第四章三角恒等变换单元检测卷（A 卷带解析） 一、单选题 1 1．已知 sin    ，则 cos 2 的值为（ 3 A．  2．若 4 2 9 ） 4 2 B． 9 sin   2 cos  1  ，则 （ tan   3sin   cos  2 A． 5 3．已知角  的终边经过点  2,  7 7  D． 9 C．3 D．5 ） B． 3 P 7 C． 9 � �   �  ，则 cos � � 3�( 6 7 A． 6 6 7 B． 6 2  21 C． 6 2  21 D． 6 ) π 4．函数 f  x   cos 2  x  2sin 2  x    0  的最小正周期为 ，则 的值为（  2 ）． 1 A．2 B．4 C．1 D． 2 5．我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大 正方形（如图）．如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 13，直角三角形中较 � π� tan �   � � 4� （ 小的锐角为 θ，那么 A．5 2 13 B． 13 ） 2 13 C． 13  D． 5 �3 � tan   1 1 cos2 �   �  �4 �（ 6．已知 1  tan  2 ，则 A． 4 5 B． 7．已知 A． 3 5 C． 3 4 1  sin 2 A 1 （ sin A  cos A  ，则 ， 0π A  5 1  cos 2 A 1 32 B． 1 18 C． 8．将函数 y  cos 2 x 的图象先向右平移 得图象对应的函数解析式是（ A． ） 2 cos 2 x B． � 5 tan �  � 4 9．已知 1 5 ） 49 18 D． 49 32 π 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，所 2 ） 2sin 2 x C．  cos 2x D． � 1 � 3 tan       � ， 3 ，则 tan  2    等于（ B．  A．1 D． 1 7 C． 1 7 sin 2x ） D．2 或 6 � x � � x � f  x   2 3 sin �  � sin �  � sin x �4 2 � �4 2 � 10．已知函数 ，将函数 f  x  的图象上所有点 的横坐标缩短为原来的 1 ，纵坐标不变，然后再向左平移     0  个单位长度，所得 4 的图象关于 y 轴对称，则  的值可能为（ A．  24 B．  11．已知函数 A．函数 f  x  24 f  x   3 sin x cos x  sin 2 x ） C． 3 8 D． ，则下列结论中错误的是（  4 ） 的最小正周期为 π �π1 � � , � 12 2 �是函数 f  x  图象的一个对称中心 B． � π C． x  3 是函数 f  x  图象的一条对称轴 π 1 D．将函数 f  x  的图象向左平移 个单位长度，即可得到函数 y  sin 2 x  的图象 12 2 12．在锐角 VABC 中，角 A，B，C 所对的边为 a，b，c，若 且 c2 3 2 a  b2  c 2   4 ，则 a  b 的取值范围是（ SVABC    ） � 1 3� , � � � C． � 2 3 � B． 6, 4 3 � � A． 6, 2 3 � � sin B sin C cos A cos C   ， 3sin A a c D． � � 3, 2  二、填空题 �3 � 1 cos �   �  2 � � 3 ，则 sin   cos 2  ______． 13．若 14．已知  ，  均为锐角，若 cos  cos   1  sin  sin  ，则    值为____________． 2 cos b .设函数 f ( x )  [(2 x ) � ]  [ �(2 x )] ，将 f ( x) 的 15．定义运算“⊕”： a �b  sin a � 图象向右平移 | |  个单位长度得到函数 g ( x ) 的图象，且 g ( x) 的图象关于 y 轴对称，则 8 的最小值为_______. 16．“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一．定理的内容是这 样的：如图， VABC 的三条边长分别为 BC  a ， AC  b ， AB  c ，延长线段 CA 至点 A1 ，使得 AA1  a ，以此类推得到点 圆叫做康威圆．若在 A2 ， B1 ， ， C1 和 C2 ，那么这六个点共圆，这个 24 tan 2�ABC  ， Rt△ ABC 中， �ACB  90�， AB  10 ，则由该 7 直角三角形生成的康威圆的面积为______． 