六　诱导公式 一、选择题 1．(2021·北京高一检测)sin 2 021°可化简为(　　) A．sin 41° B．－sin 41° C．cos 41° D．－cos 41° 2．tan 300°＋sin 450°的值是(　　) A．－1＋ B．1＋ C．－1－ D．1－ 3．已知 sin β＝，cos (α＋β)＝－1，则 sin (α＋2β)的值为(　　) A．1 B．－1 C． D．－ 4．(2021·宁波高一检测)己知 cos (π＋α)＝－，，则 sin (2π－α)的值为(　　) A． B．－ C．± D． 5．在△ABC 中，cos (A＋B)的值等于(　　) A．cos C B．－cos C C．sin C D．－sin C 6．已知 tan ＝，则 tan ＝(　　) A． B．－ C． D．－ 7．已知 n 为整数，化简所得的结果是(　　) A．tan nα B．－tan nα C．tan α D．－tan α 8．在△ABC 中，给出下列四个式子： ① sin (A＋B)＋sin C；② cos (A＋B)＋cos C； ③sin (2A＋2B)＋sin 2C； ④cos (2A＋2B)＋cos 2C. 其中为常数的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 9．(2021·厦门高一检测)已知 tan θ＝3sin (θ－π)，则 cos θ＝(　　) A．－1 B．－ C． D．1 10．已知 sin ＝log8，且 θ∈，则 tan (2π－θ)的值为(　　) A．－ B． C．± D． 二、填空题 11．(2021·宁波高一检测)sin 750°＋tan 240°的值是________． 12．已知 cos ＝－，且 α∈，则 sin ＝________． 13．(1)计算：sin ＋cos ＋tan ； (2)化简：. 14.满足 sin (3π－x)＝，x∈[－2π，2π]的 x 的取值集合是________． 在实数上满足条件的 x 的取值集合是________． 15．已知 f(x)＝则 f＋f 的值为________． 三、解答题 16．在△ABC 中，若 sin (2π－A)＝－sin (π－B)，cos A＝－cos (π－B)，求 △ABC 的三个内角． 17．已知 f(α)＝. (1)化简 f(α). (2)若 α 是第三象限角，且 sin (α－π)＝，求 f(α)的值． (3)若 α＝－，求 f(α)的值． 18．已知 α 是第二象限角，且 tan α＝－2. (1)求 cos4α－sin4α 的值． (2)设角 kπ＋α(k∈Z)的终边与单位圆 x2＋y2＝1 交于点 P，求点 P 的坐标． 参考答案 一、选择题 1．(2021·北京高一检测)sin 2 021°可化简为(　　) A．sin 41° B．－sin 41° C．cos 41° D．－cos 41° 【解析】选 B.sin 2021°＝sin (360°×6－139°) ＝sin (－139°)＝sin (－180°＋41°)＝－sin 41°. 2．tan 300°＋sin 450°的值是(　　) A．－1＋ B．1＋ C．－1－ D．1－ 【解析】选 D.原式＝tan (360°－60°)＋sin (360°＋90°)＝tan (－60°)＋sin 90°＝ －tan 60°＋1＝－＋1. 3．已知 sin β＝，cos (α＋β)＝－1，则 sin (α＋2β)的值为(　　) A．1 B．－1 C． D．－ 【解析】选 D.因为 cos (α＋β)＝－1，所以 α＋β＝π＋2kπ，k∈Z， 所以 sin (α＋2β)＝sin [(α＋β)＋β]＝sin (π＋β) ＝－sin β＝－. 4．(2021·宁波高一检测)己知 cos (π＋α)＝－，，则 sin (2π－α)的值为(　　) A． B．－ C．± D． 【解析】选 A.由诱导公式可得 cos (π＋α)＝－cos α＝－，则 cos α＝， 因为<α<2π，所以 sin α＝－＝－， 因此，sin(2π－α)＝－sin α＝. 5．在△ABC 中，cos (A＋B)的值等于(　　) A．cos C B．－cos C C．sin C D．－sin C 【解析】选 B.由于 A＋B＋C＝π，所以 A＋B＝π－C. 所以 cos (A＋B)＝cos (π－C)＝－cos C． 6．已知 tan ＝，则 tan ＝(　　) A． B．－ C． D．－ 【解析】选 A.tan ＝tan ＝tan ＝. 7．已知 n 为整数，化简所得的结果是(　　) A．tan nα B．－tan nα C．tan α D．－tan α 【解析】选 C.当 n＝2k，k∈Z 时， ＝＝＝tan α； 当 n＝2k＋1，k∈Z 时， ＝＝＝＝tan α. 8．