2022 年高考数学备考专项测试--轨迹方程求解方法 一、单选题 1 P x , y A  1,0 , B 1, 0       1．在平面直角坐标系 xOy 中，动点 与两点 的连线 PA, PB 的斜率之积为 y ， 则点 P 的轨迹方程为 5 A． C． x 2  y 3  1 y �0  B． x2  y3  1 D． x 2  y 3  1 x 2 �1 x2  y3  1 2．设过点 P(x，y)的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A，B 两点，点 Q 与点 P 关于 y 轴 uuur uuu uuu r uuu r r OQ AB PA BP · 对称，O 为坐标原点．若 ＝2 ，且 ＝1，则点 P 的轨迹方程是（ A． 10 3 2 x ＋3y2＝1(x＞0，y＞0) 2 C．3x2－ B． 3 2 y ＝1(x＞0，y＞0) 2 ） 3 2 x －3y2＝1(x＞0，y＞0) 2 D．3x2＋ 3 2 y ＝1(x＞0，y＞0) 2 3．已知两圆 C1：（x-4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2=9.动圆 M 在圆 C1 内部且和圆 C1 相内切，和圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程是（ x2 y2  1 A． 64 48 x2 y 2  1 B． 48 64 x2 y 2  1 C． 48 64 x2 y 2  1 D． 64 48 �1 15 ） � 1 ,0 � x   ，点 是 上的动点．若过 垂直于 轴的直线与线段 4．已知点 F � 的垂 y �4 �，直线 l ： l 4 B B BF 直平分线交于点 M ,则点 M 的轨迹是(　 　)． A．双曲线 5．已知定点 B．椭圆 P (m, 0) ，动点 Q 在圆 O： C．圆 x 2  y 2  16 点 M 的轨迹是双曲线，则 m 的值可以是（ 20 A．2 B．3 D．抛物线 上，PQ 的垂直平分线交直线 OQ 于 M 点，若动 ） C．4 D．5 5 uuu v 1 uuu v 2 uuu v uuu v 6．已知 AB  3 ， A, B 分别在 y 轴和 x 轴上运动， O 为原点， OP  OA  OB ,点 的轨迹方程为 3 3 P x2  y2  1 A． 4 7．已知 y2 1 4 x2  y2  1 C． 9 D． x2  y2 1 9 1 2 是抛物线 y  4 x 的焦点， 是该抛物线上的动点，则线段 中点的轨迹方程是 P PF F 2 A． x  y  25 B． x2  1 2 8．已知过点 (0,1) 2 B． x  2 y  的直线与圆 1 16 x2  y 2  4 C． x 2  2 y  1 相交于 A B 、 两点，若 D． x 2  2 y  2 uuu r uuur uuur OA  OB  OP P ，则点 的轨迹方程 是 1 2 2 A． x  ( y  )  1 2 B． x 2  ( y  1) 2  1 1 2 2 C． x  ( y  )  2 2 D． x 2  ( y  1)2  2 9．已知正方形的四个顶点分别为 O(0, 0) ， A(1, 0) ， B(1,1) ， C (0,1) ，点 D ， E 分别在线段 OC ， AB 30 上运动，且 OD  BE ，设 AD 与 OE 交于点 G ，则点 G 的轨迹方程是（ A． C． y  x(1  x)(0 �x �1) B． y  x 2 (0 �x �1) D． ）. x  y (1  y )(0 �y �1) y  1  x 2 (0 �x �1) 二、多选题 10．已知 VABC 的两个顶点 35 m  m �0  A, B 的坐标分别是 n 且斜率之差等于 ，则正确的是（  5, 0  ,  5, 0  ，且 AC , BC 所在直线的斜率之积等于 ） A．当 m  0 时，点 C 的轨迹是双曲线. B．当 m  1 时，点 C 在圆 x 2  y 2  25 上运动. C．当 m  1 时，点 C 所在的椭圆的离心率随着 m 的增大而增大. D．无论 n 如何变化，点 C 的运动轨迹是轴对称图形. C :  x  1   y  3  4 2 40 11．已知线段 AB 是圆 l1 : mx  y  3m  1  0 与直线 2 的一条动弦， G 为弦 AB 的中点， | AB | 2 3 ，直线 l2 : x  my  3m  1  0 P 相交于点 ，下列说法正确的是（ ） A．弦 AB 的中点轨迹是圆 B．直线 l1 , l2 的交点 P 在定圆 C．线段 45 PG uuu r uuu r PA � PB D． 长的最大值为 的最小值  x  2 2   y  1  2 2 上 6 5 18  8 5 12．