目 录 / contents 5 月 30 日 概率 ……………………………………………………01 5 月 31 日 统计 ………………………………………………………13 6月1日 立体几何与空间向量 ……………… ……………………42 6月2日 导数及其简单应用…………………………………………73 6月3日 极坐标与参数方程 …………………………………………89 6月4日 不等式选讲 ……………………………………………110 6月5日 导数与其他知识的综合问题(解答题)……………………125 ……………130 时间：5 月 30 日 今日心情： 核心考点解读—— 概率 一、考纲解读 1 . 随 机 事 件 的 概 率 （I ） 2.古典概型（II） 3.几何概型（I ） 4.条件概率及两个事件相互独立的概念（I ） 二、高考预测 1.从考查题型来看，涉及本知识点的题目若在选择题、填空题中出现，则主要考查古典概 型、几何概型、条件概率的计算。 2.从考查内容来看，主要考查在古典概型或几何概型下求随机事件的概率，求条件概率， 通过互斥事件、对立事件考查等可能性事件的概率取值问题，体现了概率问题的实际应用 状况. 3.从考查热点来看，概率求值是高考命题的热点，以古典概型或几何概型为主线，考查随 机事件的概率.需注意知识的灵活运用. 三、知识回顾 一、随机事件及其概率 1．事件的分类 2．频率与概率 （1）事件的频率：在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现，称 n 次 试验中事件 A 出现的次数 n 为事件 A 出现的频数,称事件 A 出现的比例 f n ( A)  A nA 为事 n 件 A 出现的频率. （2）事件的概率：对于给定的随机事件 A,由于事件 A 发生的频率 f n ( A) 随着试验次数 的增加稳定在某个常数上，把这个常数记作 P ( A) ，称为事件 A 的概率，因此可以用 f n ( A) 来估计概率 P ( A) . 注意：频率是事件 A 发生的次数与试验总次数的比值，与试验次数有关.概率是一个确 定的数，是客观存在的,与试验做没做、做多少次完全无关. 二、事件间的关系及运算 定义 符号表示 如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生， 包含关系 这时称事件 B 包含事件 A(或称事件 A 包 B⊇A(或 A⊆B) 含于事件 B) 相等关系 若 B⊇A 且 A⊇B，则事件 A 与事件 B 相 等 A＝B 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事 并事件(和事件) 件 B 发生，称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件) A∪B(或 A＋B) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事 交事件(积事件) 件 B 发生，则称此事件为事件 A 与事件 A∩B(或 A·B) B 的交事件(或积事件) 互斥事件 若 A∩B 为不可能事件，则称事件 A 与 事件 B 互斥 若 A∩B 为不可能事件，A∪B 为必然事 对立事件 件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事 件 A I B =� A I B =� 且 A U B =U 注意：互斥事件与对立事件都是指两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个 事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求必须有一个发生.因此，对 立事件一定是互斥事件，而互斥事件未必是对立事件. 三、概率的基本性质 1．由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以频率在 0~1 之间,从而任何事件的概 率都在 0~1 之间,即 0 �P( A) �1 .必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0. 2．当事件 A 与事件 B 互斥时, P( A U B )  P( A)  P( B) ，该公式为概率的加法公式.当 一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即 P ( A1 U A2 UL U An )  P  A1   P  A2   L  P  An  . 3．若事件 A 与事件 B 互为对立事件,则 A U B 为必然事件, P ( A U B)  1 .再由加法公式 得 P  A  P  B   1 . 四、基本事件 在一次试验中，可能出现的每一个基本结果叫做基本事件. 基本事件有如下特点： （1）任何两个基本事件是互斥的. （2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和. 五、古典概型的概念及特点 把具有特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可 能性相等的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型. 六、古典概型的概率计算公式 事件包含的基本事件数 A . P( A)  试验的基本事件总数 七、几何概型 1．几何概型的概念 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概 率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 2．几何概型的特点 （1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个. （2）每个基本事件发生的可能性相等. 