高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教 A 版选择性必修第三 册) 7.4.2　超几何分布 【知识梳理】 知识点　超几何分布 1．定义：一般地，假设一批产品共有 N 件，其中有 M 件次品，从 N 件产品中随机抽取 n 件(不放回)，用 X 表示抽 取的 n 件产品中的次品数，则 X 的分布列为 P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中 n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量 X 服从超几何分布． 2．均值：E(X)＝. 【题型归纳】 题型一、超几何分布的辨析 1．分别指出下列随机变量服从什么分布，并用合适的符号表示： (1)某班级共有 30 名学生，其中有 10 名学生戴眼镜，随机从这个班级中抽取 5 人，设抽到的不戴眼镜的人数为 X； (2)已知女性患色盲的概率为 0.25% ，任意抽取 300 名女性，设其中患色盲的人数为 X； (3)学校要从 3 名男教师和 4 名女教师中随机选出 3 人去支教，设抽取的人中男教师的人数为 X． 2．下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由． （1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是 6 的骰子的个数记为 X，求 X 的概率分布； （2）有一批种子的发芽率为 70%，任取 10 颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为 X，求 X 的概率分 布； （3）盒子中有红球 3 只，黄球 4 只，蓝球 5 只．任取 3 只球，把不是红色的球的个数记为 X，求 X 的概率分布； （4）某班级有男生 25 人，女生 20 人．选派 4 名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为 X，求 X 的概率分布； （5）现有 100 台 MP3 播放器未经检测，抽取 10 台送检，把检验结果为不合格的 MP3 播放器的个数记为 X，求 X 的概率分布． 题型二、超几何分布的概率 3．某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从 10 篇古诗词中随机抽 3 篇让学生背诵，规定至少要背出其中 2 篇 才能过关，某同学只能背诵其中的 6 篇，试求： (1)抽到他能背诵的古诗词的数量的概率分布及数学期望； (2)他能过关的概率． 4．已知甲、乙、丙三个研究项目的成员人数分别为 20，15，10．现采用分层抽样的方法从中抽取 9 人，进行睡眠 时间的调查． (1)应从甲、乙、丙三个研究项目的成员中分别抽取多少人？ (2)若抽出的 9 人中有 4 人睡眠不足，5 人睡眠充足，现从这 9 人中随机抽取 3 人做进一步的访谈调研，若随机变量 X 表示抽取的 3 人中睡眠充足的成员人数，求 X 的分布列与数学期望． 题型三、超几何分布与二项分布间的关系 5．一批产品共 10 件，其中 3 件是不合格品，用下列两种不同方法从中随机抽取 2 件产品检验：方法一：先随机抽 取 1 件，放回后再随机抽取 1 件；方法二：一次性随机抽取 2 件.记方法一抽取的不合格产品数为 的不合格产品数为 （1）求 1 ， 2 2 1 ，方法二抽取 . 的分布列； （2）比较两种抽取方法抽到的不合格产品数的均值的大小，并说明理由. 6．为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛.该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在 A ， B 两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案： A ， B 两名学生各自从 6 个问题中随机抽取 3 个问题作答.已知 这 6 个问题中，学生 2 能正确回答其中的 4 个问题，而学生 能正确回答每个问题的概率均为 3 . ， 两名学生 A A B B 对每个问题回答正确与否都是相互独立的. （1）分别求 A ， B 两名学生恰好答对 2 个问题的概率. （2）设 A 答对的题数为 X ， B 答对的题数为 Y ，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由. 【双基达标】 1．从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，设随机变量 ξ 表示所选 3 人中女生的人数，则 P(ξ≤1)等于（ ） A． 1 5 B． 2 5 C． 3 5 D． 4 5 2．在含有 3 件次品的 50 件产品中，任取 2 件，则至少取到 1 件次品的概率为（ C13C147 2 A． C50 C32  C047 2 B． C50 C13  C32 2 C． C50 ） C13C147  C32C047 2 C50 D． 3．中国的景观旅游资源相当丰富，5A 级为中国旅游景区最高等级，代表着中国世界级精品的旅游风景区等级．某 6 地 7 个旅游景区中有 3 个景区是 5A 级景区，现从中任意选 3 个景区，下列事件中概率等于 7 的是（ A．至少有 1 个 5A 级景区 B．有 1 个或 2 个 5A 级景区 C．有 2 个或 3 个 5A 级景区 D．恰有 2 个 5A 级景区 ） 4．一个袋中有 6 个同样大小的黑球，编号为 1,2,3,4,5,6，还有 4 个同样大小的白球，编号为 7,8,9,10.