已知点 A 的坐标为 (3, 0) ，点 B 的坐标为 (3, 0) ，直线 AP 与 BP 相交于点 P，且它们的斜率之 积为非零常数 m，那么下列说法中正确的有（ ） A．当 m  1 时，点 P 的轨迹加上 A，B 两点所形成的曲线是焦点在 x 轴上的椭圆 B．当 m  1 时，点 P 的轨迹加上 A，B 两点所形成的曲线是圆心在原点的圆 50 C．当 1  m  0 时，点 P 的轨迹加上 A，B 两点所形成的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆 D．当 m  0 时，点 P 的轨迹加上 A，B 两点所形成的曲线是焦点在 x 轴上的双曲线 三、双空题 13．若点 A(－1，0)，B(1，0)，P 满足 | PA || PB | ( x 2  y 2 ) 2  2( x 2  y 2 ) 55 5 ，则点 P 的轨迹 C 的方程为 4 ＝_______，设 M，N 是轨迹 C 与 x 轴的两个交点，则△PMN 面积的最大值为 _______． 四、填空题 2 2 O : ( x  4)  y  4 14．已知圆 O1 : x  y  1 和圆 2 ，过点 P（x，y）分别作 O1 , O2 的切线 PA，PB，其 2 2 中 A，B 为切点，且 | PA || PB | ，则动点 P 的轨迹方程为___________． 10 15．如图，设圆 60 O : x2  y 2  4 ，现将半圆 AMB x 所在平面沿 轴折起（坐标轴不动），使之与半平 面 ANB 成 45� 的二面角，若点 M 为半圆 AMB 上的动点，则点 M 在半圆 ANB 所在平面上的射影的 轨迹方程为____． 五、解答题 16．已知点 M 到点 F (2, 0) 的距离比到点 M 到直线 x  6  0 的距离小 4；求点 M 的轨迹 C 的方程. 65 17．已知定点 F（3，0）和动点 P（x，y），H 为 PF 的中点，O 为坐标原点，且满足 OH  HF  2 18．已知 .求点 P 的轨迹方程. M  x0 , 0  uuur uuuu r uuur OG  2 OM  ON ， N  0, y0  ，动点 G y 两点分别在 x 轴和 轴上运动，且 的轨迹为 E MN  1 ，若动点 G 满足 . （1）求 E 的方程； 70 （2）已知过点  1, 0  的直线 l 与曲线 E 交于 A ， B 两点，问：在 x 轴上是否存在定点 P ，使得 uuu r 2 uuu r uuu r PA  PA � AB 为定值？若存在，试求出点 P 的坐标和定值；若不存在，请说明理由. 19．如图，梯形 ABCD 的底边 AB 在 y 轴上，原点 O 为 AB 的中点， | AB | 15 4 2 4 2 ,| CD | 2  , AC  BD, M 为 CD 的中点. 3 3 75 (1)求点 M 的轨迹方程； � � (2)过 M 作 AB 的垂线，垂足为 N，若存在正常数 0 ，使 MP  0 PN ，且 P 点到 A、B 的距离和为定 值，求点 P 的轨迹 E 的方程. 20．已知抛物线 C ： y  B 80 1 2 x 2 ，过点 Q(1,1) 的动直线与抛物线 C 交于不同的两点 A 、 B ，分别以 A 、 l1 l2 l1 l2 P 为切点作抛物线的切线 、 ，直线 、 交于点 . (1)求动点 P 的轨迹方程； (2)求 △ PAB 面积的最小值，并求出此时直线 AB 的方程. 21．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点  F1  17, 0  、F  2  17, 0 ，MF1  MF2  2 ，点 M 的轨迹为 C . （1）求 C 的方程； 1 （2）设点 在直线 x  上，过 的两条直线分别交 C 于 、 两点和 ， Q 两点，且 2 A B P T T 85 TA � TB  TP � TQ ，求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和. uuuu r uuur uuuuur2 y  2 y0 N MN � MR  OM ，其中 O 为坐 M R 22．设动点 在直线 和 上的射影分别为点 和 ，已知 标原点. （1）求动点 M 的轨迹 E 的方程； 20 （2）过直线 90 x y20 P 上的一点 作轨迹 E 的两条切线 PA 和 PB A ( B ， 为切点)，求证：直线 AB 经过定点. A  1, 0  23．过点 的直线 l 与抛物线 C : y2  4x 交于 P、Q 两点. （1）求线段 PQ 的中点 B 的轨迹方程； PFQ 120 ，求直线 l 的斜率的取值范围. （2）抛物线 C 的焦点为 F，若 У� 24．如图，已知抛物线 95 PA ， PB x2  4 y 分别交抛物线于点 C ，直线 ， D y  kx  1 ，且 交抛物线于 CD //AB A B P ， 两点， 是抛物线外一点，连接 . （1）若 k  1 ，求