专题 05 双曲线的简单几何性质 要点一　双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 焦距 范围 对称性 顶点 性质 轴 F1(－c,0)，F2(c,0) x �a 或 x �a ，y∈R y �a 或 y �a ，x∈R 对称轴：坐标轴；对称中心：远点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) AA 实轴：线段 1 2 ，长： 2a ；虚轴：线段 长：2b；半实轴长： a ，半虚轴长：b 离心率 渐近线 F1(0，－c)，F2(0，c) |F1F2|＝2c e＝∈ B1 B2 ，  1, � y＝±x y＝±x 【方法技巧】 (1)双曲线的范围说明双曲线是非封闭曲线，而椭圆则是封闭曲线． (2)当|x|无限增大时，|y|也无限增大，即双曲线的各支是向外无限延展的． (3)双曲线的渐近线决定了双曲线的形状．由双曲线的对称性可知，当双曲线的两支向外无限延伸时，双曲 线与两条渐近线无限接近，但永远不会相交． (4)双曲线形状与 e 的关系． 由于＝＝ ＝，因此 e 越大，渐近线的斜率的绝对值就越大，双曲线的开口就越大． 要点二　等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是 y  �x ，离心率为 e  2. 【答疑解惑】 教材 P126 思考 通过比较例 5 与椭圆一节中的例 6 可以发现．动点到定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，若 这个常数大于 0 小于 1，则动点的轨迹是椭圆；若这个常数大于 1，则动点的轨迹是双曲线． 看大小，焦点随着大的跑”． 【基础自测】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔．(　　) (2)以 y＝±2x 为渐近线的双曲线有 2 条．(　　) (3)方程－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±x.(　　) (4)离心率 e 越大，双曲线－＝1 的渐近线的斜率绝对值越大．(　　) 【答案】（1）√（2）×（3）×（4）× 2．实轴长为 2，虚轴长为 4 的双曲线的标准方程是(　　) A．x2－＝1 B．y2－＝1 C.－＝1 或－＝1 D．x2－＝1 或 y2－＝1 【答案】D 【解析】由题意知 2a＝2,2b＝4∴a＝1，b＝2，∴a2＝1，b2＝4 又双曲线的焦点位置不确定，故选 D. 3．双曲线－y2＝1 的渐近线方程是(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±x 【答案】B 【解析】由双曲线方程得：a＝，b＝1，∴渐近线方程为：y＝±x＝±x.故选 B. 4．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是________． 【答案】 【解析】由题意知渐近线与 x 轴的夹角 θ＝∴＝tan＝1∴e＝＝ 题型一　由双曲线的几何性质求其标准方程 1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为 2 的等边三角 形(O 为原点)，则双曲线的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－y2＝1 D．x2－＝1 【答案】D 【解析】不妨设点 A 在第一象限，由题意可知 c＝2，点 A 的坐标为(1，)，所以＝，又 c2＝a2＋b2，所以 a2 ＝1，b2＝3，故所求双曲线的方程为 x2－＝1，故选 D. 2．焦点为(0,6)，且与双曲线－y2＝1 有相同的渐近线的双曲线方程是________． 【答案】－＝1 【解析】由－y2 ＝1，得双曲线的渐近线为 y＝±x.设双曲线方程为：－y2 ＝λ(λ<0)，∴－＝1，∴－λ－2λ＝ 36，∴λ＝－12. 故双曲线方程为－＝1. 3．过点(2,0)，与双曲线－＝1 离心率相等的双曲线方程为________． 【答案】－y2＝1 【解析】当所求双曲线的焦点在 x 轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得 λ＝，故 所求双曲线的标准方程为－y2＝1； 当所求双曲线的焦点在 y 轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得 λ＝－<0(舍去)． 综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1. 4．与椭圆＋＝1 有公共焦点，离心率为的双曲线方程为________. 【答案】－＝1 【解析】方法一　由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，即 c＝3 且焦点在 x 轴上． 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)． 因为 e＝＝，所以 a＝2，则 b2＝c2－a2＝5，故所求双曲线的标准方程为－＝1. 方法二　因为椭圆焦点在 x 轴上，所以可设双曲线的标准方程为－＝1(16<λ<25)． 因为 e＝，所以＝－1，解得 λ＝21.故所求双曲线的标准方程为－＝1. 【方法技巧】 由几何性质求双曲线标准方程的解题思路 1．由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程 可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为 mx2－ny2＝1(mn>0)． 2．