln( e x  1) 即 F [ln(e x  1)]  F (0) 可化为 ，所以 f [ln(e x  1)]  ln(e x  1)  1 ln(e x  1)  0 x ， 0  e  1  1 ，解之得 1  x  ln 2 所以不等式 f [ln(e  1)]  1  ln( e  1) )的解集为(0, ln 2). x x 点评： 1. f(x) 在 D 单 增 （ 减 ） � 对 任 意 x1 , x2 �D ， 当 x1 �x2 时 ， 都 有 f ( x1 )  f ( x2 )  0( 0) ； x1  x2 2. 结 构 联 想 ， 当 题 目 中 出 现  f ( x1 )  ax1    f ( x2 )  ax2  x1  x2 例2 f ( x1 )  f ( x2 ) a， 应 移 项 通 分 转 化 为 x1  x2  0 ，即 F(x)=f(x)－ax 在 (2021·江苏南通如皋一抽测·22 改编)已知函数 x1 , x2 �[1,10] ，当 x1  x2 时，不等式 D 单增. f ( x)  ln x  x 2  3x ，对于任意 f ( x1 )  f ( x2 )  m  x1  x2  x1 x2 恒成立，则实数 m的 取值范围是________. 【答案】 ( �, 1710] 【分析】同构后不等式两边具有结构的一致性，构造新函数，直接转化为函数的单调性. 【解析】不等式 即 f  x1   f  x1   f  x2   m  x2  x1  x1 x2 可变形为 f  x1   f  x2   m m  f  x2   x1 x2 ，当 x1 , x2 �[1,10] ，且 x1  x2 恒成立， m m  x1 x2 ， 所以函数 令 则 即 y  f ( x)  m m  ln x  x 2  3x  , x �[1,10] x x h( x)  f ( x )  h� ( x)  m x 在 [1,10] 上单调递减. 1 m  2 x  3  2 �0 在 x �[1,10] 上恒成立， x x m� 2 x 3  3x 2  x 在 x �[1,10] 上恒成立. 2 � 1� 1 ( x )  6 x 2  6 x  1  6 �x  � . 设 F ( x )  2 x 3  3 x 2  x ，则 F � � 2� 2 因为当 x �[1,10] 所以函数 所以 所以 在 F� ( x)  0 [1,10] ， 上单调递减， F ( x ) min  F (10)  2 �103  3 �102  10  1710 m� 1710 即实数 例3 F ( x) 时， m ， ， 的取值范围为 ( �, 1710] . （2021·江苏南通如皋期末·12）已知 等的正数 x ， x ，都有 1 2 f  x x2 f  x1   x1 f  x2  x2  x1 � 1� f� ln � 3 �，则 ， ， 的大小关系为 � c a b c ln 3 是定义在 R 上的奇函数，对任意两个不相 0，记 a f  0.23  0.2 3 ， b f  sin1 sin1 ， A. abc B. bac C. cab D. cba 【答案】D 【解析】构造函数 域是  x | x �0 g ( x)  f  x x ，则因为 f  x  是定义在 R 上的奇函数，故 g ( x) 为定义 的偶函数 x2 f  x1   x1 f  x2  0 又对任意两个不相等的正数 x , x 都有 ，即 x2  x1 1 2 f  x1  f  x2   g  x1   g  x2  x1 x2 在 上为减函数. 0�  0 ，故 0,  �   x1  x2 x1  x2 g ( x)  �, 0  上单调递增,在  0, � 上单调递减. 综上, g ( x) 为偶函数,且在 又a   f 0.23 0.23   g (0.2 ) 3 ，b  f  sin1 sin1  g (sin1) ， � 1� f� ln � 3 � f   ln 3 f  ln 3 � c    g  ln 3 ，且 0  0.23  sin1  ln 3 ln 3 ln 3 ln 3 所以 g (0.23 )  g (sin1)  g (ln 3) ，即 a  b  c ,故答案为：D. 【巩固训练】 log a x, 0  x  1 f  x1   f  x2  � f ( x )  0 � 1. 已知函数 成 (4a  1) x  2a, x �1 满足对任意 x1 �x2 ，都有 x1  x2 � 立，则实数 a 的取值范围是（ ） � 1� 0， � A． � � 6� � 1� 0， � B． � � 6� 2.已知函数 f ( x )  � 1� 0， � C． � � 4�  � D．  1， f  x1  f  x2  ex  0  ax 2 , x �(0, �) ，当 x  x 时，不等式 恒成 x x 2 1 x 2 1 立，则实数 a 的取值范围为（　　） � e2 � �, � A． � � 12 � � e2 � , � � B． � � 12 � e� 2� � � �, � C． � � � e� �, � D． � 2 � 3.若对∀x1，x2∈(m，＋∞)，且 x1<x2，都有<1，则 m 的最小值是(　　) 注：(e 为自然对数的底数，即 e＝2.718 28…) A. B．e C．1 D. 4.（2021·江苏扬州中学高三数学开学考试·8）已知函数 x2 � �, � ，且 x1 �x2 ，不等式 （ A． f  x   x  a sin x ，对任意的 x1 ， f  x1   f  x2  a 恒成立，则实数 的取值范围是 x1  x2 a ） a 1 2 1 a� B． 2 C． a 1 2 1 a� D． 2 1,1 5. （2021·江苏无锡天一·12 月八省联考热身卷·8）已知 f ( x ) 是定义在  上的奇函数， a, b � 1,1 且 f ( 1)  1 ， 当 ，且 f  x   m 2  2tm  1 A． C． 对任意的 t � 1,1 (�, 2) U 0 U (2, �) (2， 2) 6.设函数 f  x a  b �0 时 ， (a  b)( f (a)  f (b))  0 成 立 ， 若 D． 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） B． ( �, 2) U (2, �) (2，， 0) U (0 2) 是定义在 R 上的奇函数， f  2   0 ，若对任意两个不相等的正数 x1 , x2 都 x2 f  x1   x1 f  x2  f  x 0  0 的解集为______. 有 ，则不等式 x1  x2 x 7.已知 f ( x)  alnx  f ( x1 )  f ( x2 ) 1 2 1 x x 2 2 2 ，若对任意两个不等的正实数 x1 ， x2 ，都有 x1  x2 恒 成立，则 a 的取值范围是　 　． 【答案与提示】 1. 【答案】B 【解析】因为函数对任意 x �x ，都有 1 2 f  x1   f  x2  x1  x2 0 成立，所以函数在定义域内单 � 0  a 1 1 � 4a  1  0 ，  0  a � .故选 B. 调递减，所以 � 6 � log 1 � 4 a  1 � 1  2 a   a � 2. 【答案】A 【分析】令 g  x   xf  x  ，由 f 