考点 16 二元一次不等式（组）与简单的线性 规划问题 �x  y �4, � x  y �2, 则 1．（2021·全国高考真题（文））若 满足约束条件 � 的最小值为（ ） �y �3, x, y z  3x  y � A．18 B．10 C．6 D．4 【答案】C 【分析】 由题意作出可行域，变换目标函数为 y  3x  z 【详解】 由题意，作出可行域，如图阴影部分所示， �x  y  4 由 �y  3 可得点 A  1,3 , � ，数形结合即可得解. 转换目标函数 上下平移直线 此时 z  3x  y 为 y  3x  z zmin  3 �1  3  6 y  3x  z ， ，数形结合可得当直线过点 A z 时, 取最小值， . 故选：C. 1.一种方法 确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法． (1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线 画成实线． (2)特殊点定域，即在直线 Ax＋By＋C＝0 的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入 不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一 侧．特别地，当 C≠0 时，常把原点作为测试点；当 C＝0 时，常选点(1,0)或者(0,1)作为 测试点． 2.一个步骤 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域； (2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形； (3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 两个防范 (1)画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化． (2)求二元一次函数 z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数 z＝ax＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出 z 的最值．要注意：当 b＞0 时，截距取最 大值时，z 也取最大值；截距取最小值时，z 也取最小值；当 b＜0 时，截距取最大值 时，z 取最小值；截距取最小值时，z 取最大值． 1．二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，直线 l：ax＋by＋c＝0 把直角坐标平面分成了三个部分： ① 直线 l 上的点(x，y)的坐标满足 ax＋by＋c＝0； ② 直线 l 一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足 ax＋by＋c＞0； ③ 直线 l 另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足 ax＋by＋c＜0. 所以，只需在直线 l 的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从 ax0＋by0＋c 值的正负，即可判断不 等式表示的平面区域． (2)由于对直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入 Ax＋By＋C 所得到实数的符号 都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由 Ax0＋By0＋C 的符号即可判断 Ax＋By＋C＞0 表示直线 Ax＋By＋C＝0 哪一侧的平面区域． 2．线性规划相关概念 名称 目标函数 约束条件 线性约束条件 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 意义 欲求最大值或最小值的函数 目标函数中的变量所要满足的不等式组 由 x，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数是关于变量的一次函数 满足线性约束条件的解 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的点的坐标 在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题 �x  y �1 1．（2021·浙江宁波市·镇海中学高三其他模拟）若 ， y 满足约束条件 � x �2 x  y �2 ，则 z  x  2 y 的最 小值是（ ） A． 4 B．0 C．1 D．2 3 x  y  5 �0 � � 2．（2021·宁波市北仑中学高三其他模拟）已知 满足条件 �x  y  4 �0 ，则 y 的取值范围为（ z � y �1 x, y � x ） 1 [ , 7] B． 3 A． (0, 7] C． [3, 7] D． [2, 7] �x  2 y  1 �0 � x  y �0 3．（2021·商丘市第一高级中学高三月考（文））已知 ， 满足约束条件 � ，则 �y �1 � x y z  y  2x 的最小值为（ A．-1 ） B．-2 C．-3 D．