2022 届高三数学三轮冲刺强化训练 概率统计 1、某商场为改进服务质量,随机抽取了 200 名进场购物的顾客进行问卷调查。 调查后,就顾客“购物体验”的满意度统计如下： 男 女 满意 不满意 40 40 80 40 (1)是否有 97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关? (2)为答谢顾客,该商场对某款价格为 100 元/件的商品开展促销活动。据统计, 在此期间顾客购买该商品的支付情况如下： 支付方式 频率 优惠方式 现金支付 购物卡支付 APP 支付 10% 30% 60% 按 9 折支 按 8 折支付 其中有 1 / 3 的顾客按 4 折支付， 1/ 2 付 1 的顾客按 6 折支付， 1/ 6 的顾客 按 8 折支付 将上述频率作为相应事件发生的概率,记某顾客购买一件该促销商品所支付的金 额为 X,求 X 的分布列和数学期望。 附表及公式： P( K 2 �k0 ) k0 K2  0.15 n(ad  bc )2 (a  b)(c  d )(a  c )(b  d ) 。 0.10 0.05 0.02 0.01 0.00 0.001 0 6.63 5 7.87 10.82 5 9 8 2.07 2.70 3.84 5 5.02 2 6 1 4 2、新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种 检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于份血液样本，有以下两种 检验方式：一是逐份检验，则需检验 n 次．二是混合检验，将其中 k 份血液样 本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这 k 份血液全为阴性，因而 检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这 k 份血液究竟哪些为阳性， 就需要对它们再逐份检验，此时 k 份血液检验的次数总共为 k  1 次．某定点医 院现取得 4 份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二， 平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液 2 样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴 性的概率为 P 2 2 3 ． （1）求把 2 份血液样本混合检验结果为阳性的概率； （2）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？ 请说明理由． 3、某市 2016 年清明节期间种植了一批树苗，两年后市园林部门从这批树苗中 随机抽取 100 棵进行跟踪检测，得到树高的频率分布直方图如图所示： （1）求树高在 225-235cm 之间树苗的棵数，并求这 100 棵树苗树高的平均 值; （2）若将树高以等级呈现，规定：树高在 185-205cm 为合格，在 205-235 为良好，在 235-265cm 为优秀．视该样本的频率分布为总体的频率分布，若 从这批树苗中随机抽取 3 棵，求树高等级为优秀的棵数  的分布列和数学期望； 3 （3）经验表明树苗树高 X ~ N   , 2  ，用样本的平均值作为  的估计值，已 2 知   305 ，试求该批树苗小于等于 255.4cm 的概率． （提供数据： 271 �16． 45 305 �17． 45 ， 附：若随机变量 Z 服从正态分布 P (   2 ＜． Z �  2 )  0 9544 N   , 2  ， ， 340 �18． 45 ） Z �   )  0 6826 ， ，则 P (    ＜． P(   3 ＜． Z �  3 )  0 9974 ． 4、某超市每月从一厂家购进一批牛奶，每箱进价为 30 元，零售价为 50 元． 若进货不足，则该超市以每箱 34 元的价格进行补货；若销售有剩余，则牛奶 厂以 26 元回收．为此收集并整理了前 20 个月该超市这种牛奶的销售记录，得 到了如下数据： 销售箱数 50 60 70 80 频数 4 8 6 2 以频率代替概率，记 X 为这家超市每月销售该牛奶的箱数， n 表示超市每月共 需购进该牛奶的箱数． (1)求 X 的分布列和均值； (2)以销售该牛奶所得的利润的期望为决策依据，在 n  75 和 n  80 之中选一个， 应选用哪个？ 4 5、某学校高中三个年级共有 300 名学生，为调查他们的课后学习时间情况，通 过分层抽样获得了 20 名学生一周的课后学习时间，数据如下表（单位： 小时）： 高一年级 高二年级 高三年级 7 7.5 8 8.5 9 7 8 9 10 11 12 13 6 6.5 7 8.5 11 13.5 17 18.5 （Ⅰ）试估计该校高三年级的学生人数； （Ⅱ）从高一年级和高二年级抽出的学生中，各随机选取一人，高一年级选出 的人记为甲，高二年级选出的人记为乙，求该周甲的课后学习时间不大 于乙的课后学习时间的概率； （Ⅲ）再从高中三个年级中各随机抽取一名学生，他们该周的课后学习时间分 9 10 （单位：小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本 别是 8 ，， 的平均数记为 x1 ，表格中的数据平均数记为 x0 ，试判断 x0 与 x1 的大小． （结论不要求证明） 6、某商超为庆祝店庆十周年，准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费 达到 400 元，则可参加一次抽奖活动，主办方设计了两种抽奖方案： 5 方案①：一个不透明的盒子中装有 12 个质地均匀且大小相同的小球，其中 3 个红球，9 个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾 客获得 80 元的返金券，若抽到白球则获得 20 元的返金券，且顾客有放回地抽 取 3 次。 