三、解答题 B2 17．已知  为第二象限角，且 4sin   3cos   0 ． (1)求 tan  与 sin  的值； (2) sin   2cos  2sin   cos  的值． 18．已知函数 (1)求 f  x f  x   2 3sinxcosx  cos 2 x  sin 2 x  x �R  . 的最小正周期；  (2)当 0  x  2 时，求 f  x  的值域. � � f  x   A sin   x    �A  0,   0, 0    � 2 �的部分图象如图所示，且在 19．已知函数 � x  处取得最大值，图象与 y 轴交于点 0, 3 ． 12 (1)求函数  f  x  的解析式； �� 6  ��0, � f   2 � � (2)若 ，且 5 ，求 cos 2 的值． 20．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期末）已知 �3 � sin  3    tan      sin �   � 2 � � f    . � � cos �   �tan  3    � 2� 1 (1)若  � 0, 2  ，且 f      ，求 的值.  2 �3 � 1  cos 2 f     2 f �   � 0 �2 � ，求 sin 2 的值. (2)若 21．（1）在条件① sin A cos A tan A  2sin A  cos A 1  ；② ；③ 4sin 2 A  4 cos A  1 3sin A  4 cos A 7 1 2 中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．已知角 A 为锐角，__ ___．求角 A 的大小； �  �  ��  , � � 2 2� （2）是否存在角  和  ，当 ，  �(0,  ) 时，等式 � � � �sin  3     2 cos �2   � � � � � 3 cos      2 cos      同时成立？若存在，则求出 和 的值；若不存在，请 �   说明理由． 2 22 已知函数 f  x   3sin x  2cos (1)求函数 f  x 的最大值； x  m 的最小值为 . 2 2  (2)把函数 y  f  x  的图象向右平移 个单位，可得函数 y  g  x  的图象，且函数 6 �� 0, y  g  x 在 � � 8� �上为增函数，求  的最大值.参考答案： 1．C 【解析】 【分析】 利用余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】 2 � 1� 7 cos2  1  2sin 2  1  2 ��  � � 3� 9 . 故选：C. 2．A 【解析】 【分析】 sin  根据三角函数的性质 tan   cos  进行计算. 【详解】 解：由题意得： 2  sin   2cos    3sin   cos  sin   5cos  tan   sin   5 cos  故选：A 3．D 【解析】 【分析】 � � cos �  � � 3 �即可计算. 根据三角函数的定义求出 sinθ 和 cosθ，用余弦和角公式展开 【详解】 ∵角  的终边经过点 sin    ∴ P  2,  7  ，则 P 到原点距离为  2     7  2 2 3 ，∴ cos   2 3 ， 7 3 ， 3 2  21 � � 1 cos �   � cos   sin   . 3 2 2 6 � � 故选：D. 4．A 【解析】 【分析】 根据二倍角的余弦公式可得 f  x  2π 3 1 T cos 2 x   计算即 2 2 ，结合求最小正周期的公式 可. 【详解】 解： f  x   1  cos 2 x 3 1   1  cos 2 x   cos 2 x  ， 2 2 2 2ππ 由   0 得函数的最小正周期为 T  2  2 ， ∴ 2 ， 故选：A． 5．A 【解析】 【分析】 � π� tan �  � � 4 �. 先求得直角三角形的直角边，由此求得 tan  ，进而求得 【详解】 由题意可知，大正方形的边长为 13 ，小正方形的边长为 1， 设图中直角三角形较短的直角边长为 x ，可得出直角三角形较长的直角边长为 x  1 ， x 2   x  1  13 2 由勾股定理可得 ，解得 x  2 ， x  1  3 ， 2 1 � π � tan   1 3 tan �   �  5 . 所以 2 ，因此， � 4 � 1  tan  1  2 tan   3 3 故选：A 6．A 【解析】 【分析】 由