考点 07 任意角与弧度制及任意角的三角函数 1．（2015·福建高考真题（文））若 12 A． 5 sin    12 B． 5  5 13 ，且  为第四象限角，则 tan  的值等于 5 C． 12 5 D． 12  【答案】D 【详解】 5 ∵sina= 13 ,且 a 为第四象限角,  ∴ cosa  1  sin 2 a  则 tana  12 13 ， sina 5  cosa 12 ， 故选 D. 2．（2020·浙江高考真题）已知圆锥的侧面积（单位： cm 2 ） 为 2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则 这个圆锥的底面半径（单位： cm ）是_______． 【答案】 1 【分析】 利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径. 【详解】 设圆锥底面半径为 r ，母线长为 l ，则  �r �l  2 � � � 1 . 2 � �r  �2 � �l ，解得 � r  1, l  2 � 2 故答案为： 1 【点睛】 本小题主要考查圆锥侧面展开图有关计算，属于基础题. 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦.”即第一象限三角函数值均为正，第二象 限正弦值为正，第三象限正切值为正，第四象限余弦值为正，其余均为负。 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S＝{β|β＝α＋ k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，弧度记作 rad. (2)公式 角 α 的弧度数公式 角度与弧度的换算 弧长公式 扇形面积公式 |α|＝(弧长用 l 表示) 1°＝ rad；1 rad＝° 弧长 l＝|α|r S＝lr＝|α|r2 3.任意角的三角函数 (1)定义：设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)． (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起点都是 原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段 MP，OM，AT 分别叫做角 α 的正弦线，余弦线和正切线． 1．（2021·河北衡水中学高三月考）密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为 6000 份，每一份叫做 1 密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用 四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条 短线，如密位 7 写成“ 0  07 ”， 478 密位写成“ 4  78 ”， 1 周角等于 6000 密位，记作 1 周角  60  00 ， 1 7  直角  15  00 ．如果一个半径为 2 的扇形，它的面积为 6 ，则其圆心角用密位制表示为（ ） A． 12  50 B． 17  50 C． 21  00 D． 35  00 2．（2021·全国高三专题练习（文））斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线 可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形 ABCD ( AB 5 1  ) 中作正方形 ABFE，以 F 为圆心，AB 长为 BC 2 半径作圆弧 BE；然后在矩形 CDEF 中作正方形 DEHG，以 H 为圆心，DE 长为半径作圆弧 EG，……，如 此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线.记圆弧 BE，EG，GI 的长度分别为 l , m, n ，对于以下四个命 2 1 1   n ；③ 2m  l  n ；④ m l n .其中正确的是（ 题：① l  m  n ；② m  l � 2 A．①② B．①④ C．②③ ） D．③④  3．（2021·四川高三月考（文））已知角  的终边绕原点 O 逆时针旋转 2 后，得到角  的终边，角  的 24 cos   P 8,  m   终边过点 ，且 5m ，则 tan  的值为（ ） 3 � A． 4 3 B． 4 4 C． 3   4．（2021·安徽蚌埠市·高三其他模拟（文））已知 5 B． 8 5 A． 4 1 1  ，则 2 sin 2  cos 2  （ ） 5 C． 8   tan    4 D． 3 �9 � 3 tan �   �  5．（2021·河南高三其他模拟（文））若 �4 � 5 ，则 cos2  （ ） 15 A． 17  2 B． 17  2 C． 17 15 D． 17 5 D． 4 6．（2020·海伦市第一中学高三期中（文））已知点 的取值范围是（ P  cos   sin  ,sin   cos   在第三象限，则  ）． π π� � 2πk  , 2 πk  �  k �Z  � A． � 4 2� 3π � � 2π k  ,2 π k π �  k �Z  � B． � 4 � 3π 5π � � 2πk  , 2 πk  �  k �Z  � C． � 4 4 � 5π 7π � � 2πk  , 2 πk  �  k �Z  � D． � 4 4 � sin   cos   7．（2020·广东广州市·华南师大附中（文））已知 � � 1  �� ,  � �2 �，则 tan   （ 5 ，其中 ） 24 A． 7 4 3  B． 3 或 4  3 C． 4 4 D． 3   8．（2020·四川省南充市白塔中学高三期中（文））已知 A．3 1 B． 3 tan sin    3 ，则 1  cos  （ ） 2 1 D． 3  C． 3 9 1  2 9．（2020·全国高三专题练习） sin  cos 2  的最小值为（　　） A．18 B．16 C．8 10．（2020·全国高三专题练习）已知扇形面积为 25 cm2 D．6 ，当扇形的周长取得最小值时，扇形的圆心角为 （） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 11．（2020·甘肃省武威第一中学高三月考（文））中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下， 折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为 S1 ，圆面中剩余部分的面积为 S2 ，当 S 1 与 S2 的比值为 A． (3  5) 5 1 2 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（ ） B． ( 5  1) C． ( 5  1) D． ( 5  2) f x  2 ln x  5 12．（2020·陕西榆林市·高三一模（文））已知 y  ax  3 与函数   相切，则不等式组 �x  ay �0 � 确定的平面区域在 2 内的面积为（ ） �x   a  1 y �0 x  y 2  24 A． 12π B． 6π C． 3π D． 2π 13．（2020·青铜峡市高级中学高三期中（文））《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动， 刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉   满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为 4 米，肩宽约为 8 米，“弓”所在圆的半径约为 1.25 米，你估测一下掷 铁饼者双手之间的距离约为（ （参考数据： ） 2 �1.414, 3 �1.732 ） A． C． 1.012 2.043 1.768 米 B． 米 D． 2.945 米 米 14．（2019·新乡市第一中学高三月考（文））《九章算木》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方 1 田》章给出计算弧田面釈所用的经验公式为：弧田面积= 2 (弦×矢+矢 ²).弧田，由圆弧和其所对弦所围成.  公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为 3 ，弦长等于 2 米 的弧田.按照《九章算木》中弧田面积的经验公式竍算所得弧田面积(单位，平方米)为   9 B． 3  3 A． 3 15．（2020·全国高考真题（理））已知 5 A． 3 5 3 C． 2  2 � π(0, ) ，且 2 B． 3 11 D． 2  3 3 3cos2  8cos  5 ，则 sin  （ ） 1 5 C． 3 D． 9 16．（2008·全国高考真题（文））若 A．第一象限角 sin   0 B．第二象限角 ，且 tan   0 ，则 C．第三象限角  是（ ） D．第四象限角 � � � � 17．（2018·北京高考真题（文））在平面直角坐标系中， AB, CD, EF , GH 是圆 x  y  1 上的四段弧 2 2 （如图），点 P 在其中一段上，角  以 O�为始边，OP 为终边，若 tan   cos   sin  ，则 P 所在的圆 弧是 � � B． CD � D． GH A． AB � C． EF 18．（2014·全国高考真题（文））已知角 4 3 A． 5 B． 5  的终边经过点  sin   ，则 cos  3 C． 5 19．（2017·北京高考真题（文））在平面直角坐标系 于 y 轴对称.若 (4, 3) D． xOy 中,角  与角   = 4 5 均以 Ox 为始边，它们的终边关 1 3 ,则 sin   _____. 20．（2015·浙江高考真题（文））在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a , b, c .已知  tan(  A)  2 . 4 sin 2 A （1）求 sin 2 A  cos 2 A 的值； （2）若 B  ,a  3 ，求 ABC 的面积 4 1．B 【分析】 计算出扇形所对圆心角的弧度数，可计算出扇形圆心角的密位数，结合密位制可得结果. 【详解】