2021 年秋高二（上）期末联合检测试卷 数学 数学测试卷共 4 页，满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上 粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用 0.5 毫米的黑色墨 水签字笔在答题卡上书写作答，若在试卷上作答，答案无效. 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 直线 3x  3 y  1  0 的倾斜角为（ ） A. 60° B. 30° C. 120° D. 150° 【答案】C 2. 直线 y  kx  1 A. 相交 【答案】A 与圆 x2  y 2  2 y  5  0 B. 相切 的位置关系是（ C. 相离 ） D. 相交或相切 3. 设 a 为实数，则曲线 C ： A . 抛物线 y2 1 不可能是（ ） 1 a2 x2  B. 双曲线 C. 圆 D. 椭圆 【答案】A 4. 我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几 问?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的 2 倍，5 天共织布 5 尺，请问第二天织布的尺数是（ 40 A. 31 10 C. 31 20 B. 31 ） 5 D. 31 【答案】C 5. 如图，在正方体 的余弦值为（ ABCD  A1 B1C1D1 中，点 E 是上底面 A1 B1C1 D1 的中心，则异面直线 AE 与 BD1 所成角 ） 2 2 A. 4 B. 3 C. 10 4 6 D. 3 【答案】B x2 y 2   1 a  0, b  0  6. 双曲线 C ： a 2 b 2 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，过 F1 的直线 l 与 y 轴交于点 A、与 双曲线右支交于点 B，若 A. 2 VABF2 B. 为等边三角形，则双曲线 C 的离心率为（ 3 C. 2 ） D. 6 【答案】B 7. 已知空间中四点 A  1,1,0  ， B  2, 2,1 ， C  1,1,1 ， D  0, 2,3 ，则点 D 到平面 ABC 的距离为（ ） 6 A. 6 B. 3 6 C. 6 D. 0 【答案】C � 1� 1 � an 1  an  1 n �N *  8. 已知数列  an  的首项为 a1 ，且 � ，若 an �a4 ，则 a1 的取值范围是（ ） n � � 9 25 � � 49 81 � � , A. � 2 2� � � , � B. � �8 8 � C.  6,10 25 � � ,9 � D. �4 � � 【答案】C 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分. r r r 9. 若向量  a, b, c 构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ） r r r r r r a A.  b ， a  b ， a  2b r r r r r r a B.  b ， a  c ， b  c r r r r r r a C.  b ， c ， a  b  c r r r r r r r a D.  2b ， b  c ， a  c  b 【答案】ABD 10. 已知数列  an  、  bn  都是公差不为 0 的等差数列，设 cn  an  bn ， d n  anbn ，则关于数列  cn  和  d n  ，下列说法中正确的是（ ） A. 数列  cn  一定是等差数列 B. 数列  d n  一定不 C. 给定 c1 ， c2 可求出数列  cn  的通项公式 是 等差数列 D. 给定 d1 ， d 2 可求出数列  d n  的通项公式 【答案】ABC 11. 设圆 O ： x2  y 2  1 与 y 轴的正半轴交于点 A，过点 A 作圆 О 的切线为 l ，对于切线 l 上的点 B 和圆 О 上的点 C，下列命题中正确的是（ ） A. 若 �ABO  30�，则点 B 的 坐标为 B. 若 OB  2 OBC ，则 0��У�   3,1 30 OB  2 C. 若 �OBC  30� ，则 OB �2 D. 若 �ABC  60�，则 【答案】BD xx 12. 已知曲线 C 的方程为 4  y2  1 ，点 A ( 1, 0) ，则（ ） A. 曲线 C 上的点到 A 点的最近距离为 1 B. 以 A 为圆心、1 为半径的圆与曲线 C 有三个公共点 C. 存在无数条过点 A 的直线与曲线 C 有唯一公共点 D. 