空间几何体的外接球与内切球研究专题 a b c    2R sin A sin B sin C 补充内容一。三角形的四心： 1。重心：三条中线的交点。 ★重心定理： 三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的 2 倍。 AG  2GD , BG  2GE , CG  2GF 4。内心：三条角平分线的交点，内切圆圆心。 S VABC  1  a b c  r, 2 r （ 为内切圆半径） ★定理： 2。垂心：三条高线的交点。 1 1 1 1 S V ABC  S VOAB  S VOA C  S VOBC  ar  br  cr   a  b  c  r 2 2 2 2 3。外心：外接圆圆心，三条中垂线（垂直平分线）的交点。 ★注意：直角三角形的外心为斜边的中点。 OA  OB  OC 补充内容二。等边三角形中的一些重要的量： a 设等边三角形边长为 。★★ R R r 3 a 2 1。高为 （2）过底面正多边形的中心作底面的垂线，则垂线上任一点到正多边 形各顶点的距离都相等，垂线上点（正多边形的中心除外）与底面正多 ； S VABC  边形均构成正棱锥。 一．棱柱的外接球： 3 2 a 4 一、正方体、长方体外接球与内切球研究： ； 2。面积 a 3。O 为正三角形中心（正三角形四心合一）， AO  R  外接圆半径 R : r  2 :1 3 a 3 OD  r  ，内切圆半径 设正方体棱长为 ， 3 a 6 3a 2a 。 则面对角线为 ，体对角线为 。 2R  3a 。 补充内容三：正棱锥。 1 正方体外接球直径为体对角线，即 2 正方体内切球直径为棱长，即 2r  a 。 。 ★★★ 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底 面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。 如正三棱锥、正四面体、正四棱锥。 ★★正棱锥性质： （1）各侧棱相等，各侧面均为全等的等腰三角形， 各等腰三角形底边上的高相等（正棱锥的斜高相等）。 a 2  b 2  c 2  2R a, b ,c 推广：长方体相邻三棱长为 ，体对角线长为 ， 其中 2R 为长方体外接球直径。 题型一：若有三边两两垂直的，则用补形法构造一个长方体， 该长方体的体对角线为该几何体的外接球直径。 2R  a 2  b 2  c 2 2.直三棱柱外接球： 规律：直三棱柱外接球的球心位于上下底面三角形外接圆圆 心连线的中点上。 解： Q �ACB  900，， �BAC  300 BC  1  AC  3, AB  2 ABC  A1 B1C1 例 1. 在 三 棱 柱 中 ， 侧 棱 垂 直 于 底 面 ， ABC  A1 B1C1 �ACB  90o, �BAC  30o，， BC  1 且三棱柱 的体积为 因三棱柱上下底面三角形的外心在斜边的中点上 ，如图： 的外接球的表面积为（ ） 3，则三棱柱 A． 棱柱的高为2 3 三棱柱外接球的球心位于中点连线的中点上 AB , A1B 1 ABC  A1 B1C1 16 又三棱柱的体积为 Q 3 B． 12 C． 8 D． 4  R  OA1   3 2  12  2  S 球  4 R 2  16 . 2 �3 � 6 H  a � �3 a � � 3 a � � 2 1 正四面体高 注 意 ： 本 题 也 可 以 用 补 形 法 构 造 一 个 长 方 体 。 2R  1  3  12  4 。 2 正四面体外接球半径为 R： 2 2 �6 � �3 � 6 R � a � aR � � � � a� �� R  4 �3 � �3 � 。 2 。 R 2  (H  R ) 2   底面外接圆半径  即 2 。 r  H R  6 6 6 a a a 3 4 12 正四面体内切球半径： ， R : r  3 :1 。 规律：若底面为正多边形，则过正多边形的中心作底面的垂线 ， 二、棱锥的外接球： 则垂线上任一点到正多边形各顶点的距离都相等，则外接球的 1．正四面体的外接球与内切球研究： 球心位于这条垂线上，可利用勾股定理求出外接球半径。 当正三棱锥的侧棱与底边相等时，构成正四面体。 a 例。已知正四棱锥的底面边长为 ，侧棱长为 a 2a ，求它的外接球的体积。 设正四面体的棱长为 。 R R H r RH R r SO   2a  2 2 �2 � 6 � �2 a � � 2 a � � 解：高 两个类型： ① 若顶点位于过底面多边形的外心所作的垂线上，则利用一个 勾 2 2 �6 � �2 � 6 R2 � �2 a  R � � � �2 a � �� R  3 a � � � � 股 定 理 可 求 出 R 2  (H  R ) 2   底面外接圆半径  外 接 球 2 3 �6 � 8 6 3 4 4 V   R 3   �� �3 a � � 27  a 3 3 � � 。 