专题 11 概率与统计 1 1 (0, ) 2 1.【2021 年·全国乙卷（文）】在区间 随机取 1 个数，则取到的数小于 3 的概 率为( ) 3 2 A. 4 B. 3 1 C. 3 1 D. 6 2.【2021 年·全国乙卷（理）】在区间 (0,1) 与 (1, 2) 中各随机取 1 个数，则两数之和大 7 于4 的概率为() 7 A. 9 23 B. 32 9 C. 32 2 D. 9 3.【2021 年·全国甲卷（理）】将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻 的概率为( ) 1 A. 3 2 B. 5 2 C. 3 4 D. 5 4.【2021 年·新高考Ⅰ卷】有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从 中有放回的随机取两次，每次取 1 个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙表示事件“两次取出的球的数字 之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则( ) A.甲与丙相互独立 与丁相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙 5.【2020 年·全国Ⅱ卷（文）】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业 务，每天能完成 1200 份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解 决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压 500 份订单未 配货，预计第二天的新订单超过 1600 份的概率为 0.05。志愿者每人每天能完成 50 份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95，则至少需要志愿者（） A.10 名 B.18 名 C.24 名 D.32 名 6.【2020 年·全国Ⅰ卷（文）】设 O 为正方形 ABCD 的中心，在 O, A, B, C , D 中任取 3 点，则取到的 3 点共线的概率为( ) 1 A. 5 2 B. 5 1 C. 2 4 D. 5 7.【2019 年·全国Ⅰ卷（理）】我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一 “重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“ ”，如图就 是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是() 5 A. 16 11 B. 32 21 C. 32 11 D. 16 8.【2019 年·全国Ⅱ卷（文）】生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项 指标.若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为( ) 2 A. 3 3 B. 5 2 C. 5 1 D. 5 9.【2021 年·新高考Ⅰ卷】（多选）有一组样本数据 x1 ， x2 ，…， xn ，由这组数据 得到新样本数据 y1 ， y2 ，…， yn ，其中 yi  xi  c(i  1, 2,L A.两组样本数据的样本平均数相同 , n) ，c 为非零常数，则( ) B.两组样本数据的样本中位数 相同 C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相 同 10.【2021 年·新高考Ⅱ卷】一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设 一个这种微生物为第 0 代，经过一次繁殖后为第 1 代，再经过一次繁殖后为第 2 代，……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设 X 表示 1 个微生物个体繁殖下一代的个数， P  X  i   pi (i  0,1, 2,3) . （1）已知 p0  0.4 ， p1  0.3 ， p2  0.2 ， p3  0.1 ，求 E ( X ) ； （2）设 p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于 x 的方程： p0  p1 x  p2 x 2  p3 x3  x 的一个最小正实根，求证：当 E ( X ) �1 时， p  1 ，当 E ( X )  1 时， p  1 ； （3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义. 11.【2020 年·全国Ⅰ卷（理）】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制 如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每 场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰； 当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜， 1 比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 2 . (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率. 12.【2021 年·新高考Ⅰ卷】某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题.每 位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回 答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回 答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分；B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分. 已知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8，能正确回答 B 类问题的概率为 0.6， 且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答 A 类问题，记 X 为小明的累计得分，求 X 的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题?并说明理由. 13.【2020 年·新高考Ⅰ卷】为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某 市空气质量进行调研，随机抽查了 100 天空气中的 PM2.5 和 SO2 浓度（单位： g m3 ），得下表：  0,35  35,75  75,115 [0,50] (50,150] (150, 475] 32 18 4 6 8 12 3 7 10 （1）估计事件“该市一天空气中 PM2.5 浓度不超过 75，且 SO2 浓度不超过 150”的概 率； （2）根据所给数据，完成下面的 2 �2 列联表：  0,150  150, 475  0,75  75,115 （3）根据（2）中的列联表，判断是否有 99%的把握认为该市一天空气中 PM2.5 浓 度与 SO2 浓度有关. 附： K2  n(ad  bc)2 (a  b)(c  d )(a  c )(b  d ) ， 0.050 3.841 P( K 2 �k ) k 0.010 6.635 0.001 10.828 14.【2021 年·全国乙卷（理）】某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新 设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产 品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 备 新设 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 备 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 x 和 y ，样本方差分别 2 2 记为 s1 和 s2 . 2 2 （1）求 x ， y ， s1 ， s2 ； （2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 y  x �2 s12  s22 10 ，则认为新设备生产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否 则不认为有显著提高）. 15.【2021 年·全国甲卷（文）】甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为 一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计如表： 一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ （2）能否有 99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 附： K2  n(ad  bc) 2 (a  b)(c  d )(a  c )(b  d ) ， P  K 2 �k  0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 答案以及解析 1.答案：B 1 2 P 3  解析：本题考查几何概型的计算.利用几何概型的计算公式，可得 1 3 . 2 2.答案：B 解析：本题考查简单的线性规划及其应用、几何概型的概率问题.由题目条件设 x �(0,1) ， y �(1, 2) ，且 x y 7 4 ，则作出对应的平面区域如图所示，可知所求的概率 1 3 3 1 �1  � � 2 4 4  23 . 为P 1 �1 32 3.答案：C 解析：本题考查古典概型、组合数.所有的排法是 C6  15 ，不相邻的排法是 C5  10 ， 2 10 2  故所求概率为 15 3 . 2 4.答案：B 解析：本题考查独立事件的概念.由于有放回的取球，则 P(丙)  5 1 P (丁)  36 ， 6 P(甲丁甲丁 ) P( )  P( ) ， P(甲丙)  0 ， P(甲丁)  P(甲)  1 6 ， P (乙)  1 6， 1 1 P(乙丙)  36 ， 36 ， P (丙丁)  0 ，其中 ，故甲与丁相互独立. 5.答案：B 解析：由题意知，第二天在没有志愿者帮忙的情况下，积压订单超过 500  (1 600  1 200)  900 份的概率为 0.05，因此要使第二天完成积压订单及当日订单的 900  18 (名)，故选 B. 配货的概率不小于 0.95，至少需要志愿者 50 6.答案：A 解析：根据题意作出图形，如图所示，在 O，A，B，C，中任取 3 点，其样本空 间   {(0, A, B), (O, A, C ),(O, A, D), (O, B, C ),(O, B, D), (O, C , D), ( A, B, C ), ( A, B, D ), ( A, C , D ), (B , C , D )} ，共包 含 10 个样本点，记事件 E 为取到的 3 点共线”，则事件 E 包含的样本点为 (O, A, C ) ， (O, B, D) ，共 2 个，所以 P( E )  2 1  10 5 .故选