二项式定理 随堂检测 一、单选题 1．设(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6 等于（ ） A．4 B．－71 C．64 D．199 6 � 1� 2x  � 2．在 � x �的展开式中第 4 项的二项式系数是（ � A． 20 3．若 ） D． 160 C． 20 B． 160 x10  a0  a1 ( x  1)  a2 ( x  1) 2  L  a10 ( x  1)10 ，则 a1  a2  a3 L  a10 的值为（ ） A．1 B．-1  1 x  1 x 2 4． 5 C．1023 4 的展开式中 x 的系数为（ A．5 B．10   ） C．15 D．20 6 1 5． 2 x  x 的展开式中含 x 3 项的系数为（ A．  60 B．  240 x 6．对任意实数 ，有 （ D．1024 ） C．60 D．240 x 4  a0  a1 � ( x  2)  a2 � ( x  2) 2  a3 � ( x  2)3  a4 � ( x  2) 4 ，则 a3  ） A．6 B．7 C．8 D．10 n �2 1 � x  � 7． � � x �的展开式中有常数项，则 n 不可能为（ A．6 8． B．8 ( x  1)10 ） C．9 的二项展开式中，二项式系数最大的项是第（ A．6 D．12 ）项. C．4 和 6 B．5 D．5 和 7 二、多选题 9．若 （  1  mx  ） 8  a0  a1 x  a2 x 2  L  a8 x 8 且 a1  a2  L  a8  255 ，则实数 m 的值可以为 A．﹣3 B．﹣1 10．关于  a  b C．0 10 的说法，正确的是（ A．展开式中的二项式系数之和为 1024 ） B．展开式中第 6 项的二项式系数最大 C．展开式中第 5 项和第 7 项的二项式系数最大 11．已知 D．1  a  2b  D．展开式中第 6 项的系数最小 n 的展开式中第 5 项的二项式系数最大，则 n 的值可以为（ A．7 B．8 C．9 ） D．10 1 n 12．若 ( x  ) 的展开式中第 3 项与第 8 项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的 x 项为（ ） A．第 3 项 B．第 4 项 C．第 5 项 D．第 6 项 三、填空题 x 1 13．二项式 ( 2  3 x ) ，则该展开式中的常数项是_____，二项式系数最大项是第____项. 12 5 �2 1 � x  � 14．在 � � x �的二项展开式中，所有二项式系数的和是________.（用数值作答） 6 � 1 � x � 15． � x �的展开式中的常数项为____________（用数字作答）． � 16．二项式 (2 x  1)6 的展开式中第 4 项的系数是___________. 四、解答题 17．在 (2 x  1 6 ) 的展开式中，求： x2 （1）第 4 项的二项式系数； （2）常数项. (1  x )6  1  x   a0  a1 x  a2 x 2  �  a12 x12 6 18．已知 （1）求 （2）求 a12  a32  � � �  a112 a2  a4 �+a12 （3）求 a4  a6 的值． 的值； 的值； ． 19．已知 x 2   1 (2 x  1)9  a0  a1 ( x  2)  a2 ( x  2) 2  L  a11 ( x  2)11 a0  a1  a2  L  a11 20．求  1  2x  6 的值． 2 的展开式中含 x 的项．  1 a   1 b  1 c 2 21．求 3 的展开式中各项系数的和． 22．已知(1＋2x－x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14. （1）求 a0＋a1＋a2＋…＋a14； ，求 （2）求 a1＋a3＋a5＋…＋a13.参考答案： 1．C 【解析】 ∵(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6， 令 x＝0， ∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝26＝64. 故选：C. 2．A 6 � 1� 2x  � 3 【解析】 � x �的展开式中第 4 项的二项式系数为 C6  20 � 故选：A 3．C 【解析】令 x  1 ，则 a0  1 ， 令 x2 所以 ，则 a0  a1  a2  a3 L  a10  210  1024 a1  a2  a3 L  a10  1024  1  1023 ， ， 故选：C 4．