-4 �3 x  y  3 �0 � 2 x  3 y  9 �0 ，则 4．（2021·山西太原市·高三一模（文））已知实数 满足 � 2 x  y  3 的取值 z �x  2 y  1 �0 x, y � x2 范围是（ ）  1, 2  U  2, 4 A．  �,1 U  2, 4  B． C．  D．  1, 2  U 4, � �,1 U  4, � �y �2 x � x  y �1 ，且 5．（2021·四川高三月考（文））若变量 ， 满足约束条件 � 的最小值是-2，则 �y �a z  x +2 y � x y a 的值为（ ） 4 A． 5  2 C． 3  B．-2 D．-1 �x  y �0, �y  x �2, � 6．（2021·浙江嘉兴市·高三二模）在平面直角坐标系中，不等式组 � 所表示的平面区域是一个 �x  y �2, � �y �ax  a 梯形，则实数 a 的取值范围是（ ） � 1� 0, �� 2, � A． � � 2� � 1� �, � � 2, � B． � � 2� C．  0, 2  D． 1� � � 2� 1,  �, 1 U � � �x  2 y �2 � 2 x  y �4 表示的平面区域为 ，若点 7．（2021·全国高三其他模拟（文））设不等式组 � ，则 � 4 x  y �  1 �  P � 以坐标原点 185 A． 4 O 为圆心､ | OP | 为半径的最大圆与最小圆的面积之比为（ 185 B． 16 375 C． 9 ） 37 D． 3 �x  2 y  4 �0 � x  y  1 �0 ，则 8．（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（文））若 x，y 满足约束条件 � � 2 x  y  2 �0 � z  3x  y A．2 的最大值为（ ） B．3 C．4 D．5 �2 x  y �0 � 9．（2021·全国高三专题练习（文））若实数 、 满足 �y �x ，且 的最小值为 ，则 �y � x  b z  2x  y � x y 3 b 实数 的值为（ ）. 3 A． 4 5 B． 4 7 C． 4 9 D． 4 x 10．（2021·全国高三专题练习（文））关于 的方程 x 2  ax  2b  0 的两根分别在区间 (0， 1) 与 (1， 2) 内， b2 则 a  1 的取值范围为（ ）. 1 1 ( ，) A． 4 2 1 ( ， 1) B． 4 1 ( ， 1) C． 2 D． (1， 2) 11．（2021·全国高三专题练习（文））设数列 S4 �10 A． 1 ， S5 �15 ，则 a4 的最大值为（ ）. {an } 为等差数列， Sn 为数列 {an } 的前 n 项和，若 S1 �13 ， B． 2 C． 3 D． 4 �x  y �0 � 2 x  y �6 , ，则 y  2 的最大 12．（2021·四川成都市·成都七中高三二模（文））若 x，y 满足约束条件 � �x  y �2 � x 1 值是（ ） 7 A． 2 B．3 C．2 3 D． 2 �x  y  2 �0 � x  2 y  4 �0 ，则 13．（2021·四川省内江市第六中学高三月考（文））设变量 满足约束条件 � �2 x  y  4 �0 x, y � z  2x  y A．2 的最小值为（ ） B．4 C．-2 D．12 �x  2 y  2 �0 � x  y  1 �0 ，若 14．（2021·江西高三其他模拟（文））若实数 ､ 满足约束条件 � 的最小 �x  my �0 z  x  2y � x y 值为-4，则 m 的值为（ 3 A． 2  ） 2 B． 3  2 C． 3 3 D． 2 �x  y�6 15．（2019·全国高考真题（文））记不等式组 � 2 x  y �0 表示的平面区域为 D ，命题 � p : ( x, y ) �D, 2 x  y�9 p ��q ；④ �p ��q A．①③ ；命题 q : ( x, y ) �D, 2 x  y�12 .给出了四个命题：① p �q ；② �p �q ；③ ，这四个命题中，所有真命题的编号是 B．①② C．②③ D．③④ 2 x  y  1 �0, 16．（2016·全国高考真题（文））若 满足约束条件 {x  2 y  1 �0, 则 的最小值为___ x, y x �1, z  2x  3 y  5 ______. x  y  2 �0 17．（2014·安徽高考真题（文））不等式组 {x  2 y  4 �0 表示的平面区域的面积为________. x  3 y  2 �0 �x  y �0, � 2 x  y �0，，则 z=3x+2y 的最大值为_________． 18．（2020·全国高考真题（文））若 x，y 满足约束条件 � � x �1, � �x  y �1， � x  y �1，则 19．（2020·全国高考真题（文））若 x，y 满足约束条件 � 的最大值是__________． � 2 x  y � 1, z  x  2y � �x �2, � 20．（2019·北京高考真题（文））若 x，y 满足 �y �1, 则 的最小值为__________，最大 � 4 x  3 y  1 �0, y  x � 值为__________. 1．C 【分析】 画出约束条件表示的平面区域，利用目标函数找出最优解，即可求出目标函数的最小值. 【详解