2022 年哈三中第一次高考模拟考试 数学试卷（理工类） 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的．    1．已知集合 M  x y  ln  x  3 ， N  y y  e A．  3, 0  B．  0,3 C． 11  7i 2．复数 2  i 在复平面内对应的点在（ A．第一象限 A．0.1 R  0,3 D． C．第三象限  0,3 D．第四象限 C．0.3 B．19 ）． D．0.4  an  中， Sn 为其前 n 项和， 2a11  a12  10 ，则 S19 的值为（ A．18 ）． N  3,  2  ，且 P  X  5   0.2 ，则 P  1  X  3  （ B．0.2 4．等差数列  ，则  �M  �N  （ ）． B．第二象限 3．已知随机变量 X 服从正态分布 x C．180 ）． D．190 5．为了宣传 2022 年北京冬奥会和冬残奧会，某学校决定派小明和小李等共 5 名志愿者将两个吉祥物“冰墩墩” 和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者 安装．若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（ A．8 B．10 C．12 ）． D．14 6．人们把最能引起美感的比例称为黄金分割．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等 于较小部分与较大部分的比值，其比值为 5 1 2 称为黄金分割比．人们称底与腰之比为黄金分割比的三角形 为最美三角形，它是一个顶角为 36°的等腰三角形，由此我们可得 sin162� （ A． 5 1 4 7．已知 f  1  3 B． 5 2 8 f  x 是定义在 R 上的偶函数， ，则 f  x   x2  2 的解集是（ C． 5 1 4 f�  x 是 ）． f  x D． ）． 4 5 8 f�  x  2x  0 ， 且 的 导 函 数 ， 当 x �0 时 ， A．  1, 0  � 1, � B．  1, 0  � 0,1 C．  �, 1 � 1, � D．  �, 1 � 0,1 8．直线 x ym0 A． m  1 与圆 x2  y 2  2 x 1  0 B． 4  m  0 有两个不同交点的一个必要不充分条件是（ C． 0  m  1 D． 3  m  1 9．已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰三角形，则该几何体的体积为（ 4 2 3 A． 3 f  x ）． 8 B． 3 C．2 �π � f  x   sin x cos �  x � 3 sinπcos  x 10．已知函数 �2 � A． ）． D． 3  x ，则下列结论中错误的是（ ）． 的最小正周期为 π �π1 � , � B． � 12 2 �是 f  x  图象的一个对称中心 � C． x π 3 是 f  x  图象的一条对称轴 π 1 y  sin 2 x  f x   D．将函数 的图象向左平移 12 个单位长度，即可得到函数 2 的图象 x2 y 2 C : 2  2  1 a  0, b  0  11 ． 已 知 双 曲 线 的 左 右 焦 点 分 别 为 F1 ， F2 ， A 为 双 曲 线 右 支 上 一 点 ， 设 a b sin  � sin  1  �AF1 F2   ， �AF2 F1   ，若  1  cos    1  cos   2 ，则双曲线的渐近线方程为（ A． y  � 2x B． y  �2 2 x C． y  �3x D． y  �4 x ）． 12．已知实数 a，b 满足 a  log 5 12  log121 25 A． a  b  2 ， 5  12  13 ，则下列判断正确的是（ a a B． b  a  2 b C． a  b  2 ）． D． b  a  2 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． r r 13．已知向量 a ， b 满足 r r r a     1, 2  ， b   1,   ， ar ∥ b ，则实数  的值为______． x2 y 2  1 14．已知椭圆方程 16 9 ，则过点 P  2,1 且被点 P 平分的弦所在的直线方程为______． 15．关于圆周率 π ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发 ， 我们也可以通过设计下面的实验来估计 π 的值：先请 120 名同学，每人随机写下一个 x、y 都小于 1 的正实数 对  x, y  ，再统计 x、y 两数能与 1 构成钝角三角形时的数对  x, y  的个数 m，最后再根据 m 来估计 π 的值． 