C 【解析】因为二项式  1  x  的展开式的通项为 C5 x ，所以 5 的项为 r 1�C54 x 4  x 2 �C52 x 2  15 x 4 ，所以 x4 r 的系数为 15  1 x  1 x 2 5 的展开式中含 x . 故选：C． 5．C    6 1 r (2 x )6 r � x 1 【解析】二项式 2 x  x 的展开式 Tr 1  C6 �   6  r  (1)r � 26  r � C6r �x 1 3 当 r=4，此时 T5  60 x ，可得 2 x  x 展开式中 x 3 项的系数为 60， 故选：C. 6．C 6 3 r 2 ， 4 【解析】 x 4  (2  x  2) 4  [2  ( x  2)]4 ，因此 a3  C43 � 243  4 �2  8 ， 故选：C 7．B 3r 【解析】 Tr 1  C rn x 2( n  r ) x  r  Cnr x 2 n 3r ，令 2n  3r  0 ，即 n  2 ， ∵ n ， r �N ，∴ n 一定为 3 的倍数，∴ n 不可能是 8. 故选：B 8．A 【解析】因为二项式 易知当 r＝5 时， C10r ( x  1)10 展开式一共 11 项，其中中间项的二项式系数最大， 最大，即二项展开式中，二项式系数最大的为第 6 项. 故选：A 9．AD  1  mx  【解析】因为 令 x0 ，则 令 x  1 ，则 则  m  1 8 1  a0 8  a0  a1 x  a2 x 2  L  a8 x 8 ， ， a0  a1  a2  L  a8   m  1  255  1  256 8 ， ，故 m  1  �2 即 m  1 或 m  3 . 故选：AD． 10．ABD 【解析】关于 (a  b)10 的说法： 10 对于选项 A ，由二项式系数的性质知，二项式系数之和为 2  1 024，故 A 正确； 对于选项 B, C ，当 n 为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故 B 正确， C 错误； 对于选项 D ，因为展开式中第 6 项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的， 故 D 正确. 故选：ABD． . 11．ABC 【解析】 当  a  2b  n 的展开式中第 4 项和第 5 项的二项式系数相等且最大时， n  7 ；  a  2b  当当 当  a  2b  n n 的展开式中第 5 项和第 6 项的二项式系数相等且最大时， n  9 ； 的展开式中只有第 5 项的二项式系数最大时， n  8 . 故选：ABC. 12．CD 【解析】 由题可知，该二项展开式中的项的系数于二项式系数相等，且展开式中第 3 项与第 8 项的 系数为 Cn2 , Cn7 ， 又因为其相等，则 n  9 所以该展开式中二项式系数最大的项为 9 1 9 1 1  6 项 1  5 与 2 2 即为第 5 项；第 6 项. 故选：CD  13． 55 2 7 【解析】 4 12  r x 1 1 x 1 Tr 1  C12r � ( )12r � (  3 ) r  C12r � ( )12r � ( 1) r � x 3 (  3 )12 2 2 二项式 2 ， x 的通项公式为： x 4 1 55 9 ( )129 � (1)9   ， 当12  r  0 时，即 r  9 时，常数项为： C12 � 2 2 3 因为 12  1  7 ，所以二项式系数最大项是第 项， 7 2 故答案为：  14．32 55 2 ；7 【解析】 5 �2 1 � x  � 在� � x �的二项展开式中， 二项式系数的和为 C50  C51  C52  C53  C54  C55  25  32 . 故答案为：32. 15．15 【解析】 由二项式知： Tr 1  C6r � x 6 r � ( ∴当 r  4 时为常数项，即 3r 6 1 r )  (1) r C6r � x 2 x ， T5  C64  15 . 故答案为：15. 16．160 【解析】 由二项式的展开式的通项公式可知 T4  C36 (2 x)3  160 x3 则第 4 项的系数是 160， 故答案为：160. 17．（1）20；（2）240. 【解析】 （1） Tr 1  C6 (2 x) r ∴第 4 项 T4 6 r ( 1 r )  26 r C6r x 63r x2 的二项式系数为 C63  20 . （2）由（1），令 6  3r  0 ，解得 r  2 ， ∴常数项为 24 � C62  240 . 18．（1）0；（2） 1 ；（3） 5 ． 【解析】 ，  1 因为 (1  x)6  1  x  所以 所以 6  (1  x 2 )6 a1  a3