考点 12 等差数列及其前 n 项 和 1．（2021·全国高考真题（文））设  an  是首项为 1 的等比数列，数列  bn  满足 3a2 ， 9a3 （1）求 成等差数列．  an  和  bn  的通项公式； （2）记 S n 和 Tn Tn  分别为  an  和  bn  的前 n 项和．证明： Sn 2 ． n 1 an  ( ) n 1 bn  n 【答案】（1） ， 3 3 ；（2）证明见解析. 【分析】 利用等差数列的性质及 a1 得到 9 q 2  6q  1  0 利用公式法、错位相减法分别求出 Sn , Tn ，解方程即可； ，再作差比较即可. 【详解】 因为  an  是首项为 1 的等比数列且 a1 ， 3a2 ， 9a3 成等差数列， bn  nan 3 ．已知 a1 ， 所以 6a2  a1  9a3 ，所以 2 即 9 q  6q  1  0 ，解得 所以 bn  6a1q  a1  9a1q 2 q ， 1 1 an  ( )n 1 ， 3 3 ，所以 nan n  n 3 3 . （2）证明：由（1）可得 Sn  1 ) 3n  3 (1  1 ) 1 2 3n ， 1 3 1 �(1  1 2 n 1 n Tn   2  L  n 1  n 3 3 3 3 ，① 1 1 2 n 1 n Tn  2  3  L  n  n 1 3 3 3 3 3 ，② ① ② 得 2 T  1  1  1 L  1  n n 2 3 n n 1  3 3 3 3 3 3 1 1 (1  n ) 3  n  1 (1  1 )  n 3 1 3n 1 2 3n 3n 1 ， 1 3 3 1 n Tn  (1  n )  所以 4 3 2� 3n ， 所以 所以 Tn  Sn 3 1 n 3 1 n  (1  n )   (1  n )   0 n ， 2 4 3 2� 3 4 3 2� 3n Tn  Sn 2 . 【点晴】 本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力， 是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看 如何消项化简的更为简洁. 1.等差数列的通项公式及前 n 项和公式共涉及五个量 a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就 能求出另外两个(简称“知三求二”)． 2.确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项 a1 和公差 d. 3.判断数列{an}是等差数列的常用方法 (1)定义法：对任意 n∈N*，an＋1－an 是同一常数． (2)等差中项法：对任意 n≥2，n∈N*，满足 2an＝an＋1＋an－1. (3)通项公式法：对任意 n∈N*，都满足 an＝pn＋q(p，q 为常数)． (4)前 n 项和公式法：对任意 n∈N*，都满足 Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)． 1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等 差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示，定义表达式为 an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*) 或 an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)． (2)等差中项 若三个数，a，A，b 成等差数列，则 A 叫做 a 与 b 的等差中项，且有 A＝. 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前 n 项和公式：Sn＝na1＋d 或 Sn＝. 3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为 md 的等差数列． (4)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an. (6)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，为等差数列． 1．（2021·北京高考真题）数列 为（  an  是递增的整数数列，且 a1 �3 ， a 1 ） A．9 B．10 C．11 2．（2020·河北高三其他模拟（文））已知等差数列 和，则 S7  （ D．12  an  中， a B．35 C．40 3．（2021·四川遂宁市·高三三模（文））已知等差数列 S8  A．70 （ 2  2a5  15 ， S n 为数列  an  的前 n 项 ） A．30 的和  a2  � � �  an  100 ，则 n 的最大值 D．