方案②：一个不透明的盒子中装有 12 个质地均匀且大小相同的小球，其中 3 个红球，9 个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾 客获得 100 元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取 3 次。 (1)现有一位顾客消费了 420 元，获得一次抽奖机会，试求这位顾客获得 180 元返金券的概率； (2)如果某顾客获得一次抽奖机会。那么他选择哪种方案更划算。 7、随着 2022 年北京冬奥会 的 成功举办，吉祥物“冰墩墩”成为现象级“顶流”， 憨态可掬的大熊猫套着冰晶外壳，“萌杀”万千网友.奥林匹克官方旗舰店“冰墩 墩”一再售罄，各冬奥官方特许商店外排起长队，“一墩难求”，成了冬奥赛场外 的另一场冰雪浪漫和全民狂欢.某商家将 6 款基础款的冰墩墩，随机选取 3 个放 6 在一起组成一个盲盒进行售卖.该店 2021 年 1 月到 11 月盲盒的月销售量如下 表所示： 月份数 x 月销售量 y/ 1 2 3 4 5 6 2.6 3.9 5.7 7.3 7.7 9.9 万 个 7 1 1 8 9 13.8 1 5 10 16.1 1 1 1 7 （1）求出月销售量 y （万个）与月份数 x 的回归方程，并预测 12 月份的销量； （2）小明同学想通过购买盲盒集齐 6 款基础款冰墩墩，为此他购买了 2 个盲 盒，设 X 为这 2 个盲盒中不同款冰墩墩的个数，求 X 的分布列以及期望. 参考公式及数据：回归直线的方程是 n bˆ  �xi yi  nx y i 1 n �xi2  nx 2 i 1 ˆ a yˆˆ bx ，则 n  � x  x   y  y  i 1 i i n � x  x  i 1 2 11 11 i 1 i 1 $ , x 2  506, x y  825 , aˆ  y  bx �i �i i i . 8、人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为 0—25dB （分贝），并规定测试值在区间  0,5 为非常优秀，测试值在区间  5,10 为优秀， 某单位 25 名人员都参加了听力测试，将所得测试值制成如图所示频率分布直 方图： 7 （1）现从测试值在区间  0,10 内的同学中任意抽取 2 人，其中听力非常优秀的 同学人数为 X，求 X 的数学期望； （2）现选出一名同学参加另一项测试，测试规则如下：四个音叉的发音情况 不同，由强到弱的编号分别为 1，2，3，4.测试前将音叉顺序随机打乱，被测 试的同学依次听完后，将四个音叉按发音由强到弱重新排序，所对应的音叉编 号分别为 a1 ， a2 ， a3 ， a4 （其中 a1 ， a2 ， a3 ， a4 为编号音叉 1，2，3，4 的一 个排列）.记 Y  1  a1  2  a2  3  a3  4  a4 ，可用 Y 描述被测试者的听力偏 离程度，求 Y �2 的概率. 9、甲､乙两人进行投篮比赛，每局比赛，甲先投，投两次，每次投中得 1 分， 未投中不得分；接下来乙投两次，两次均投中得 3 分，恰有一次投中得 1 分， 8 1 2 两次均末投中得 1 分；已知甲､乙每次投篮投中的概率分别为 3 和 2 ，且两人 各次投篮是否投中相互独立. （1）求一局比赛中，甲的得分低于乙的得分的概率； （2）若进行两局比赛，求甲､乙的累计得分相同的概率. 10、2020 年 10 月 16 日，是第 40 个世界粮食日.中国工程院院士袁隆平海水 稻团队迎来了海水稻的测产收割，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓， 大大提高了当地居民收入.某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进 行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为 m(m �[70,100]) ，其质 量指标等级划分如表： 质量指标值  70, 75  75,80   80,85  85,90   90,100 良好 优秀 良好 合格 废品 m 质量指标等 级 为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产，现从试生 产的产品中随机抽取了 1000 件，将其质量指标值 m 的数据作为样本，绘制如 9 下频率分布直方图： (1)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取 3 件产品，记“抽出的产品中至少 有 1 件不是废品”为事件 A，求事件 A 发生的概率； (2)若每件产品的质量指标值 m 与利润 y （单位：元）的关系如表 (1  t  4) ： 质量指标值 