在△ABC 中，给出下列四个式子： ① sin (A＋B)＋sin C；② cos (A＋B)＋cos C； ③sin (2A＋2B)＋sin 2C； ④cos (2A＋2B)＋cos 2C. 其中为常数的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 【解析】选 BC.①sin (A＋B)＋sin C＝2sin C； ②cos (A＋B)＋cos C＝－cos C＋cos C＝0； ③sin (2A＋2B)＋sin 2C＝sin [2(A＋B)]＋sin 2C ＝sin [2(π－C)]＋sin 2C＝sin (2π－2C)＋sin 2C＝－sin 2C＋sin 2C＝0； ④cos (2A＋2B)＋cos 2C＝cos [2(A＋B)]＋cos 2C＝cos [2(π－C)]＋cos 2C ＝cos (2π－2C)＋cos 2C＝cos 2C＋cos 2C＝2cos 2C. 9．(2021·厦门高一检测)已知 tan θ＝3sin (θ－π)，则 cos θ＝(　　) A．－1 B．－ C． D．1 【解析】选 ABD.因为 tan θ＝3sin (θ－π)，所以＝－3sin θ，若 sin θ＝0，则 cos θ＝1 或－1，若 sin θ≠0，则 cos θ＝－. 10．已知 sin ＝log8，且 θ∈，则 tan (2π－θ)的值为(　　) A．－ B． C．± D． 【解析】选 B.因为 sin ＝sin θ，log8＝－， 由 sin ＝log8，所以 sin θ＝－，又 θ∈， 所以 cos θ＝＝，tan ＝－tan θ＝－， 所以 tan ＝. 二、填空题 11．(2021·宁波高一检测)sin 750°＋tan 240°的值是________． 【解析】sin 750°＋tan 240°＝sin (720°＋30°)＋tan (180°＋60°)＝sin 30°＋tan 60° ＝＋. 答案：＋ 12．已知 cos ＝－，且 α∈，则 sin ＝________． 【解析】因为 cos ＝－，且 α∈， 所以 sin ＝＝， 所以 sin＝sin ＝sin ＝. 答案： 13．(1)计算：sin ＋cos ＋tan ； (2)化简：. 【解析】(1)sin ＋cos ＋tan ＝－sin ＋cos ＋tan ＝－＋＋1＝0； (2)原式＝＝tan α. 14.满足 sin (3π－x)＝，x∈[－2π，2π]的 x 的取值集合是________． 在实数上满足条件的 x 的取值集合是________． 【解析】sin (3π－x)＝sin (π－x)＝sin x＝. 当 x∈[0，2π]时，x＝或； 当 x∈[－2π，0]时，x＝－或－. 所以 x 的取值集合为. 在实数上满足条件的 x 的取值集合是 {x|x＝2kπ＋或 2kπ＋，k∈Z}． 答案： {x|x＝2kπ＋或 2kπ＋，k∈Z} 15．已知 f(x)＝则 f＋f 的值为________． 【解析】因为 f＝sin ＝sin ＝sin ＝；f＝f－1＝f－2 ＝sin －2＝－－2＝－. 所以 f＋f＝－2. 答案：－2 三、解答题 16．在△ABC 中，若 sin (2π－A)＝－sin (π－B)，cos A＝－cos (π－B)，求 △ABC 的三个内角． 【解析】由条件得 sin A＝sin B，cos A＝cos B， 两式平方相加得 2cos2A＝1，cosA＝±， 又因为 A∈(0，π)，所以 A＝或 π. 当 A＝π 时，cos B＝－＜0，所以 B∈， 所以 A，B 均为钝角，不合题意，舍去． 所以 A＝，cos B＝，所以 B＝，所以 C＝π. 综上所述，A＝，B＝，C＝π. 17．已知 f(α)＝. (1)化简 f(α). (2)若 α 是第三象限角，且 sin (α－π)＝，求 f(α)的值． (3)若 α＝－，求 f(α)的值． 【解析】(1)f(α)＝＝－cos α. (2)因为 sin (α－π)＝－sin α＝，所以 sin α＝－.又 α 是第三象限角， 所以 cos α＝－.所以 f(α)＝. (3)因为－＝－6×2π＋，所以 f＝－cos ＝－cos ＝－cos ＝－. 18．已知 α 是第二象限角，且 tan α＝－2. (1)求 cos4α－sin4α 的值． (2)设角 kπ＋α(k∈Z)的终边与单位圆 x2＋y2＝1 交于点 P，求点 P 的坐标． 【解析】(1)原式＝(cos2α＋sin2α)(cos2α－sin2α)＝cos2α－sin2α＝＝＝＝－. (2)由 tanα＝－2 得 sin α＝－2cos α，代入 sin2α＋cos2α＝1 得 cos2α＝， 因为 α 是第二象限角，所以 cosα＜0， 所以 cos α＝－，sin α＝tan αcos α＝. 当 k 为偶数时，P 的坐标 即 P. 当 k 为奇数时，P 的坐标 即 P. 综上，点 P 的坐标为或.