假如统计结果是 m  36 ，那么 π 的估计值为______． �1 � � 16．对于正整数 n，设 x 是关于 x 的方程： n 2  5n  3 x 2  x 2 log  x n  1 的实根，记 an  � 2 xn �，其 n2 � n  中  x  表示不超过 x 的最大整数，则 a1  ______；若  bn  an � sin nπ 2 ， S n 为  bn  的前 n 项和，则 S 2022  ____ __． 三、解答题：共 70 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试 题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．（本小题满分 12 分） � π� c sin �B  � b sin C  0 在 △ ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 ． � 3� （Ⅰ）求角 B 的值； S  （Ⅱ）已知 △ ABC uuuu r 1 uuur 3 AM  AC ，求线段 BM 的长． 2 2 ， a  2c ， 18．（本小题满分 12 分） 如图所示的四棱锥 P  ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD  平面 ABCD，点 O，M，E 分别是 AD，PC，BC 的中点， PA  PD ， PO  AD  2 ． （Ⅰ）求证： PE  平面 MAD； （Ⅱ）求二面角 E  AM  D 的正弦值． 19．（本小题满分 12 分） 北京时间 2022 年 2 月 6 日，中国女足在 0-2 落后的情况下，最终以 3-2 逆转绝杀韩国女足，时隔 16 年再次问 鼎亚洲之巅，成为亚洲唯一一支亚洲杯九冠王球队，为此全民又掀起了足球热潮．为了响应习总书记关于深 化足球体制改革，大力发展青少年足球，落实到每个地区每一所学校的号召，哈三中成立了校足球队，其中 3 守门员 2 人，前锋 4 人，中场 10 人，后卫 6 人，其中每个前锋射门的平均命中率都是 4 ，每个中场球员射门 1 1 的平均命中率都是 2 ，每个后卫射门的平均命中率都是 3 ，且每位队员射门是否命中相互独立． （Ⅰ）为了备战一场友谊赛，现从前锋、中场、后卫中各随机选一人组成一个射门训练小组，该小组每个人 射门一次为一轮训练，若该小组三人均射进则奖励 3 个哈三中百年校庆纪念版校徽，若只有两人射进则奖励   1 个校徽，其他情况不奖励，设随机变量 表示该小组一轮训练所得的校徽数，求 的分布列及数学期望； （Ⅱ）为了强化队员们的射门能力，现从前锋、中场、后卫队员中随机选 3 人进行射门特训，求这 3 个人里 中场球员的人数比前锋人数多的概率． 20．（本小题满分 12 分） 已知抛物线 E : y2  4x uuu r uuu r OA � OB  5． ，F 为其焦点，O 为原点，A，B 是 E 上位于 x 轴两侧的不同两点，且 （Ⅰ）求证：直线 AB 恒过一定点； （Ⅱ）在 x 轴上求一定点 C，使 F 到直线 AC 和 BC 的距离相等； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当 F 为 △ ABC 的内心时，求 △ ABC 重心的横坐标． 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 f  x   e x  x 2   a  1 x  1 （Ⅰ）若 x  0 是函数 f  x （Ⅱ）当 a  1 时，设函数 ． 的极值点，求实数 a 的值； f  x 的两个极值点为 x1 ， x2 且 x1  x2 ，求证： e x2  e x1  4a  2 ． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分） �x  2  4sin 2  � 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的方程为 cos  x  2 y  8 2  0 ，曲线 C 的参数方程为 �y  2sin  � （  为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线 C 的极坐标方程； � � � π1�    � �0,  �� 0, � , tan   � （Ⅱ）已知射线 2 �与曲线 C 交于点 M，与直线 l 交于点 N，求 MN ． � 2� � 23．[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分） 已知函数 f  x  x  a  a ． （Ⅰ）当 a  1 时，求不等式 （Ⅱ）若 x �R 时， f  x  1 的解集； 2 f  x  �2 x  1  3 恒成立，求实数 a 的取值范围．