知识回顾 知识回顾 复习引入： 　　上一节学过的公式 C(   ) （ 1 ）它 的结构特点是什么？（ 2 ）它的正用逆用； （ 3 ）这里、可以是怎样的角？ 新课导入 新课导入 探索 在数学解题过程中，换元 的思想广泛应用，在公式的推导过 程中，有时候也应用到这种思想。 　　问题：由公式C 出发，你能推 (   ) 导出两角和与差的其它公式 C (  ) S(   ) , T(  ) , T(   ) . , S(  ) , 与 和 角 两 2 . 1 . 3 切 正 、 弦 差的正 新课导入 新课导入 知识与能力 　　能利用两角差的余弦公式推导出两 角和与差的正弦、余弦公式、正切公式 。 过程与方法 　 理解以两角差的余弦公式为基础，推导 两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角 恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其 应用。 情感态度与价值观 　　通过公式的推导，了解它们内在的联 系．进一步培养学生的逻辑推理能力。 教学重难点 教学重难点 重点 　　两角和、差正弦和正切公式的 推导过程及运用； 难点 　　两角和与差正弦、余弦和正切公 式的灵活运用。 两角差的余弦公 式 C （ α-β ） cos （ – ） =cos  cos +sin  sin  在上式中，若将 β 替换成 -β ，则可得 : cos （ - （ - ）） =coscos （ - ） +sinsin （ ） 即： 两角和的余弦公 式 C （ α+ β ） cos （  + ） =coscos–sinsin 两角和与差的余弦函数 两角和的正弦公 式   Ｓ （ α+β ） cos    sin  2    sin     cos        2      cos          2     cos    cos   sin     sin  2  2  sin  cos   cos  sin  S    : sin     sin  cos   cos  sin  两角差的正弦公 式 Ｓ （ α- β ） S    : sin     sin  cos   cos  sin  用  代替 得到 sin     sin  cos(  )  cos  sin(  ) S     : sin     sin  cos   cos  sin  两角和的正切公式 Ｔ （ α+ β ） sin(αβ)  tan(αβ)   (这里有什么要求？） cos(αβ)  sinαcosβcosαsinβ  提问：能否化简？  cosαcosβsinαsinβ  sin αβαβ cos cos sin  cos αβαβ cos cos cos  (又有什么要求？） cos αβαβ cos sin sin  cos αβαβ cos cos cos tan αβ+ tan = 1 - tan αβtan 两角差的正切公式 Ｔ （ α- β ） tan   tan  tan(   )  1  tan  tan  π 公式成立的条件是：αβ� �kπ  ， 2 π π β �kπ  α �kπ, 2 2 5 例 1 ：已知sinα= - ,α 是第四象限角，求 13 �πππ � � � � � sin � -α,cos � �+α,tanα� � �的值 �4 � �4 � � 4 � 解：因为 sinα= - 5 ,α 13 . 是第四象限角，得 2 � 5 � 12 cosα= 1- sinα= 1- - � � = �13 � 13 2 5 sinα5 13 tanα= = =cosα12 12 13 �πππ2� 12 2 -5 17 2 � � ���= � 于是有 sin � -α=�sin cosα-cos sinα= 4 2 13 2 �13 � 26 �4 � 4 �πππ2�12 2 -5 17 2 cos � +α=�cos cosα-sin sinα= 4 �4 � 4 � π17 � tanα= � � � 4� � � ���= � 2 13 2 �13 � 26 π5 tanα- tan - -1 4= 12 =π 5� � 1 + tanαtan 1 + �- � �1 4 �12 � 7 例 2 ：利用和（差）角公式计算下列各式的值 （ 1 ）sin 72o cos 42o  cos 72o sin 42o cos18 cos 27  sin18 sin 27 （2） o o o 1  tan15 （3） 1  tan15o o o  sin 93 cos 33  cos 93 sin 33  sin 93  33 解： （1） o o 3  sin 60  2 o o o o o  o o o o o o cos18 cos 27  sin18 sin 27  cos 18  27 （2）   2  cos45  2 o o o 1  tan15 tan 45  tan15 o o   tan  45  15  （3） o o o 1  tan15 1  tan 45 tan15 3 o  tan 30  3 o 3 o  tan15 3 例:利用和角公式计算的值 3 3 o  tan15 3 3 o 解： 由得： tan 30  3 3 o  tan15 o o tan 30  tan15 o o 3   tan 30  15 o o 1  tan 30 tan15 3 o  tan15 3 o  tan 45  1   　　例 4 ：利用和（差）角公式求　　 (1)75�,(2)15� 　　　的正弦和余弦及正切值 . 　　分析：首先将这两个角度分解成某些特殊 的角的和或差。 解： （1 ） sin 75  sin(45  30 ) � � �  sin 45 cos 30  cos 45 sin 30 � � 2 3 2 1  �  � 2 2 2 2 6 2  4 � � cos 75� cos(45� 30�)  cos 45�cos 30� sin 45�sin 30� 2 3 2 1  �  � 2 2 2 2 6 2  4 � sin 75 tan 75�  � cos 75  6 2 6 2  2 3 6 2 4 6 2 4 � � � （ 2 sin15  sin(45  30 ) ）  sin 45�cos 30� cos 45�sin 30� 2 3 2 1  �  � 2 2 2 2 6 2  4 � � � 或 sin15 = sin(60 - 45 ) 或 sin15�= sin(90�- 75�) = sin 60�cos 45�- cos 60�sin 45�= cos 75 6- 2 = 4 � 6- 2 = 4