空间点、直线、平面之间的位置关系练习 一、选择题 1．已知命题 p：a，b 为异面直线，命题 q：直线 a，b 不相交， 则 p 是 q 的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．如图所示，ABCDA1B1C1D1 是正方体，O 是 B1D1 的中点，直 线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M，则下列结论正确的是(　　) A．A，M，O 三点共线 B．A，M，O，A1 不共面 C．A，M，C，O 不共面 D．B，B1，O，M 共面 3．在四面体 ABCD 中，BC＝BD＝CD＝2，AB＝2，N 是棱 AD 的中点，CN＝，则异面直线 AB 与 CN 所成的角为(　　) A． B． C． D． 4．a，b，c 是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题 是(　　) A．若直线 a，b 异面，b，c 异面，则 a，c 异面 B．若直线 a，b 相交，b，c 相交，则 a，c 相交 C．若 a∥b，则 a，b 与 c 所成的角相等 D．若 a⊥b，b⊥c，则 a∥c 5．已知在正四面体 ABCD 中，点 E 为棱 AD 的中点，则异面直 线 CE 与 BD 所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 6．如图所示，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，∠BCA＝60°，M，N 分 别是 A1C1，CC1 的中点，BC＝CA＝CC1，则 BN 与 AM 所成角的余弦 值为(　　) A． B． C． D． 二、填空题 7 ． 已 知 棱 长 为 a 的 正 方 体 ABCDA′B′C′D′ 中 ， M ， N 分 别 为 CD，AD 的中点，则 MN 与 A′C′的位置关系是________． 8．已知下列说法： ① 若两个平面 α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a∥b ② 若两个平面 α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a 与 b 是异面直线； ③ 若两个平面 α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a 与 b 一定不相交； ④ 若两个平面 α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a 与 b 平行或异面； ⑤ 若两个平面 α∩β＝b，a⊂α，则 a 与 β 一定相交． 其中正确的序号是________(将你认为正确的序号都填上). 9．如图，已知圆柱的轴截面 ABB1A1 是正方形，C 是圆柱下底 面弧 AB 的中点，C1 是圆柱上底面弧 A1B1 的中点，那么异面直线 AC1 与 BC 所成角的正切值为________． 10.如图，已知圆柱的上底面圆心为 O，高和底面圆的半径相等， AB 是底面圆的一条直径，点 C 为底面圆周上一点，且∠ABC＝45°， 则异面直线 AC 与 OB 所成角的余弦值为________． 11 ． 如 图 是 正 四 面 体 ( 各 面 均 为 正 三 角 形 ) 的 平 面 展 开 图 ， G，H，M，N 分别为 DE，BE，EF，EC 的中点．在这个正四面体中： ①GH 与 EF 平行； ②BD 与 MN 为异面直线； ③GH 与 MN 成 60°角； ④DE 与 MN 垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是________． 三、解答题 12.如图，在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点， G，H 分别在 BC，CD 上，且 BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2. (1)求证：E，F，G，H 四点共面； (2)设 EG 与 FH 交于点 P，求证：P，A，C 三点共线． 13．已知三棱锥 ABCD 中，AB＝CD，且直线 AB 与 CD 成 60°角， 点 M、N 分别是 BC、AD 的中点，求异面直线 AB 与 MN 所成角的大 小． 答案： 1． A 2． A 3. A 4． C 5. A 6. A 7.平行 8．③④ 9． 10. 11．②③④ 12．证明：（1）∵E，F 分别为 AB，AD 的中点， ∴EF∥BD. 在△BCD 中，＝＝， ∴GH∥BD， ∴EF∥GH. ∴E，F，G，H 四点共面． （2）∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面 ABC， ∴P∈平面 ABC.同理 P∈平面 ADC. ∴P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点． 又平面 ABC∩平面 ADC＝AC， ∴P∈AC，∴P，A，C 三点共线． 13.解：如图 ，取 AC 的中点 P，连接 PM，PN， 则 PM∥AB，且 PM＝AB，PN∥CD，且 PN＝CD. ∴∠MPN 或 其 补 角 为 AB 与 CD 所 成 的 角 ， 则 ∠ MPN ＝ 60° 或 ∠MPN＝120°， ∵PM∥AB， ∴∠PMN 或其补角是 AB 与 MN 所成的角， ∵AB＝CD，∴PM＝PN， 若∠PMN＝60°， 则△PMN 是等边三角形，∴∠PMN＝60°， ∴AB 与 MN 所成的角为 60°. 若∠MPN＝120°， 则∠PMN＝30°，∴AB 与 MN 所成的角为 30°， 综上，异面直线 AB 与 MN 所成的角为 30°或 60°.