现从中任取 4 个球，有如下几种变量： ①X 表示取出的最大号码； ②X 表示取出的最小号码； ③ 取出一个黑球记 2 分，取出一个白球记 1 分，X 表示取出的 4 个球的总得分； ④X 表示取出的黑球个数． 这四种变量中服从超几何分布的是(　　) A．①② B．③④ C．①②④ D． ①②③④ 5．已知某 10 件产品中含有次品，且次品率不超过 40%，从这 10 件产品中抽取 2 件进行检查，其次品数为  ，若 P    1  16 ，则这 10 件产品的次品率为（ 45 ） A．10% B．20% C．30% D．40% 6．下列随机事件中的随机变量 X 服从超几何分布的是（ ） A．将一枚硬币连抛 3 次，记正面向上的次数为 X B．从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名学生干部，记选出女生的人数为 X C．某射手的射击命中率为 0.8，现对目标射击 1 次，记命中的次数为 X D．盒中有 4 个白球和 3 个黑球，每次从中摸出 1 个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 X 7．有 8 件产品，其中 3 件是次品，从中任取 3 件，若 X 表示取得次品的件数，则 A． 3 4 B． 5 7 C． 4 5 D． P  X �1  7 8 8．（多选）一个袋中装有除颜色外其余完全相同的 6 个黑球和 4 个白球，现从中任取 4 个小球，设取出的 4 个小 球中白球的个数为 X ，则（ ） A．随机变量 X 服从二项分布 C． P  X  2   B．随机变量 X 服从超几何分布 3 7 D． E  X   8 5 9．已知盒中装有 n(n  1) 个红球和 3 个黄球，从中任取 2 个球（取到每个球是等可能的），随机变量 X 表示取到黄 球的个数，且 X 的分布列为则 E ( X )  ________. X 0 1 2 P 1 5 a b 10．3 月 5 日为“学雷锋纪念日”，某校将举行“弘扬雷锋精神做全面发展一代新人”知识竞赛，某班现从 6 名女生和 3 名男生中选出 5 名学生参赛，要求每人回答一个问题，答对得 2 分，答错得 0 分，已知 6 名女生中有 2 人不会答所 1 有题目，只能得 0 分，其余 4 人可得 2 分，3 名男生每人得 2 分的概率均为 2 ，现选择 2 名女生和 3 名男生，每人 答一题，则该班所选队员得分之和为 6 分的概率__________. 11．2021 年 2 月 25 日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京召开，充分肯定了脱贫攻坚取得的重大历史性成就，习 近平总书记在大会上深刻阐述了伟大脱贫攻坚精神，并对巩固拓展脱贫攻坚成果、全面推进乡村振兴提出了明确 的要求，为了更高效地推进乡村振兴，某市直单位欲从部门 A，B，C 的 10 人中选派 4 人与其下辖的乡镇甲对接相 关业务，其中部门 A，B，C 可选派的人数分别为 3，3，4，且每个人被选派的可能性一样. (1)求选派的 4 人中至少有 1 人来自部门 C 的概率； (2)选派的 4 人中来自部门 A，B，C 的人数分别为 x，y，z，记 x，y，z 中最大的数为 X，求 X 的分布列和数学期望. 12．某高中学校为了解学生的课外体育锻炼时间情况，在全校学生中随机抽取了 200 名学生进行调查，并将数据 分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．将平均每天课外体育锻炼时间在 [40, 60) 上的学生评价为锻炼达标， 将平均每天课外体育锻炼时间在 [0, 40) 上的学生评价为锻炼不达标 (1)根据频率分布直方图估计这 200 名学生每天课外体育锻炼时间的众数、中位数； (2)为了了解学生课外体育锻炼时间不达标的原因，从上述锻炼不达标的学生中按分层抽样的方法抽取 10 人，再从 这 10 人中随机抽取 3 人，记这三人中每天课外体育锻炼时间在 [0, 20) 的人数为  ，求  的分布列和数学期望． 【高分突破】 1．中秋节吃月饼是我国的传统习俗，若一盘中共有两种月饼，其中 4 块五仁月饼，6 块枣泥月饼，现从盘中任取 3 块，在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率为（ A． 3 4 B． 1 30 C． 1 2 ） D． 1 6 2．《易 �系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、 六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10 个数中任 取 3 个数，则这 3 个数中至少有 2 个阳数的概率为（ ） A． 1 4 B． 1 3 C． 1 2 D． 2 3 3．某地 7 个贫困村中有 3 个村是深度贫困，现从中任意选 3 个村，下列事件中概率等于 A．至少有 1 个深度贫困村 B．有 1 个或 2 个深度贫困村 C．有 2 个或 3 个深度贫困村 D．恰有 2 个深度贫困村 6 7 的是（ ） 4．新冠肺炎疫情期间，某公司采用网络远程面试招聘新员工，其面试方案为：应聘者从 6 道备选题中一次性随机 抽取 3 道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中 2 道题的应聘者才可通过面试．已知应聘者小王在 6 道备选题中有 4 道题能正确完成，2 道题不能完成，则小王正确完成面试题数的均值为( A．1 B．2 C．3 ) D．4 5．（多选）为了增强学