江西省重点中学协作体 2019 届高三第一次联考 数学试卷（文） 2019.2 命题人：新余一中 钟冠群 满分：150 分 时间：120 分钟 高安中学 晏苏利 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.已知复数 z 满足 2 A. 2 z   1 i  i B.1 z  ，则 （ ） C. 2 D.2     A  x  x  1  x  2   0 B  x x  a �0 2.已知 p ： ，q ： ，若 p 是 q 的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围为（ A.  2, � B. ）  2, � C.  �,1 D.  �,1 x2 y 2  2 1 2 b 3.双曲线 a 的渐近线方程为 y  � 3 x ，则该双曲线的离心率为（ A. 5 B.2 C. 3 ） D. 2 4.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方两丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸 齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池宽两丈，池正中央生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺， 若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上 随机取一点，则该点取自水下的概率为（ 9 A. 10 12 B. 13 13 C. 14 ） 14 D. 15 5.《道路交通安全法》规定：机动车行经人形横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人形横道，应当 停车让行，俗称“礼让斑马线”为了研究不“礼让斑马线”的驾驶人数 y 与 x 月份的关系，工作人员提取了某十 字路口监控设备所抓拍的一月份到五月份的数据，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关 5 关系，设其回归直线方程为 y  a  bx .已知 马线”的驾驶人数为（ A.27 i 1 i  500 ， b  8 .据此估计该路口十二月份的不“礼让斑 ） B.28 C.29 6.下列结论中正确的有（ ）个 f  x  1, 2 ① 若函数 �y 的定义域为 D.30 ，则函数 f  2 cos x   � �   2 k  ,  2k  � � 3 �， k �Z ； 的定义域为 � 3 � � �3 � y  tan �x  � 1 � ,1� � 4 � 的一个对称中心为 �4 �； ② 函数 1 y  sin x  sin x  4 ③ 函数 2 A.0 B.1 � 3 2 � � �  ,1� �  � x � � � 4 2 � 4 �的值域为 � �6 ； C.2 D.3 � � y  sin � 2x  � 6 �的图象向右平移  个单位得到偶函数 g  x  ，将满足条件的  输入如图所示的程序 � 7.函数 框图中，则输出 y  （ A.  3 B. 1 3 C. 2 或 2  8.直三棱柱  3 2 D. 3 或  3 3 ABC  A1B1C1 的体积为 72 3 ，若 AA1  6 ， �ABC  60�，则该直三棱柱的外接球的表面积 的最小值为（ A. 10 ） ） B. 25 125  C. 3 D. 100  9.当 a �b （ a �b 且 a, b �N ）是正整数 n 的最小分解时，我们定义函数 f  n  b  a ，例如正整数 20 10, 4 �5 三种，其中 4 �5 是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我 表示成两个正整数的乘积有 1�20, 2 �   f  5n  f  20   5  4  1 4 � 5 们称 为 20 的最小分解， ，则数列 的前 101 项和为（ A. 5  1 B. 5  1 52 C. 5  1 51 10.若不等式组 范围为（ 50 3x  y � � �  � �x � � 6 � �y �0 ） D. 5  1 49 表示的平面区域内存在点  x, y  使 x  y  sin  x  y   a  0 成立，则 a 的取值 ） � � 3  , � � � �3 2 � � � B. � 1 � �  , �� � A. �6 2 � � �  1, �� � C. �2 �2 � 3  , � � � �3 � 2 � � D.  r r r r r r r 11.已知 a ， b ， c 是平面向量， e 是单位向量.若非零向量 a 与 e 的夹角为 4 ，向量 b 满足 r r r2 r r r2 a b  6e � b  5e  0 ，则  b 的最小值是（ 3 2 2 A. 2 3 2 B. 2 ） 5 2 5 2 2 C. 2 D. 2 2 x 3  3 x 2 , x  0 � f  x  � f  x  �a x �R  axe x  1, x �0 � 12.设函数 ，其中 a  0 ，若 对 恒成立，则实数 a 的取值范围为 （ A. ） � e � 0, � e  1� � � C.  1, � B.  0,1 �e � , �� � e 1 � D. � 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知 ABC 中， c  14.已知点 A  15, 0 3 ， b  1 ， B  30�，则 C 等于________.  及抛物线 x 2  4 y 上一动点 B  x, y  ，则 y  AB 的最小值为________. 15.如右图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为__ ______. 19.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P  ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， �DAB  60� ， PD  底 面 ABCD ， PD  DC  2 ， E ， F ， G 分别是 AB ， PB ， CD 的中点. （1）求证： AC  PB ； （2）求证； GF P 平面 PAD ； （3）求点 G 到平面 PAB 的距离. x2 y2  2  1  a  b  0 2 b 20.（本小题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 C ： a 的左、右焦 uuur uuur PF   F1Q F F PF Q x 1 点分别为 1 ， 2 ， P 为椭圆上一点（在 轴上方），连结 1 并延长交椭圆于另一点 ，设 . （1）若点 P 的坐标为 （2）若  0, 3  ，且 PF F 的周长为 6，求椭圆 C 的方程； 1 2 PF2 垂直于 x 轴，且  � 3, 5 ，求椭圆离心率 e 的取值范围. 21.（本小题满分 12 分）已知函数 （1）求函数 f  x 的单调区间； f  x   x 2  x  a ln  x  1 ，其中 a  0 f  x2   2 x2 1 3 3    ln 1 4 2 4  x1 f  x x x x  x 2 ，证明： 2 （2）若函数 有两个极值点 1 ， 2 且 1 . 选做题（请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果全做，则按所做的第一题评分，作答时填写清题 号）22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：极坐标与参数方程 �x  1  a cos  � C �y  3  b sin  （  为参数），在以 O 为极点， x 轴的正半 在平面直角坐标系中，曲线 1 的参数方程 �3 � M � ,2 3� C C �对应的参 轴为极轴的坐标系中，曲线 2 是圆心在极轴上，且经过极点的圆，已知 1 上的点 �2 数  � �   D� 1, �      0 C 3 ，射线 3 与曲线 2 交于点 � 3 � （1）求曲线 C1 ， C2 的直角坐标方程； � � B � 2 ,   � A  1 ,  C C 2� （2）将曲线 1 向左平移 1 个单位，向下平移 3 个单位得到曲线 3 ，若点 ， � 1 C    22 的值. 在曲线 3 上，求 2 1 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f  x  x  4  x  4 （1）解不等式 f  x  3 2 2 f  x �  a 1 a . ；（2）当 x �R ， 0  a  1 时，证明： 江西省重点中学协作体 2019 届高三第一次联考文数试卷答案 一.选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1 2 3 4 5 6 题号 A D B B B C 答案 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 60� 或 120� 14.3 7 C 15. 28  4 5 8 D 9 B 10 A 11 A 12 D 16.1 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分）. 17.解：（1）化简得 当 n  1 时， 2 S n  3n  3 所以， 2a1  3  3 ，故 a1  3 ， 2 S n 1  3n 1  3 ， 此时， 2an  2 S n  2 S n1  3n  3n 1 ，即 an  3n 1 ， 所以， 3, n  1 � an  �n 1 3 ,n 1 � ……………………4 分 1 b1  a b  log a 3 n ，所以 3 （2）因为 n n 当 n  1 时， bn  31n log 3 3n 1   n  1 31 n 所以 T1  b1  1 3 ……………………5 分 1 Tn  b1  b2  b3  � � � � � � bn   � 1�31  2 �32  � � � � � �   n  1 �31 n � � � 3 当 n  1 时， .………6 分 所以 3T