2.普通棱锥的外接球： R R H r 对于普通棱锥来说，底面不是正多边形，也没有底面正多 边形的中心的概念，但底面多边形依然有外接圆圆心（外心）， 底面多边形的外心到底面各顶点的距离都相等，故过底面多边 形的外心作底面的垂线即可。 推广：过底面多边形的外心作底面的垂线，则垂线上任一点到 多边形各顶点的距离都相等，则外接球的球心位于这条垂线上， 可利用勾股定理求出外接球半径。 RH R r 半 径 ； ② 若顶点不在过底面多边形的外心所作的垂线上，则可利用两 规律： 个勾股定理求出外接球半径。 H , r, a 一般地，设棱锥的高为 H ，底面外接圆圆心为 O1 O r R 接圆半径为 ，外接球球心为 ，外接球半径为 ， O1 a 到棱锥高线的距离为 ，则构造两个勾股定理为： � �R  h  r �2 2 2 �R   H  h   a 2 2 2 R Ha ① 关键是求出三个量： ，底面外 OO1  h ， h aOr 1 H a r 圆半径 、棱锥底面的外心到棱锥高线的距离 。 r 出的量，不用单独求。 可用正弦定理求出。 、底面外接 OO1  h ② 特殊情况：当棱锥高线的垂足是底面的一个顶点时， 则此时 H  2h ，可以直接用公式 R 2  h2  r 2 求出 R 是设 ar 。 规律：其实，第一个类型是第二个类型的一种特殊情况，即底 面外心到棱锥高线距离 R 。即求出棱锥的高 R2   H  R   r 2 2 。 a0 的情况，此时， h H R ，则 ， h 注意： 可正、可负、可 0。  sin B  �h  0：球心在棱锥内部 � �h  0：球心在棱锥表面 �h  0：球心在棱锥外部 � VABC 外接圆直径2r  2 6 5 AC 6 15   sin B 2 6 6 5 如图所示：设三棱锥外接球球心为 O，球半径为 R，三角形 ABC 外接圆圆心为 O1，圆半径为 r，OO1=h。则： 例 1。三棱锥 ABC A． ， PC  2 25  3 P  ABC AB  BC  15, AC  6, PC  中， 平面 2 2 2 � �R  h  r �2 2 2 �R   2  h   r 即： ，则该三棱锥的外接球表面积为（ ） B． 25  2 C． 83  3 D． 83  2 225 �2 R  h2  � � 24 � �R 2   2  h  2  225 � 24 �h  1 �  � 2 83 R  � 8 �  S 球  4 R 2  83 2 。 简单快速做法： 解： AB 2  BC 2  AC 2 15  15  36 1 cos B    2AB BC 2 ‫״‬ 15 5 由题意得： H 2 ,棱锥高线的垂足是底面的一个顶点，即 三：球心常出现在直角三角形公共斜边的中点上。 2 225 83 �H � R  � � r 2  1   24 8 �2 � 2 PC  平面ABC ，故 ar ， 。 例 1 。 如 图 ， 球 O 的 面 上 四 点 A 、 B 、 C 、 D ， DA  平面ABC , AB  BC , DA  AB  BC  3 ， 则球 O 的体积为 。 Rt VCBD 分析：取 CD 中点 O，则在 Rt VCAD 中，OB=OC=OD，在 中，OA=OC=OD，则 OA=OB=OC=OD，则 O 为球心，则 2R=3， V球  故 9 2 。 本题也可用构造两个勾股定理求出外接球半径。 因 AB  BC O1 O1 ，则取 AC 的中点 ，过 O 为三棱锥 D-ABC 的外接球球心。 作垂直于平面 ABC 的垂线，设 2 � �6� 2 2 �R  h  � � � � � � �2 � � 2 2 �6� �2 3 �R  3  h  � �2 � � h  � � � 2   R  3 2 。 简单快速做法： 解：该几何体的直观图如图所示： H 3 由题意得： AB  2 2, BC  2 ,棱 锥高 线的 垂足 是底 面的 一个 顶点 ，即 2 ，则： 2 2 �H � 2 � 3 � � 6 � 9 R  � � r  � �2 � � � � � � �2 � � � �2 � 4 CO  6,CD  2 2, AC  2 3 2 DA  平面ABC ，故 ar ， DO  OA  OB  2, AD  DB  2 由勾股定理得： 。 在中， VADC AD 2  DC 2  AC 2 故 例 2。已知某几何体的三视图如图所示（其中正视图为等腰直角三角 形），则该几何体的外接球的表面积为（ ） 12 A． B． 8 C． 4 D． 2