2021~2022 学年度第一学期期末学业水平诊断 高三数学 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．   1．已知集合 A   1, 0,1, 2 ， B  x  x  1  x  2   0 ，则 A �B  （ A．  0,1 2．命题“ A． B． x �R x �R ， ，  1, 2 2x  0 2 x �0 C． ”的否定为（ B． x �R ， 4  x2 3．函数 y  ln x  1 的定义域为（   A．  2, 2 B．  1, 0,1  1, 2 D． ）  0,1, 2 ） 2x  0 C． x �R ， 2 x �0 D． x �R ， 2x  0 ） C．  1,0  � 0, 2 D．  1,1 � 1, 2 4．在生活中，人们常用声强级 y（单位：dB）来表示声强度 I（单位： W / m2 ）的相对大小，具体关系式为 �I � y  10lg � �，其中基准值 I 0  10 12 W / m 2 ．若声强度为 I1 时的声强级为 60dB，那么当声强度变为 4I1 时 �I 0 � 的声强级约为（ A．63dB ）（参考数据： B．66dB 5．若双曲线 4 A． 3 C．72dB mx  y  1 m �R  2 2 5 B． 3 lg 2 �0.3 ） D．76dB 的一条渐近线方程为 3 x  4 y  0 ，则其离心率为（ 5 C． 4 ） 7 D． 4 r r r r r r r 1 a � b a  1 b  2 cos a ,a b  （ 6．已知 ， ， 2 ，则 1 3 6 A． 4 B． 4 C． 12 ） 6 D． 4 7．若直线 x  y  2  0 将圆  x  a    y  3  9 分成的两段圆弧长度之比为 1:3，则实数 a 的值为（ 2 A．﹣4 B．﹣4 或 2 C．2 2 D．﹣2 或 4 ） 8．若定义在 R 上的奇函数 取值范围是（ f  x 在  �, 0  上单调递减，且 f  2   0 ，则满足  2 x  1 f  x  1 �0 的 x 的 ） 1 2 � � � �, 1 �� ,3�  A． 1 2 � � � 1� � 1, � � 2� � � � � 3, 1 �� ,1� 3,  C． D． � B．  �, 3 � 1, � 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的 得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分． a0 9．已知 ， b0 ，则下列命题成立的有（ ） A．若 ab  1 ，则 a  b �2 1 1  �2 B．若 ab  1 ，则 a b 1 a2  b2 � C．若 a  b  1 ，则 2 1 1  �4 D．若 a  b  1 ，则 a b 2 2  � � f  x   2sin   x    �   0,     � 10．函数 2 2 �的部分图象如图所示，则（ � ） A．  的值为 2  B．  的值为 6 � �  ,0� C． � � 4 �是函数 f  x  的一个增区间 D．当 x   k  k �Z  时， f  x  取最大值 3 F  0,1 11．已知抛物线 C： x  my 的焦点为 ，点 A，B 为 C 上两个相异的动点，则（ 2 A．抛物线 C 的准线方程为 B．设点 P  2,3 ，则 y  1 AP  AF 的最小值为 4 ） C．若 A，B，F 三点共线，则 AB 的最小值为 2 D．若 �AFB  60�，AB 的中点 M 在 C 的准线上的投影为 N，则 12．如图所示，在棱长为 1 的正方体 论正确的是（ A．棱 C1D1 ABCD  A1 B1C1D1 MN �AB 中，P，Q 分别为棱 AB，BC 的中点，则以下四个结 ） 上存在一点 M，使得 AM ∥ 平面 B1PQ 2 A C B PQ B．直线 1 1 到平面 1 的距离为 3 9 C．过 A1C1 且与面 B1 PQ 平行的平面截正方体所得截面面积为 8 3 D．过 PQ 的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为 8 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．在等差数列  an  中， a2  a4  a5  a9  8 ，则 a5  ______． �� �  � 10 0, � cos �   � 14．已知  �� � 2 �， � 4 � 10 ，则 cos  的值为______． 15．若 x  1 是函数 f  x    x 2  ax  1 e  x 的极值点，则 f  x  的极大值为______． 