3．几何概型的概率计算公式 构成事件的区域长度（面积或体积） A . P( A)  试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） 4．必记结论 （1）与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关； （2）与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确 ， 可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个 区域，即可借助平面区域解决问题； （3）与体积有关的几何概型. 八、随机模拟 用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗方法. 这个方法的基本步骤是： （1）用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义； （2）统计代表某意义的随机数的个数 M 和总的随机数个数 N； （3）计算频率 f n ( A)  M 作为所求概率的近似值. N 注意，用随机模拟方法得到的结果只能是概率的近似值或估计值，每次试验得到的结果 可能不同，而所求事件的概率是一个确定的数值. 九、条件概率与相互独立事件的概率 1．条件概率及其性质 （1）对于任何两个事件 A 和 B，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫做 条件概率，用符号 P(B|A)来表示，其公式为 P ( B | A)  P( AB ) ( )． P ( A) P( A)  0 在古典概型中，若用 n(A)表示事件 A 中基本事件的个数，则 P( B | A)  n( AB ) (n(AB)表 n( A) 示 A，B 共同发生的基本事件的个数)． （2）条件概率具有的性质 ① 0 �P  B | A  �1 ； ② 如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P( B U C | A)  P  B | A  +P  C | A  . 2．相互独立事件 （1）对于事件 A，B，若 A 的发生与 B 的发生互不影响，则称 A，B 是相互独立事件． （ 2 ） 若 A 与 B 相 互 独 立 P  B | A   P  B  , P  AB   P  B | A  P  A   P  A  P  B  ． （3）若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也都相互独立． ， 则 （4）若 P  AB   P  A  P  B  ，则 A 与 B 相互独立． 【注】① A, B 中至少有一个发生的事件为 A∪B； ② A, B 都发生的事件为 AB； ③ A, B 都不发生的事件为 AB ； ④ A, B 恰有一个发生的事件为 AB U AB ； ⑤ A, B 至多有一个发生的事件为 AB U AB U AB . 四、应试技巧 1.古典概型中的基本事件都是互斥的． 2.在计算古典概型中基本事件数和事件发生数时，易忽视它们是否是等可能的． 3.随机事件的概率的性质及其求解方法 性质： 0 �p �1 .若事件的概率为 1，则该事件是必然事件；若事件的概率为 0，则该事 件是不可能事件；若事件的概率为 0  p  1 ，则该事件是随机事件. 随机事件概率的求法： (i)将所求事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率的加法公式求解概率； (ii)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面 的分类较少，则可考虑利用对立事件的概率公式，即利用“正难则反”的思想. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 真题回顾 1．（2021·全国·高考真题（文））将 3 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率 为（ ） A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8 【答案】C 【解析】 解：将 3 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，可以是： 00111,01011, 01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100 ， 共 10 种排法， 其中 2 个 0 不相邻的排列方法为： 01011, 01101,01110,10101,10110,11010 ， 共 6 种方法， 故 2 个 0 不相邻的概率为 6 =0.6 ， 10 故选：C. � 1� 1 0, � � 2 2．（2021·全国·高考真题（文））在区间 � �随机取 1 个数，则取到的数小于 3 的概率 为（ A． ） 3 4 B． 2 3 C． 1 3 D． 1 6 【答案】B 【解析】 1� � 1� � 1 0, � �x 0  x  � � 2 ，区间长度为 2 ， 设   “区间 � 2 �随机取 1 个数”，对应集合为： � 1� � 1 1 �x 0  x  � 3 � ，区间长度为 3 ， A  “取到的数小于 3 ”， 对应集合为： 1 l  A 3  0 2 P A    所以   l    1 ． 0 3 2 故选：B． 名校预测 1．（2022·安徽蚌埠·模拟预测（文））设 O 为正方形 ABCD 的中心，在 O，A，B，C，D 中任取 3 点，则取到的 3 点不在一条直线上的概率为（ A． 1 5 B． 2 5 C