存在过点 A 的直线与曲线 C 有四个公共点 【答案】BC 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 已知直线 mx  2 y  1  0 与 x   1 m y  2  0 平行，则实数 m 的值为_____________. 【答案】 2 或 1 14. 写出一个数列 其中  an  的通项公式 an  ____________，使它同时满足下列条件：① an  an1 ，② Sn �an ， S n 是数列  an  的前 n 项和.（写出满足条件的一个答案即可） �1�  � 【答案】 � � n �(答案合理即可) 15. 在空间直角坐标系 Oxyz 中，点 P  1, 2,3  在 x，y，z 轴上 的 射影分别为 A，B，C，则四面体 PABC 的体积为______________. 【答案】2 x2 y2   1 a1  b1  0  16. 已知离心率为 e 的椭圆 C ： a 2 b 2 和离心率为 e 的双曲线 C ： 1 2 2 1 1 1 x2 y 2   1 a2  0, b2  0  有公共的焦点，其中 F 为左焦点，P 是 C 与 C 在第一象限的公共点.线段 PF a22 b22 1 1 2 1 的垂直平分线经过坐标原点，则 4e12  e2 2 的最小值为_____________. 9 【答案】 2 ##4.5 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知数列  an  满足 an1  an  3 ，且 a1 ， a5 ， a8 成等比数列. （1）求数列  an  的通项公式; （2）设数列  an  的前 n 项和为 Sn ，求 Sn 的最小值及此时 n 的值. 【答案】（1） （2） 408 ； an  3n  51 n  16 18. 已知抛物线 C ： （1）求抛物线 （2）若过点 C 或 17 y 2  2 px  p  0  的焦点是圆 x  y  2 x  0 与 x 轴的一个交点. 2 2 的方程;  8, 0 的直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 A、B，О 为坐标原点，证明： OA  OB . 【答案】（1） y 2  8x （2）证明见解析  S  2S n 1  1 n  1, n �N 19. 设数列  an  的前 n 项和为 S n ，已知 a1  1 ，且 n * . （1）证明：数列 （2）若  Sn  1 为等比数列； bn  S n2  26an ，是否存在正整数 k ，使得 bn �bk * 对任意 n �N 恒成立?若存在、求 k 的值；若不 存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） k  3 20. 已知圆 C 经过点 （1）求圆 C A  2,3 和 B  0,1 ，且圆心 C 在直线 x  y  1  0 上. 的方程; （2）过原点的直线 l 与圆 C 交于 M，N 两点，若 △ CMN 的面积为 【答案】（1） 3 ，求直线 l 的方程. ( x  2) 2  ( y  1)2  4 （2）直线 l 的方程为 y  0 或 4 y x 3 或 y  (2 � 6) x 21. 如图，直角梯形 AEFB 与菱形 ABCD 所在的平面互相垂直， AE ∥ BF ， AE  AB ， AB  AE  2 ， BF  1 ， �ABC  120� ，M 为 AD 中点. （1）证明：直线 BM ∥ 面 DEF； （2）求二面角 M  EC  F 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 2 31 （2） 31 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A     6, 0 ， B  6, 0 ，过点 的动直线 l1 与过点 的动直线 l2 A B 1  l l 的交点为 P， 1 ， 2 的斜率均存在且乘积为 2 ，设动点 Р 的轨迹为曲线 C. （1）求曲线 C 的方程; （2）若点 M 在曲线 C 上，过点 M 且垂直于 OM 的 直线交 C 于另一点 N，点 M 关于原点 O 的对称点为 Q.直线 NQ 交 x 轴于点 T，求 QT � TN x2 y 2   1( x �� 6) 3 【答案】（1） 6 （2） 32  8 7 3 的最大值. 本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。 登录组卷网可对本试卷进行单题组卷、细目表分析、布置作业、举一反三等操作。 试卷地址：在组卷网浏览本卷 组卷网（http://zujuan.xkw.com）是学科网旗下智能题库，拥有小初高全学科超千万精品试题。 微信关注组卷网，了解更多组卷技能 学科网长期征集全国最新统考试卷、名校试卷、原创题，赢取丰厚稿酬，欢迎合作。 钱老师 QQ：5370