遂宁东辰荣兴国际学校高 2022 届高二上期第四次半月考 数学试题 审题人：高二数学组 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 总分：150 分 考试时间：120 分钟 第Ⅰ卷（选择题，满分 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求） 1.直线 x  1 的倾斜角为（ A. 0� B. 90� ） C. 180� D.不存在 2．某单位有职工 52 人，现将所有职工随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本，已知 6 号， 32 号，45 号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是（ A．19 B．20 ） C．18 D．21 2 3.若直线 2 x  y  0 与直线 (a  a ) x  y  a  1  0 平行，则 a  （ A. a  1 B. a  2 C. a  1 或 a  2 ） D. a  1 或 a  2 4．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择 15 名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米）， 左图为选取的 15 名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为 yˆ  1.16 x  30.75 ，以下结论中正确的为（ ） A．15 名志愿者身高的极差大于臂展的极差 B．身高相差 10 厘米的两人臂展都相差 11.6 厘米， C．身高为 190 厘米的人臂展一定为 189.65 厘米 5．设 l 是直线，α，β 是两个不同的平面（ A．若 l∥α，l∥β，则 α∥β D．15 名志愿者身高和臂展成正相关关系 ） B．若 α⊥β，l⊥α，则 l⊥β C．若 l∥α，l⊥β，则 α⊥β D．若 α⊥β，l∥α，则 l⊥β 6．如果执行如图的程序框图，若输入 n=6，m=4，那么输出的 p 等于（ A．720 B．360 C．240 D．120 3x  y  6 �0 � � x  y  2 �0 ，则目标函数 7.实数 ， 满足 � 的最大值为（ �x �0, y �0 z  x  2y � x y A. 18 B. 17 C. ） 16 D. ） 15 8. 空间四边形 ABCD 中，AB、BC、CD 的中点分别是 P、Q、R，且 PQ=3， QR=5，PR=7，那么异面直线 AC 和 BD 所成的角是（ A. 60o B. 120o 30o C. D. ） 150o 2 2 2 2 9.若圆 C 的圆心在直线 x − y − 4=0 上且经过两圆 x + y − 4 x − 6=0 和 x + y − 4 y − 6=0 的交点， 则圆 C 的圆心到直线 3 x+ 4 y +5=0 的距离为（ A. 0 B. 8 5 2 C. ） 18 D. 5 10. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆， 则该几何体的体积为（ A. 2  3 ） 1  B. 2 11.在平面直角坐标系 xOy C. 中，圆 C 2  6 的方 程为 D.  2 3 x 2  y 2  8 x  15  0 ，若直线 使得以该点为圆心， 1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的取值范围是（ 4 A. [0, ] 3 4 B. (0, ) 3 4 4 C. [ , ] 3 3 4 D. (0, ] 3 y  kx  2 ） 上至少存在一点， 12．已知三棱锥 P  ABC 中， O 为 AB 的中点， PO  平面 ABC ， �APB  90� PA  PB  2 ， ， 则有下列四个结论： ①若 ② O 为 ABC ABC 的外心，则 PC  2 若为等边三角形，则 ； AP  BC ； � π� 0, ③ 当 �ACB  90� 时， PC 与平面 PAB 所成的角的范围为 � � 4� �； ④当 PC  4 时， M 为平面 其中正确的个数是（ A．1 PBC 内一动点，若 OM∥平面 PAC ，则 M 在 PBC 内轨迹的长度为 2． ） B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷（非选择题，满分 90 分） 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.若六进制数 1m05(6)(m 为正整数)化为十进制数为 293,则 m= 14.点 P，Q 在圆 x 2  y 2  kx  4 y  3  0 则该圆的半径为 ． （ k �R ）上，且点 P，Q 关于直线 2x  y  0 对称， ． 15.在正三棱锥 S  ABC 中， M 是 SC 的中点，且 AM  SB ，底面边长 AB  2 2 ， 则正三棱锥 S  ABC 的外接球的表面积为 ． 16.已知圆 C : x   y  1  6 ， AB 为圆 C 上的两个动点，且 AB  2 2 ， G 为弦 AB 的中点.直线 2 l:x y20 2 上有两个动点 PQ ，且 PQ  2 中点 M 的横坐标取值范围为________． .当 AB 在圆 C 上运动时， �PGQ 恒为锐角，则线段 PQ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程，演算步骤） 17.（本小题满分 10 分） A(0,3), C (1, 2) 在 Δ ABC 中， ，若点 B 与点 A 关于直线 y=− x 对称， （1）试求直线 BC 的方程； （2）试求线段 BC 的垂直平分线方程． 18.（本小题满分 12 分） 某市统计局就 2020 年毕业大学生的月收入情况调查了 10000 人，并根据所得数据画出样本的频率分布 直方图所示，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示 （1）求毕业大学生月收入在 [4000, 4500) [2000, 2500) 的频率； （2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数； （3）为了分析大学生的收入与所学专业、性别等方面的关系， 还要再从这 10000 人中依工资收入按分层抽样方法抽出 100 人作进一步分析，则月收入在 [3500, 4000) 的这段应抽取多少 人？ 19.（本小题满分 12 分） 如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，CC1⊥平面 ABC，M 是 CC1 中点． （1）求证：平面 AB1M⊥平面 A1ABB1； （2）过点 C 作一截面与平面 AB1M 平行，并说明理由． 20.（本小题满分 12 分） 已知圆 C x 的圆心在 轴上，且经过点 （1）求圆 C 的标准方程； A(1, 0), B(1, 2) ． . （2）过点 P (0, 2) 的直线 l 与圆 C 相交于 M , N 两点，且 | MN | 2 3 ，求直线 l 的方程． 21.（本小题满分 12 分） (文科生做)如图，四边形 PDCE 为矩形，四边形 ABCD 为梯形，平面 PDCE⊥平面 ABCD，∠BAD＝ 1 AB  AD  CD  1 ∠ADC＝90°， ， PD  2 ，若 M 为 PA 的中点，PC 与 DE 交于点 N. 2 （1）求证：AC∥面 MDE； （2）求证：PE⊥MD； （3）求点 N 到平面 ABM 的距离． (理科生做)如图所示，在底面是矩形的四棱锥 PABCD 中，PA⊥平面 ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4， E 是 PD 的中点． （1）求证：平面 PDC⊥平面 PAD； （2）求二面角 EACD 的余弦值； （3）求直线 CD 与平面 AEC 所成角的正弦值． 22.（本小题满分 12 分） 已知圆 O ： x2  y 2  2 ，直线 l : y  kx  2 . （1）若直线 l 与圆 O 交于不同的两点 A, B ，当 （2）若 k �AOB   2 时，求 k 的值； 1 2 ， P 是直线 l 上的动点，过 P 作圆 O 的两条切线 PC 、 PD ，切点为 C 、 D ， 探究：直线 CD 是否过定点； （3）若 EF 、 GH 为圆 O ： x  y  2 2 求四边形 EGFH 的面积的最大值. 2 M (1, 的两条相互垂直的弦，垂足为 2 ) 2 ，