2021-2022 学年高一（上）必修第一册数学（苏教版 2019） 第六章 幂函数、指数函数和对数函数 期末培优卷 一、单选题。本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，每小题只有一个选项符合题意。 f  x   2 x g  x    x2  2 x  b x2 � 1,3 x x x 1．已知函数 ， ，若 1 ， ，对任意的 1 ，总存在 2 ，使得 g  x1   f  x2  ，则实数 b 的取值范围是（ A．[1，7] ） B．[5，9] 2．已知函数 y  f  x 的表达式为 C．[4，6] f  x   log 3 x D．[5，7] ．若 0  m  n 且 f  m  f  n ，则 2m  n 的取值范围为（ ） A． C．  1, � 2 3．若 ； B． ； 2, � f  x ； ． � 2 2, � D． � 是定义域为 的解集是（  1, �  �, 0  � 0, � 的偶函数，且当 x � 0, � 时， f  x   lg  2 x  1 ，则 f  x  1  0 ） A．  0,1 U  1, 2  B．  �, 0  U  1, 2  C．  1, 2  D．  1,0  1 4．偶函数 f  x  关于点  1,0  中心对称，且当 x � 0,1 时， f ( x )  x 1  1 ，则 3 f  2019   f  2020   f  2021  A．0 （ ） B．2 C．4 D．6 5．天上的星光有的较亮，有的较暗，天文学以“星等”区分之，即选择某一特定的星光强度 于发出星光强度为 F 的星体，定义其“星等”为 m  2.5lg F0 为标准，对 F F0 ，并称该星体为“m 等星”，已知天狼星为 1.4 等星，北极星为 2 等星，则天狼星的星光强度大约是北极星的（ A．3 B．13 6．如图，直线 x  t 与函数 C．23 f  x   log 3 x 和 g  x   log3 x  1 D．33 的图象分别交于点 A ， B ，若函数 象上存在一点 C ，使得 VABC 为等边三角形，则 t 的值为（ 32 A． 2 B． 3 33 2 C． ）倍.(已知 lg 2 �0.301, lg 3 �0.477 .) 3 33 4 y  f  x 的图 ） D． 3 3  3 x �1 � g  x   � � m 2 7．已知 f  x   ln  x  1 ， ，若 x1 � 0,3 ， x2 � 1, 2 ，使得 f  x1  �g  x2  ，则实数 m 的 �2 � 取值范围为（ ） 1� � �,  � � 2� A． � 8．若函数 f  x    k  1 a x  a  x 的图象是（ A． � 1� �, � B． � 4 � � 1 � � , �� � 2 C． � � 1 � � , �� � 4 D． � � （ a  0 且 a �1 ）在 R 上既是奇函数，又是增函数，则 ） B． g  x   log a  x  k  C． D． 二、多选题。本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，每小题有两项或以上符合题意。 �f  x  , f  x  �k fk  x   � 9．对于给定的正数 k，定义函数 ．若对于函数 f  x   2 k, f  x  k � 实数 x，恒有 fk  x   f  x  ，则（  x2  x  2 的定义域内的任意 ） � 1� 1, � � f x   A．函数 在 � 2 �上单调递增 � 1� 1, � � B．函数 f  x  在 � 2 �上单调递减 k 2 2 C． 的最大值为 k 2 2 D． 的最小值为 10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的高斯函数为 过 x 的最大整数，例如：  3.5  4 ，  2.1  2 .已知函数 中正确的是（ A． f  x f  x  y   x ，  x  表示不超 ex 1  x �f  x  � �，则下列叙述 1 e 2 ， g  x  � ） 是偶函数 B． f  x 是奇函数 C． f  x 在 R 上是增函数 D． g  x 的值域是 {1, 0} 11．某学校为了加强学生核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，让学生以函数 f  x   lg 为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下，其中研究成果正确的是（ A．