宜城市第三高级中学 2021--2022 学年高三期末模拟试卷 1 高三数学 (考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分) 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证 号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是符合题目要求的.） 1. 设集合 ,则 A. B. 2. 若 ，且 C. B. C. D. 4. 设 ”为假命题,则实数 ,使得 A. B. 是等差数列 A. 5. 已知双曲线 D. ，则下列不等式成立的是（ ） A. 3. 若命题“ () C. 的前 项和，若 的离心率为 ，焦点为 D. ，则 B. （） C. 、 的取值范围是( ) ，点 在 D. 上，若 ，则 （） A. B. C. D. 6. 从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离不小于该正方形边长的概率 为（ ） A. 7. 设 B. , A. , D. 的大小关系是( ) ,则 B. 8. 已知函数 只要将 C. C. ( , D. )的最小正周期为 ,为了得到函数 的图象, 的图象( ) A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度 C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度 二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.） 9. 已知等比数列 满足 , A. 首项 C. 数列 B. 公比 的通项公式为 10. 已知圆 A. ,则( ) D. 数列 与圆 B. 的前 项和为 无公共切线,则实数 C. D. 的取值可以是( ) 11. 如图,在正方体 A. 直线 C. , 中, , , , , , 是各条棱的中点 ,下列说法正确的为 ( ) B. 平面 , , D. 四点共面 12. 已知函数 平面 的零点个数的 ,下列是关于函数 个判断,其中正确的 是( ) A. 当 时,有 个零点 B. 当 时,有 C. 当 时,有 D. 当 时,有 个零点 个零点 个零点 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.） 13. 设 , 为单位向量,且 ,则 展开式中的常数项为__________(用数字填写答案). 14. 15. 已知 是奇函数,且 16. 已知抛物线 且与线段 __________. 相交于点 ,若 的焦点为 .若 ，则 ,则 ，点 是抛物线 __________. 上一点，圆 与 轴相切 __________，抛物线的准线方程为__________． 四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，角 大小； （2）若 对应的边分别是 的面积 18. 如图,在四棱锥 (2)求证:平面 ，求 中, 平面 已知 平面 （1）求角 的 的值. , . (1)求证: 平面 ; . 19. 某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为 ,中将可以获得 2 分; 方案乙的中奖率为 ,中将可以得 分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不 影响,晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为 ,求 的概率; (2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖, 累计的得分的数学期望较大? 20. 如图,椭圆 的离心率为 ,点 为椭圆上的一点, (1)求椭圆 的标 准方程; (2)若斜率为 任意的 ,直线 , 21. 已知等比数列 的直线 过点 ,且与椭圆 两点, , 为椭圆 的下顶点,求证:对于 的斜率之积为定值. 的前 项和为 ，且 式； （2）若 . （1）求 的值及数列 ，求数列 22. 已知函数 在 交于 , 上有最小值;设 在 的前 项和 . (1)求 上的最小值为 的通项公 . 单调区间; (2)设 ,求函数 的值域. ,证明: 宜城市第三高级中学 2021--2022 学年高三期末模拟试卷 1 高三数学答案 第 1 题： 【答案】D 【解析】 , ,故选 D. 第 2 题： 【答案】B 【解析】 . 第 3 题： 【答案】C 【解析】若命题“ ”为假命题,则它的否定为“ ”是真命题,此时满足 取值范围为 ,∴ ,∴ ,∴实数 的 .故选 C. 