石嘴山三中 2019 届第三次模拟考试 理科数学能力测试 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第 22～23 题为选考题，其它题为必 考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交 回。 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号， 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2．选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使 用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3 ．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内（黑色线框）作答，写在草稿纸上、超出答题 区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。 5．做选考题时，考生按照题目 要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．已知集合 A． P  {1,1} {1,1, 2} B． 2．若复数 z 满足 A． 3  i ，集合 {1, 0,1, 2} Q  {x �N | x  3} C． (i  1) z  4  2i B． 3i {1,1, 2,3} ，则 D． i 3  i D． B．2 C．2 D. ） z （ ） 3i 3. 设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 A．3 （ {1, 0,1, 2,3} （ 为虚数单位），则 C． P UQ  a  2, c  2 3, cos A  3 2 且 b  c ，则 b＝（ ） 4.已知菱形 ABCD 的边长为 a， 3 3  a2  a2 A． 2 B． 4 �ABC  60� ，则 3 2 a C. 4 uuur uuur BD � CD  ＝（ ） 3 2 a D. 2 5．已知正三角形 ABC 的边长为 a，那么△ABC 的平面直观图 A ' B ' C ' ′的面积为（ 3 2 a A． 4 3 2 a B． 8 6 2 a C． 8 ） 6 2 a D． 16 x2 y2  1 6. 以双曲线 4 的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（ ） 5 x2 x2 y2 x2 y2 2  y  1   1  1 2 2 A． x  y  1 B． 9 C． 9 D． 9 3 9 7. 从 1，2，3，4，5 中任取 2 个不同的数，事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”，事件 B＝“取到的 2 个数均 为偶数”，则 A. 1 8 B. P ( B | A)  1 4 C. （ 2 5 ） D. 1 2 8．三棱锥 P-ABC 中， PA  面 ABC， PA  2 ， 表面积是（ A． 12 AB  AC  3 ， �BAC  60�，则该棱锥的外接球的 ） B． 8 C． 8 3 D． 4 3 4 √3 π 9. 袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个 字都取到就停止，用随机模拟的方法估计 恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生 0 到 3 之间取整数 值的随机数，分别用 0，1，2，3 代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次 的结果，经随机模拟产生了以下 18 组随机数： 232 321 230 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 031 320 122 103 233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（ 1 A． 9 3 B． 18 10. 已知椭圆 2 C． 9 E: ） 5 D． 18 x2 y 2   1(a  b  0) 的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l : 3 x  4 y  0 交椭圆 E a 2 b2 4 于 A，B 两点．若|AF|＋|BF|＝4，点 M 到直线 l 的距离不小于 5 ，则椭圆 E 的离心率的取值范围是（ � 3� 0, � A. � � � 2 � �3 � � 3� ,1� C �2 � � � � � 0, � B. � 4 ） 3 � � � � D. � ,1� 4  11．若将函数 f ( x)  sin(2 x   )  3 cos(2 x   ) (0     ) 的图象向左平移 4 个单位长度，平移后 � � �  � ,0�  , � 的图象关于点 �2 � 对称，则函数 g ( x )  cos( x   ) 在 � �2 6� �上的最小值是（ A．  1 2 12．设函数 B．  3 2 2 C． 2 g ( x)  e x  (1  e ) x  a ） 1 D． 2 （ a �R ， e 为自然对数的底数）．定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 1 � � x0 ��x | f ( x )  �f (1  x)  x � f ( x )  f ( x )  x ，且当 x �0 时， f '( x)  x ．若存在 ，且 x0 为函数 2 � 2 y  g ( x)  x a 的一个零点，则实数 的取值范围为（ ） �e � �e � , � , � � � � � A． �2 � B． C． D． 2 � ( e , �) [ e , �) � � � � 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须 做答．第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 6 1 � � a x � 13. 若二项式 � x �的展开式中的常数项为-160，则 a=________ � 14. 已知 tan   2, tan(   )  1 7 ，则 tan  的值为________． 15. 已知圆锥的顶点为 S，底面圆周上的两点 A、B 满足 SAB 为等边三角形，且面积为 4 3 ，又知圆锥轴 截面的面积为 8，则圆锥的表面积为_____________. a , 2an 1   n �N 16．已知数列 {an } 满足 a1  1 ，且点  n 1  在直线 x  2 y  1  0 上．若对任意的 n �N � 1 1 1 1    � � n  a1 n  a2 n  a3 n  an 恒成立，则实数  的取值范围为______． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分 12 分） 1 a1  r , S n  an1  (n �N *) S { a } 32 . 设数列 n 前 n 项和为 n ，且满足 （1）试确定 r 的值，使 {an } （2 ）在 （1）的条件下，设 18．（本小题满分 12 分） 为等比数列，并求数列 bn  log 2 an ，求数列 {an } 的通项公式； {| bn |} n 的前 项和 {| bn |} . * ， 我国 2019 年新年贺岁大片《流浪地球》自上映以来引发了社会的广泛关注，受到了观众的普遍好评.假设 2 1 男性观众认为《流浪地球》好看的概率为 3 ，女性观众认为《流浪地球》好看的概率为 2 .某机构就《流 浪地球》是否好看的问题随机采访了 4 名观众（其中 2 男 2 女）. （1）求这 4 名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多的概率； （2）设 ξ 表示这 4 名观众中认为《流浪地球》好看的人数，求 ξ 的分布列与数学期望. 19.（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 PABCD 中，PA⊥平面 ABCD，PA＝AB＝AD＝2，四边形 ABCD 满足 AB⊥AD，BC∥AD 且 BE  BC＝4，点 M 为 PC 的中点，点 E 为 BC 边上的动点，且 EC （1）求证：平面 ADM⊥平面 PBC； 2 （2）是否存在实数  ，使得二面角 P－DE－B 的余弦值为 3 ？若存在，试求出实数  的值；若不存在， 说明理由． 20．（本小题满分 12 分） 在直角坐标系 xOy 中，直线 y  x4 与抛物线 C : x 2  2 py ( p  0) 交于 A，B 两点，且 OA  OB ． （1）求 C 的方程； （2）试问：在 x 轴的正半轴上是否存在一点 D ，使得 △ ABD 的外心在 C 上？若存在，求 D 的坐标；若不 存在，请说明理由． 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 g ( x)  （1）求函数 （2）若 （3）设 2 m2  ln x f ( x)  mx   ln x x x ， ， m �R ． g ( x) 的极值； f ( x)  g ( x) h( x )  在 [1, �) 上为单调函数，求 m 的取值范围； 2� x ，若在 [1, e] 上至少存在一个 x0 ，使得成立，求 m 的取值范围． 请考生在第 22、23 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把 所选题目的题号涂黑. 22．（本小题满分 10 分）选修 4— 4：坐标系与参数方程  � x  3  t cos � � 4 �  （其中 t 为参数）．以坐标原点 O 为极 在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 � y  2  t sin C � xOy 4 1 点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线 C2 的极坐标方程为 （1）求直线 （2）过点 C1 的普通方程和曲线 P(3, 2) 作直线 C1 C2 的直角坐标方程； 的垂线交曲线 C2 于 M，N 两点，求 [选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分） 已知函数 （1）求 f ( x) | x  2 | 2 | x 