2021 年辽宁省沈阳市高考数学质量监测试卷（一）（一模） 一、单项选择题（共 8 小题）. 1．已知集合 A＝{﹣2，0，2，3}，集合 B＝{x|﹣2≤x≤0}，则 A∩B＝（　　） A．{2，3} B．{﹣2} 2．已知 i 是虚数单位，则复数 A．第一象限 C．（﹣2，0） D．{﹣2，0} 对应的点所在的象限是（　　） B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．2020 年我国进行了第七次全国人口普查，“大国点名，没你不行”．在此次活动中，某学 校有 2 女、4 男 6 名教师报名成为志愿者，现在有 3 个不同的社区需要进行普查工作， 从这 6 名志愿者中选派 3 名，每人去 1 个小区，每个小区去 1 名教师，其中至少要有 1 名女教师，则不同的选派方案有多少种（　　） A．16 种 B．20 种 C．96 种 D．120 种 4．甲烷是一种有机化合物，分子式是 CH4，它作为燃料广泛应用于民用和工业中．近年来 科学家通过观测数据，证明了甲烷会导致地球表面温室效应不断增加．深入研究甲烷， 趋利避害，成为科学家面临的新课题．甲烷分子的结构为正四面体结构，四个氢原子位 于正四面体的四个顶点，碳原子位于正四面体的中心，碳原子和氢原子之间形成的四个 碳氢键的键长相同、键角相等．请你用学过的数学知识计算甲烷碳氢键之间夹角的余弦 值（　　） A．﹣ B．﹣ 5．在矩形 ABCD 中，AB＝ 则 • 的值是（　　） C．﹣ D．﹣ ，BC＝2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在 CD，若 • ＝ ， A． B．2 C．0 6．5G 技术的数学原理之一是著名的香农公式： D．1 ．它表示：在受噪声干 扰的信道中，最大信息传递速度 C 取决于信道带宽 W，信道内信号的平均功率 S，信道 内部的高斯噪声功率 N 的大小，其中 叫做信噪比．当信噪比较大时，公式中真数中的 1 可以忽略不计．假设目前信噪比为 1600，若不改变带宽 W，而将最大信息传播速度 C 提升 50%，那么信噪比 要扩大到原来的约（　　） A．10 倍 B．20 倍 C．30 倍 D．40 倍 7．已知随机变量 ξ～N（1，σ2），且 P（ξ≤0）＝P（ξ≥a），则 的最 小值为（　　） A．9 B． C．4 D．6 8．已知函数 g（x），h（x）分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 g（x）+h（x）＝ ex+x，若函数 f（x）＝2|x﹣1|+λg（x﹣1）﹣6λ2 有唯一零点，则正实数 λ 的值为（　　） A． B． C．2 D．3 二、多项选择题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在 9．若 a＞0，b＞0，则使 a＞b 成立的充要条件是（　　） A．a2＞b2 B．a2b＞ab2 C． 10．已知函数 f（x）＝2sinxcosx+2 A．f（x）的图象是由 y＝2sin2x 的图象向左移 B．f（x）在 D． ，则下列结论中正确的是（　　） 个单位得到的 上单调递增 C．f（x）的对称中心的坐标是 （k∈Z） D．函数 在[0，10]内共有 8 个零点 11．已知双曲线 C： ＝1（a＞0，b＞0）的左焦点 F（﹣1，0），过 F 且与 x 轴垂 直的直线与双曲线交于 A，B 两点，O 为坐标原点，△AOB 的面积为 ，则下列结论正 确的有（　　） A．双曲线 C 的方程为 4x2 ＝1 B．双曲线 C 的两条渐近线所成的锐角为 60° C．F 到双曲线 C 渐近线的距离为 D．双曲线 C 的离心率为 2 12．如图，棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的内切球为球 O，E、F 分别是棱 AB 和棱 CC1 的中点，G 在棱 BC 上移动，则下列结论成立的有（　　） A．存在点 G，使 OD 垂直于平面 EFG B．对于任意点 G，OA∥平面 EFG C．直线 EF 的被球 O 截得的弦长为 D．过直线 EF 的平面截球 O 所得的所有圆中，半径最小的圆的面积为 三、填空题（共 4 小题）. 13．在正项等比数列{an}中，a52+2a6a8+a92＝100，则 a5+a9＝　 　． 14．若 cos（x﹣ ）＝ ，则 sin（2x+ ）＝　 　． 15．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（0，﹣3），若圆 C：（x﹣a）2+（y﹣a+2）2＝1 上存 在一点 M 满足|MA|＝2|MO|，则实数 a 的取值范围是　 　． 16 ． 已 知 抛 物 线 x2 ＝ 4y ， 点 M （ t ， ﹣ 2 ） ， t∈[﹣1 ， 1] ， 过 M 作 抛 物 线 的 两 条 切 线 MA，MB，其中 A，B 为切点，直线 AB 与 y 轴交于点 P，则 的取值范围是　 　． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答． ① cosA （ ccosB+bcosC ） ＝ asinA ； ② cosC ＝ ； ③ tanA+tanB+tanC ＝ tanBtanC． 