常见双曲线方程的设法 (1)渐近线为 y＝±x 的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0，m>0，n>0)；如果两条渐近线的方程为 Ax±By＝ 0，那么双曲线的方程可设为 A2x2－B2y2＝m(m≠0，A>0，B>0)． (2)与双曲线－＝1 或－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ 或－＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线－＝1(a>0，b>0)离心率相等的双曲线系方程可设为－＝λ(λ>0)或－＝λ(λ>0)，这是因为由 离心率不能确定焦点位置． (4)与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的双曲线系方程可设为－＝1(b2<λ<a2)． 题型二　与椭圆有关的轨迹问题 探究 1 利用方程求解几何性质 【例 1】(多选)已知双曲线 C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1(－5,0)，F2(5,0)，则能使双曲线 C 的 方程为－＝1 的是(　　) A．离心率为 B．双曲线过点(5，) C．渐近线方程为 3x±4y＝0 D．实轴长为 4 【答案】ABC 【解析】双曲线 C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1(－5,0)，F2(5,0)． 可得 c＝5，如果离心率为：.可得 a＝4，则 b＝3，所以，双曲线 C 的方程为－＝1，所以 A 正确； c＝5，双曲线过点，可得解得 a＝4，b＝3，所以双曲线 C 的方程为－＝1，所以 B 正确； c＝5，渐近线方程为 3x±4y＝0，可得＝，a2＋b2＝25， 解得 a＝4，b＝3，所以双曲线 C 的方程为－＝1，所以 C 正确； c＝5，实轴长为 4，可得 a＝2，b＝，所以双曲线 C 的方程为－＝1，所以 D 不正确；故选 ABC. 【方法技巧】 已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标 准方程，然后由标准方程确定焦点所在的坐标轴，找准 a 和 b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等． 注意与椭圆的相关几何性质进行比较． 探究 2 求双曲线的离心率 【例 2】(1)设 a>1，则双曲线－＝1 的离心率 e 的取值范围是(　　) A．(，2) B．(，) C．(2,5) D．(2，) (2)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为(　　) A. B. C. D. (3)设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双 曲线的离心率为________. 【答案】(1)B　（2）D 【解析】(1)由题意得，双曲线的离心率 e2 ＝ 2 ＝＝1＋ 2 ，因为是减函数，所以当 a>1 时，0<<1，所以 2<e2<5，所以<e<，故选 B. (2)由题意知，过点(4，－2)的渐近线的方程为 y＝－x， ∴－2＝－·4，∴a＝2b. 方法一　设 b＝k，则 a＝2k，c＝k，∴e＝＝＝. 方法二　e2＝＋1＝＋1＝，故 e＝. (3)不妨设焦点 F(c,0)，虚轴的端点 B(0，b)，则 kFB ＝－.又渐近线的斜率为±，所以由直线垂直得－·＝－ 1(斜率为－的直线显然不符合)，即 b2＝ac. 又 c2－a2＝b2，故 c2－a2＝ac，两边同除以 a2，得方程 e2－e－1＝0，解得 e＝(负值舍去)． 【方法技巧】 求双曲线的离心率或其取值范围的思路 1．求解双曲线的离心率一般有两种方法． (1)由条件寻找 a，c 所满足的等式，常用的公式变形为 e＝＝＝，其中 a>0，b>0. (2)依据条件列出含 a，c 的齐次方程，利用 e＝转化为含 e 或 e2 的方程，解方程即可，注意依据 e>1 对 所得解进行取舍． 2．求双曲线离心率的取值范围，关键是根据条件得到不等关系，并想办法转化为关于 a，b，c 的不等 关系，结合 c2＝a2＋b2 和＝e 得到关于 e 的不等式，然后求解．在建立不等式求 e 时，经常用到结论：双曲 线上一点到相应焦点距离的最小值为 c－a. 双曲线的离心率常以渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化． 探究 3 求双曲线的渐近线 【例 3】(1)已知椭圆 E：＋＝1 与双曲线 C：－y2 ＝1(a>0)有共同的焦点，则双曲线 C 的渐近线方程为( ) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x (2)在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是________. 【答案】(1)B　(2)y＝±x 【解析】(1)椭圆 E 的焦点为 F1(2,0)，F2(－2,0)，所以双曲线 C 的焦点为 F1(2,0)，F2(－2,0)， 则在双曲线 C 中：c＝2，b＝1，a＝＝，所以双曲线 C 的渐近线方程为：y＝±x＝±x.故选 B. (2)由题意知：32－＝1，解得 b＝.所以双曲线的渐近线方程是 y＝±bx＝±x. 【方法技巧】 由双曲线的标准方程求它的渐近线方程时，可以把双曲线的标准方程－＝1 或－＝1(a>0，b>0)中等号 右边的“1”改成“0”，然后分解因式即可得到渐近线的方程±＝0 或±＝0. 【变式训练】 1. (多选)在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线－＝1，则(　　) A．实轴长为 2 B．渐近线方程为 y＝±x C．离心率为 2 D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为 3 【答案】BC 【解析】(1)由双曲线的方程可得，a2＝4，b2＝12，c2＝a2＋b2＝16，所以 a＝2，b＝2，c＝4； 所以实轴长 2a＝4，离心率＝2，渐近线方程为 y＝