第 4 题： 【答案】C 【解析】由 得 ，∴ ，∴ ，故选 C. 第 5 题： 【答案】A 【解析】利用双曲线的性质及定义得 ，如图，由双曲线的定义得 的各边关系，再运用余弦定理求解. 由 .又 ，故 得， ， ， . 第 6 题： 【答案】C 【解析】先找出取两个点的所有情况，再找出所有距离不小于正方形边长的情况. 取两个点 的所有情况为 ，所有距离不小于正方形边长的情况有 6 种，概率为 . 第 7 题： 【答案】B 【解析】 , , ,所以 ,答案选 B. 第 8 题： 【答案】A 【解析】由题知 左平移 即将 ,所以 个单位长度得到 的图象向 . 第 9 题： 【答案】A,B,D 【解析】由等比数列 代入 可得 满足 , 则等比数列 , , 所以 , 则数列 , 的前 ,即 项和 , 故选 ABD. 第 10 题： 【答案】B,C 【解析】圆 的圆心 两圆内含, 又两圆圆心距 ,半径 , 所以 ,圆 的圆心 ,半径 , 解得 , . 因为两圆无公切线,所以 .故选:BC. 第 11 题： 【答案】A,C 【解析】因为 面 , 分别为 ,所以直线 平面 平面 , 又因为 平面 图所示建立空间直角坐标系 中点,所以 , , , , , , , 平面 , 分别为 , , , 平 , , 又因为 ,所以 ,则 , 又因为 平面 平面 平面 四点共面,C 正确; 因为 于平面 , 又因为 , 同理可得 ,则 , , 中点,所以 , ,所以 ,A 正确; 设棱长为 ,如 , 所以 , ,B 不正确; 连接 ,因为 中点,所以 ,所以 , , ,故 , , 所以 , , 所以直线 , 分别是 不垂直 ,D 不正确;故选 AC. 第 12 题： 【答案】C,D 【解析】由 ①若 ,作出函数 有两个根,其中 ,得 ,设 的图象如图: , 等价为 ,则方程 ∵ ,由 ,知此时 有两解,由 , . 此时方程 知此时 有两解, 此时共有 个解,即函数 有 ∵ 知此时 个零点. ② 若 此时方程 , 只有 个解,即函数 ,作出函数 的图象如图: 有一个根 ,其中 ,由 有 个零点. 故选 CD. 第 13 题： 【答案】 【解析】∵ , 为单位向量,∴ ,∴ ,解得 ,∴ . 第 14 题： 【答案】 【解析】由 , 故常数项为 . 第 15 题： 【答案】 【解析】令函数 , ,所以 第 16 题： 【答案】 , ,因为 , 为奇函数,所以 . ,∴ 【解析】过 作抛物线 ，解得 的准线的垂线. 为垂足，则 ，该抛物线的准线方程为 ,又 ,所以 ,则 . 第 17 题： 【答案】（1） . （2） 【解析】（1）由 ，得 ，解得 ，即 ，∴ .∵ ，得 . 又∵ . （2）由 ，∴ ，则 . 由余弦定理 . 又由正弦定理，得 . 第 18 题： 【答案】(1)见解析; (2)见解析. 【解析】(1)因为 平面 平面 平面 , ,所以 平面 平面 ,所以 ,所以平面 平面 平面 ,所以 .又因为 . (2)因为 ,所以 .又 .因为 平面 ,所以 .又 . 第 19 题： 【答案】（1） （2）选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大 【解析】(Ⅰ)由已知得:小明中奖的概率为 ,小红中奖的概率为 ,两人中奖与否互不影响, 记“这 2 人的 累计得分 ”的事件为 ,则 事件的对立事件为“ ∴这两人的累计得分 抽奖中奖的次数为 为 ,都选择方案乙抽奖中奖的次数为 ,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 ”, ∵ 的概率为 ,∴ . (Ⅱ)设小明.小红都选择方案甲 ,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望 由已知: , ∴ , ∴ ∵ , ∴他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学 期望最大. 第 20 题： 【答案】(1) ; (2)略. 【解析】(1)因为 ,所以 ②, 由①②解得 , 联立 , 所以椭圆 , 消 的标准方程为 整理得: ,所以 . (2)由题意可设直线 ,设 易知 , ①, 又椭圆过点 ,所以 , ,则有 .故 为定值. 第 21 题： 【答案】（1） ， 【解析】（1） ， ，即 数列 的通项公式为 （2） 当 ， 是等比数列， . （2）由（1）得 ， 第 22 题： 时， ，当 ，则 ，得 时， ， 【答案】(1) 在 单调递增, 【解析】(1) 单调递减,在 得 .由 单调递增, 单调递减,在 , 在 在 上有唯一零点 .当 单调递增.故当 时, ,所以 等价于 于是函数 的值域为 . 在 递减,所以 ,故 单调递减;当 上的最小值 时, ,则当 , , 在 .所以 .设 时, 在 . 得 ;由 上是增函数.因为