解密 18 计数原理 高考考点 命题分析 排列、组合在高考中往往是 以选择题或填空题的形式出现， 题目难度在中等或中等以上，有 排列、组合 时难度较大．排列、组合的知识 和方法有时用来解决古典概型的 计算，有时与离散型随机变量及 三年高考探源 考查频率 2021 全国全国乙卷 6 2021 甲卷 10 2020 课标全国Ⅱ 14 2019 课标全国Ⅰ 6 ★★★★ 2018 课标全国Ⅰ 15 2018 课标全国Ⅱ 8 其分布相结合，进行综合考查. 利用二项式定 从近三年高考情况来看，二 理求展开式中 项式定理是高考的重点内容，主 2020 课标全国Ⅰ 8 的特定项或指 要考查二项展开式的通项，二项 2019 新课标全国Ⅲ 4 定项的系数 式系数，展开式的系数等知识， 2018 新课标全国Ⅲ 5 难度控制在中低档，以选择题、 填空题的形式出现，解题时应熟 练基本概念、基本运算，充分利 用方程思想及等价转化思想. 2020 新课标全国Ⅲ 14 ★★★★ 二项式系数和 与各项的系数 ★ 和问题 考点一 排列、组合 1. 两种计数原理： (1) 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝m＋n 种不同的方法． (2) 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件 事共有 N＝m×n 种不同的方法． 2. 排列组合 （1）排列、组合的定义 ① 排列：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中 取出 m 个元素的一个排列。 ② 组合：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素，合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个组合。 （2）排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 定义 公式 性质 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n，m，n∈N*) 个元素的所有不同排列的个数 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ A＝n！，0！＝1 组合数 从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不 同组合的个数 C＝＝ C＝1，C＝C，C＋C＝C 题组一 排列 例题 1．中国古代的“礼､乐､射､御､书､数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体 育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”即数学某校国学社团利用周日开展“六艺”课程讲座活动，每艺安 排一节，上午三节，下午三节.一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在上午，“射”和“御”两门课程排在 下午且相邻，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（ A．36 种 B．72 种 ） C．108 种 D．144 种 【答案】B 【分析】先排“数”，然后排“射”和“御”，再排剩下 3 门课程， 所以不同的排课顺序有 A31 � 2 �A22  �A33  72 种.故选：B 例题 2．现某校数学兴趣小组给一个底面边长互不相等的直四棱柱容器的侧面和下底面染色，提出如下的 “四色问题”：要求相邻两个面不得使用同一种颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的染色方案有（ A．18 种 B．36 种 C．48 种 ） D．72 种 【答案】D 【分析】若选择 4 种颜色，则前后侧面或左右侧面用 1 种颜色，其他 3 个面，用 3 种颜色， 所以有 2 A44  48 种； 若选择 3 种颜色，则前后侧面用 1 种颜色，左右侧面用 1 种颜色，底面不同色， 所以有 A43  24 种， 综上，不同的染色方案有 24  48  72 种. 故选：D 例题 3．甲､乙､丙､丁､戊五人随机地排成一行，则甲､乙两人相邻，丙､丁两人不相邻的概率为（ ） A． 1 5 B． 1 4 C． 1 3 D． 5 12 【答案】A 【分析】甲､乙､丙､丁､戊五人随机地站成一排的所有排法有 A55  5 �4 �3 �2 �1  120 种， 24 1 而甲､乙两人相邻，丙､丁两人不相邻的排法有 A22 A22 A32  24 种，∴ P  120  5 ，故选：A. 例题 4．十进制的算筹计数法是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下 图是利用算筹表示数字 1~9 的一种方法.例如：3 可表示为“ ”，26 可表示为“ ”，现用 6 根算筹表示不 含 0 的无重复数字的三位数，算筹不能剩余，则这个三位数能被 3 整除的概率为（ A． 1 4 B． 1 6 C． 5 12 D． ） 7 24 【答案】A 1, 2, 3 1, 2, 7 1,3, 6 1, 6, 7 6 【分析】用根 算筹组成满足题意的无重复三个数字组合为 ； ； ； ， 三位数有 1, 2, 3 ； 1, 2, 7 ； 1, 3, 6 3 ； 能被 整除的基本事件的个数为 1, 6, 7 1, 2, 3 这四种情况每一种情况三个数的全排列，有 的全排列，有 A33 种， A33 1  3 所以这个三位数能被 3 整除的概率为 4A 3 4 ，故选：A. 