45  an  满足 a1  a3  8, a2  a4  14 ，则它的前 8 项 ） B． 82 C． 92 4．（2021·新安县第一高级中学高三其他模拟（文））等差数列 D．105  an  的公差不为零，其前 n 项和为 Sn ， S6 若 a1 ， a3 ， a7 成等比数列，则 a5 的值为（ ） 9 A． 2 B．9 5 C． 2 D．5 5．（2021·贵州省思南中学高三月考（文））我国古代以天为主，以地为从，天和干相连叫天干，地和 支相连叫地支，合起来叫天干地支．天干有十个，就是甲､乙，丙､丁､戊､己､庚､辛､王､癸，地支有十二 个，依次是子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥．古人把它们按照甲子､乙丑､丙寅……的顺序而不重 复地搭配起来，从甲子到癸亥共六十对，叫做一甲子．我国古人用这六十对干支来表示年､月､日､时的序 号，周而复始，不断循环，这就是干支纪年法，今年(2021 年)是辛丑年，则百年后的 2121 年是（ A．丙午 B．丁巳 C．辛巳 6．（2021·北京高三其他模拟）已知等差数列 是“  Sn  为单调数列”的（ D．辛午  an  的前 n 项和记为 Sn , a1  2a2  a3  S 4  4 ，则“ a1  1 ” ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ） 7．（2021·河南平顶山市·高三三模（文））下列结论中正确的是（ ①设 m x ② ）年． n ， 是两条不同的直线，  ，  是两个不同的平面，若 m  ， m //n ， n//  ，则  ； �π �  y  sin x  sin �  x � �4 �取得最大值的充要条件； 4 是函数 ③ 已知命题 p : x �R ， 4 x  5x ；命题 q : x  0 ， x2  2 x ④ 等差数列  an  中，前 n 项和为 S n ，公差 d  0 ，若 a8 A．①③ B．①④ C．②③ ，则 �p �q  a9 ，则当 Sn 取得最大值时， n  15 . D．③④ 8．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（文））已知等差数列 2a2  a3 则 a1  2a2 的取值范围为（ ） 为真命题；  an  满足 a12  a32  2 ，且 a1 �1 ， A． (1,1) B． [1,1] C． ( �, 1) U (1, �) bn 1  9．（2021·全国高三月考（文））数列  bn  满足 D． (�, 1] U[1, �) bn 1 1  n 1 b1  2 2 ﹐若 2 ，则  bn  的前 n 项和为（ ） A． 1 n2 2n 1 B． 1 n 1 2n 1 C． 10．（2021·山西太原市·高三一模（文））已知  Sn  是等差数列，则下列结论错误的是（ A． 2 n2 2n D． 3n  3 2n 1  an  是各项均为正数的等比数列，其前 n 项和为 Sn ，且 ）  an +Sn  是等差数列 B．    � D． � �n 是等比数列 an � Sn  是等比数列 �Sn � 2 C． an 是等差数列 11．（2021·千阳县中学高三其他模拟（文））已知等差数列 a2  1 与 a7  3 的等比中项，设 bn   an  中， a 3  5 ，公差大于 0，且 a4 2020 C． 4039 2020 D． 4041 12．（2021·云南红河哈尼族彝族自治州·高三三模（文））已知数列  an  的前 n 项和为 Sn ，且满足 Sn  4n  n  n �N  .若数列  bn  满足 bn  1 1 1 an  3   ...   b2020b2021 （ ） 4 ，则 b1b2 b2b3 505 A． 2020 2019 C． 2020 2 * 2020 B． 2021 1 是 1 n �N *   ，则数列  bn  的前 2020 项和为（ ） an � an 1 1010 B． 2021 2020 A． 2021 2 505 D． 2021 13．（2021·全国高三其他模拟（文））已知数列 则数列 {bn } 的前 n 项和为（ n2  n +1 A． 2 {an } 的前 n 项和 S n  2(an  1) ，数列 {bn } 满足 2bn  an ， ） n2  n C． 2 n2  n 1 B． 2 n2  n D． 2 14．（2021·宁夏银川市·银川二中高三一模（文））已知从 1 开始的连续奇数首尾相接蛇形排列形成如图 j 1 三角形数表，第 i 行第 j 列的数记为 ai , j ，如 a3,1  7, a4,3  15 ，则 ai , j  2021 时， ( 3) 10 log 2 (i  19)  （ ） 1 5 3 7 9 11 19 17 15 13 21 23 25 27 29 ………………………………………… A．54 B