已知△ABC 的内角 A，B，C 的对应边分别为 a，b，c，____． （1）求 A； （2）若 ，求△ABC 的面积． 18．已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 an+12＝2Sn+n+1，a2＝2． （1）求数列{an}的通项公式 an； （2）若 bn＝an•2n，数列{bn}前 n 项和为 Tn，求使 Tn＞2021 的最小的正整数 n 的值． 19．习近平总书记曾提出，“没有全民健康，就没有全面小康”．为响应总书记的号召，某 社区开展了“健康身体，从我做起”社区健身活动．运动分为徒手运动和器械运动两大类． 该社区对参与活动的 1200 人进行了调查，其中男性 650 人，女性 550 人，所得统计数据 如表所示：（单位：人） 性别 器械类 男性 590 女性 合计 徒手类 合计 240 900 （1）请将题中表格补充完整，并判断能否有 99%把握认为“是否选择器械类与性别有关”？ （2）为了检验活动效果，该社区组织了一次竞赛活动．竞赛包括三个项目，一个是器 械类，两个是徒手类，规定参与者必需三个项目都参加．据以往经验，参赛者通过器械 类竞赛的概率是 ，通过徒手类竞赛的概率都是 ，且各项目是否通过相互独立．用 ξ 表示某居民在这次竞赛中通过的项目个数，求随机变量 ξ 的分布列和数学期望． （参考数据：12302＝1512900，65×55×9＝32175，1512900÷32175≈47） 附： ． P（K2≥k） 0.050 0.025 0.010 0.005 k 3.841 5.024 6.635 7.879 20．如图 1，平面四边形 ABCE，点 D 在边 CE 上，CD＝DE，且 ABCD 是边长为 2 的正方 形．沿着直线 AD 将△ADE 折起，使平面 ADE⊥平面 ABCD（如图 2），已知 F，H 分别 是棱 EA，EC 的中点，G 是棱 BC 上一点． （1）求证：平面 DFG⊥平面 ABE； （2）若直线 GH 与平面 ABCD 所成的角的正切值为 时，求锐二面角 F﹣DG﹣H 的余 弦值． 21．已知椭圆 C 的方程为 （1）若 G 为 MN 的中点，且 ，斜率为 k（k≠0）的直线与 C 相交于 M，N 两点． ，求椭圆 C 的方程； （2）在（1）的条件下，若 P 是椭圆 C 的左顶点，kPM•kPN＝﹣ ，F 是椭圆的左焦点， 要使 F 在以 MN 为直径的圆内，求 k 的取值范围． 22．已知函数 f（x）＝mxlnx﹣1，m≠0． （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）若 g（x）＝x2﹣ x，且关于 x 的不等式 f（x）≤g（x）在（0，+∞）上恒成立，其 中 e 是自然对数的底数，求实数 m 的取值范围． 参考答案 一、单项选择题（共 8 小题）. 1．已知集合 A＝{﹣2，0，2，3}，集合 B＝{x|﹣2≤x≤0}，则 A∩B＝（　　） A．{2，3} B．{﹣2} C．（﹣2，0） D．{﹣2，0} 【分析】进行交集的运算即可． 解：∵A＝{﹣2，0，2，3}，B＝{x|﹣2≤x≤0}， ∴A∩B＝{﹣2，0}． 故选：D． 2．已知 i 是虚数单位，则复数 A．第一象限 对应的点所在的象限是（　　） B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 z 的坐标得答案． 解：∵i2020＝i4×505＝1505＝1，∴i2021＝i2020+1＝i， 则 ＝ ＝ ∴z 在复平面内对应点的坐标为（ ， ），在第四象限． 故选：D． 3．2020 年我国进行了第七次全国人口普查，“大国点名，没你不行”．在此次活动中，某学 校有 2 女、4 男 6 名教师报名成为志愿者，现在有 3 个不同的社区需要进行普查工作， 从这 6 名志愿者中选派 3 名，每人去 1 个小区，每个小区去 1 名教师，其中至少要有 1 名女教师，则不同的选派方案有多少种（　　） A．16 种 B．20 种 C．96 种 D．120 种 【分析】根据题意，分 2 步进行分析：①在 6 名志愿者中选派 3 名，要求至少要有 1 名 女教师，②将选出的 3 人安排到三个社区，由分步计数原理计算可得答案． 解：根据题意，分 2 步进行分析： ① 在 6 名志愿者中选派 3 名，要求至少要有 1 名女教师，有 C63﹣C43＝16 种分组方法， ② 将选出的 3 人安排到三个社区，有 A33＝6 种安排方法， 则有 16×6＝96 种不同的选派方法， 故选：C． 4．甲烷是一种有机化合物，分子式是 CH4，它作为燃料广泛应用于民用和工业中．近年来 科学家通过观测数据，证明了甲烷会导致地球表面温室效应不断增加．深入研究甲烷， 趋利避害，成为科学家面临的新课题．甲烷分子的结构为正四面体结构，四个氢原子位 于正四面体的四个顶点，碳原子位于正四面体的中心，碳原子和氢原子之间形成的四个 碳氢键的键长相同、键角相等．请你用学过的数学知识计算甲烷碳氢键之间夹角的余弦 值（　　） A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣ 【分析】画出几何体的结构特征，利用余弦定理转化求解即可． 解：设正四面体的棱长为 a，正四面体的中心为 O，底面三角形的高为： 体的高为： AO2＝（ ＝ ）2+（ a， ）2，解得 AO＝ 甲烷碳氢键之间夹角为 θ． cosθ