例题 5．甲、乙、丙三人站成一排，则甲、乙不相邻的概率是（ A． 2 3 B． 1 3 C． 1 2 D． 【答案】B 【分析】甲、乙、丙三人站成一排，基本事件总数 甲、乙二人不相邻包含的基本事件个数 m  2 ， n  A33  6 ） ， 5 6 4A 33 种，  甲、乙二人不相邻的概率 P  m 2 1   .故选：B. n 6 3 题组二 组合 例题 1．新冠疫情期间，某医学院将 6 名研究生安排到本市四家核酸检测定点医院进行调研，要求每家医 院至少去 1 人，至多去 2 人，且其中甲乙二人必须去同一家医院，则不同的安排方法有（ A．72 种 B．96 种 C．144 种 ） D．288 种 【答案】A 【分析】先从甲乙以外的 4 人中选 2 人去一家医院， 再从甲乙以外剩余的 2 人中选 1 人去一家医院， 最后后甲乙和甲乙以外剩余的 1 人各去一家医院，再进行排列， 则共有 C42 � C21 � C11 � A44  72 种安排方法，故选：A 2 2 A2 � A2 例题 2．如图，一块长方形花圃，计划在 A、B、C、D 四个区域分别种上 3 种不同颜色鲜花中的某一种， 允许同一种颜色的鲜花使用多次，但相邻区域必须种不同颜色的鲜花，不同的种植方案有（ A．9 种 B．8 种 C．7 种 ） D．6 种 【答案】D 【分析】由题意，按区域分四步：第一步 A 区域有 3 种颜色可选；第二步 B 区域有 2 种颜色可选； 第三步 C 区域有 1 种颜色可选；第四步 D 区域只有 1 种颜色可选， 由分步计数原理可得，共有 C13 � C12 � C11 � C11  6 种不同的种植方案.故选：D. 例题 3．有 12 名同学合影，站成了前排 4 人后排 8 人，现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排，若其 他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ A．168 B．260 ） C．840 D．560 【答案】C 【分析】：从后排 8 人中抽 2 人有 C82 种方法； A 66 4 将抽出的 2 人调整到前排，前排 4 人的相对顺序不变有 A 4 种， A6 C82 � 64  28 �6 �5  840 A4 由分步乘法计数原理可得：共有 种，故选：C. 例题 4．现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着 A､B､C､D､E 五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先 将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物 的概率为（ A． ） 4 5 B． 1 2 C． 4 7 3 D． 8 【答案】D 【分析】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有 C51 种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是 C42 C22 2 两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有 A2 种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是 �C42C22 1 1� C51 � � 2  C3C2 � 45 1 1 两两一对，都拿到对方的情况，由 C3C2 种情况，综上：共有 � A2 � 种情况，而五人抽五个 45 3 礼物总数为 A55  120 种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为 120  8 .故选：D 例题 5．下列等式正确的是（ m A． Cn  m 1 m C n 1 n 1 ） B． Am1  Am  n 2 Am1 n 1 n n 1 C． A mn  nA mn 11 D． nCkn  ( k  1)Cnk 1  kCnk 【答案】BCD 【分析】根据组合数公式得 公式得 公式得 A mn 11  A mn  A mn  Cmn  n! m 1 ( n  1)! m  1 m1  �  Cn1 m !(n  m)! n  1 ( m  1)!(n  m)! n  1 ，则 A 错误；根据排列数 (n  1)! n! n! (n  1)!   (n  1  1)  n 2  n 2 A mn11 (n  m)! ( n  m)! ( n  m)! ． (n  m)! ，则 B 正确；根据排列数 n! (n  1)!  n�  nA mn11 k 1 (n  m)! (n  m)! ，则 C 正确；根据组合数公式得 ( k  1)C n  n! n! n! n! (k  1) �  nCkn  kCkn  (n  k ) �  (k  1)![n  (k  1)]! k ![n  (k  1)]! ， k !( n  k )! k ![ n  ( k  1)]! ，即 nCnk  ( k  1)Cnk 1  kCnk ，则 D 正确．故选：BCD 例题 6．某班有 50 名学生，其中 15 人选修 A 课程，另外 35 人选修 B 课程，从班级中任选两名学生，求 他们是选修不同课程的学生的概率． 3 【答案】 7 【分析】Q 该班有 50 名学生， 则从班级中任选