16．如图，在矩形 ABCD 中， AB  4 ， BC  3 ，将 △ ABC 沿 AC 折叠，在折叠过程中三棱锥 B�  ACD 积的最大值为______，此时异面直线 AB� 与 CD 所成角的余弦值为______．（第一空 2 分，第二空 3 分） 体 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ur r ur r m  a , b  c n   a  b, c  b  ， m  n ； ③   17 ． （ 10 分 ） 在 ① 2a cos B  c ； ② 向 量 ， tan A  tan B   3 cos C cos A cos B 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解． a 问题：在 △ ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边，已知 3 ， c  3 ，D 为 AC 边的中点，若__ ____，求 BD 的长度． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（12 分）如图，在正三棱锥 P  ABC 中，有一半径为 1 的半球，其底面圆 O 与正三棱锥的底面贴合， 正三棱锥的三个侧面都和半球相切． 设点 D 为 BC 的中点， �ADP   ． （1）用  分别表示线段 BC 和 PD 长度； ��  �� 0, � （2）当 � 2 �时，求三棱锥的侧面积 S 的最小值． 19 ． （ 12 分 ） 如 图 ， 在 四 棱 锥 AB  2 BC  2CD  2 ， △ ADP P  ABCD 中 ， 底 面 ABCD 为 直 角 梯 形 ， 为等边三角形，且面 ADP  底面 ABCD． AB ∥ CD ， �ABC  90� ， （1）若 M 为 BC 中点，求证： PM  BC ； （2）求面 PAD 与面 PBC 所成二面角的余弦值． 20．（12 分）已知椭圆  ： �2 6 � x2 y 2 P � 4，点 的长轴长为  2  1 a  b  0  � 3 ,1� �在 上． 2 � �  a b （1）求椭圆  的方程； （2）设椭圆  的左、右顶点分别为 A，B，过定点  1, 0  的直线与椭圆  交于 C，D 两点（异于点 A，B）， 试探究直线 AC，BD 交点的横坐标是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 21．（12 分）已知数列 （1）记 a1  4 ， a n1 bn  a2 n  2 ，证明：数列  bn  为等比数列，并求  bn  的通项公式； （2）求数列  an  的前 2n 项和 S2n ． 22．（12 分）已知函数 （1）讨论 （2）若  an  满足 �1 � a  n, n为奇数  �2 n ， ． � an  2n, n为偶数 n �N* � f  x f  x f  x   ln x  ax  a  a �R  ． 在 的单调性；  1, � 上有零点 x0 ， ① 求 a 的取值范围； 1 2a  x0  e a ② 求证： a ． 2021～2022 学年度第一学期期末学业水平诊断 高三数学参考答案及评分标准 一、选择题 AACB CDDC 二、选择题 9．ABD 10．AD 11．ABD 12．BCD 三、填空题 2 5 13．2 4 14． 5 15． e 24 16 16． 5 ， 25 四、解答题 17．解：若选①：因为 因为 2a cos B  c sin C  sin  A  B  整理得 sin  A  B   0 所以 b  a  ，由正弦定理得 2sin A cos B  sin C ． ，所以 2sin A cos B  sin A cos B  cos A sin B ， ．又   A  B   ，所以 A  B  0 ，即 A  B ． 3 ．所以 cos C  a 2  b2  c 2 1  2ab 2 ．在 △ BCD 中， 2 �3� 3 21 21 ． 由余弦定理 BD  3  � �2 � � 2 � 3 � 2 cos C  4 ，所以 BD  � � 2 ur r ur r m  n m n  0 ，即 a  a  b    b  c   c  b   0 ， 若选②：因为 ，所以 � 2   2 整理得 a 2  ab  c 2  b 2  0 ．所以 因为 0  C   ，所以 3  sin 3 所以  A C cos C  a 2  b2  c2 1  2ab 2．  3 ．在 △ ABC 中，由正弦定理 3 sin A ，得 sin A  1 ，因为 0