函数 f  x 的定义域为  1,1 ，且 f  x  是偶函数 ） 1 x 1 x � 2x � f � 2 � 2 f  x  x �  1,1   B．对于任意的 ，都有 �x  1 � C．对于任意的 a， b � 1,1 ，都有 �a  b � f  a  f  b  f � � 1  ab � � D．对于函数 f  x  定义域内的任意两个不同的实数 x1 ， x2 ，总满足 f  x1   f  x2  x1  x2 0 12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，他和阿基米德、牛顿并列 为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 x �R ，用 [ x] 表示不超过 x 的最大整数，则 y  [ x] 称为高斯函数，也称取整函数，例如： [3.7]  4 ， [2.3]  2 ，已知 y  2[ f ( x )]  [ f (  x )] A． 2 的函数值可能为（ B． 1 ex 1  e  1 2 ，则函数 x ） C． 0 三、填空题。本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知 a、b 为正实数且 a  b ，函数 f ( x)  y  xk  2 的定义域为 D．1  b, a  � a, b ．若函数 y  x k  2 在区间  a, b 上的最大值为 5，最小值为 2，则函数 y  x k  2 在区间  b, a  上的最大值与最小值的和为______． 14．函数 f  x   log 1   x 2  4 x  5  2 在区间  3m  1,3m  1 内单调递增，则实数 m 的取值范围是______． � log ( x 2  2 x  a)，x �0 f ( x)  � 2 2 15．已知函数 的值域是 R，则实数 a 的最大值是___________； 3 x , x  0 � 16．关于函数 ① 函数 ② 函数 f  x   lg y  f  x y  f  x x2  1 ( x  R, x |x| 的图象关于 y 轴对称； 的最小值为 lg 2 ； 0) 的下列命题： ③ 当 x  0 时， ④ ⑤ f ( x) 在 f  x f  x 是增函数；当 x  0 时， [1,0),[1, �) f  x 是减函数； 上是增函数； 无最大值，也无最小值． 其中正确命题的序号是_________． 四、解答题。本大题共 6 小题，共 70 分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。 y  h x  0,1 ，其表达式为 h  x   e x  b ，且同时满足以下两个条件：（1）对 17．已知函数 的定义域为 任意的 x � 0,1 ，总有 h  x  �0 h  x1  x2  �h  x1   h  x2  18．已知函数 （1）求函数 （2）若函数 y  f  x y  f  x y  f  x 19．已知关系式 成立；（2）当 x1 �0 ， x2 �0 且 x1  x2 �1 时，总有 成立．求实数 b 的值组成的集合． 的表达式为 f  x   log a  2  x   log a  2  x   0  a  1 的定义域； 的最小值为 1 ，求实数 a 的值． log a x  3log x a  log x y  3 小值，求此时相应的 x 的值． （其中 x 1 ， y0 ，常数 a 1 ）．若当 y 8 时， log a y 取到最 �2 1 � a  2  3� � � a � 20．（1）已知 ，求 的值； 1 1 4 a 4 a 3 a a 4 （2）计算： log 3 21．已知函数 27  lg 25  lg 4  7 log7 2  ln1 ． 3 f  x   log 4  4 x  1  kx  k �R  是偶函数． （1）求 k 的值． （2）若函数 h  x   4 1 f  x  x 2  m� 2 x  1 ， x � 0, log 2 3 ，是否存在实数 m 使得 h  x  的最小值为 0？ 若存在，求出实数 m 的值；若不存在，请说明理由． �1 � f  x   log 2 �  a � 22．已知 a �R ，函数 �x �． （1）当 a  3 时，解不等式 （2）若关于 x 的方程 f  x  0 ； f  x   log 2 �  a  4  x  2a  5 � � � 0 的解集中恰好有一个元素，求实数 a 的取值范围． 参考答案 1．D 【解析】函数 f  x   2x 在[1，3]上单调递增，所以 f  x  � 2,8 对称轴为直线 x  1 ，所以 g（x）在[1，3]上单调递减，所以 ．函数