湖南师大附中 2020 届高三月考试卷（五） 数学（理科） 湖南师大附中高三理数备课组组稿 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知 i 为虚数单位，复数 z 满足： (1  i) z  1  i ，则 z 的共轭复数在复平面内对应点的坐标为（ B. (0, 1) A. (0,1) 2.设集合 A   x | y  lg(1  x ) A. (0, �) B. ， D. ( 1, 0) C. (1,0) B   y | y  2x ，则 A I B  （  1, 0  ） ） D. ( �,1) C. (0,1) 3.中国有句名言“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是 用算筹来进行计算的，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵橫两种形式， 如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需 要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推.例如 6613 用 算筹表示就是 ，则 8335 用算筹可表示为（ A. B. C. D. 4.数列  an  满足 a1  1 ，且 an1  an  n  1 n �N 9 A. 11 10 B. 11 * ）  ，则数列 �1 � � � �an 前 10 项的和为（ 20 C. 11 5.下列关于命题的说法错误的是（ 21 D. 11 ） A.命题“若 x  3 x  2  0 ，则 x  1 ”的逆否命题为“若 x �1 ，则 x  3 x  2 �0 ” 2 B.“ a  2 ”是“函数 2 f  x   log a x 在区间 (0, �) 上为增函数”的充分不必要条件 ） n n C.若命题 p ： n �N ， 2  1000 ，则 �p ： n �N ， 2 �1000 D.命题“彐 x �(�, 0) ， 2  3 ”是真命题 x x 6.如图，若在矩形 OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ A. 1 2  2 B.  2 2 C.  D. ） 1 2 2 7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提 出了一元二次方程的解法问题.直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”.设点 F 是抛物线 y  2 px 的焦点， 2 l 是该抛物线的准线，过抛物线上一点 A 作准线的垂线 AB ，垂足为 B ，射线 AF 交准线 l 于点 C ，若 RtABC 的“勾” AB  3 、“股” CB  3 3 ，则抛物线方程为（ A. y  2 x B. y  3x 2 ） C. y  4 x 2 2 D. y  6 x 2 8.在 ABC 中，点 D 是线段 BC 上任意一点， M 是线段 AD 的中点，若存在实数  和  ，使得 uuuu r uuu r uuur BM   AB   AC ，则     （ A.2 9.将函数 ） B.－2 f  x   sin x 最大值为（ 2 2 A. 4 1 C. 2 1 D. 2   y  g  x f  x g  x 的图象向右平移 4 个单位长度后得到函数 的图象，则函数 的 ） 2 2 B. 4 C.1 1 D. 2 x2 y2  2 1 2 2 b 10.已知双曲线 E ： a （ a  0 ， b  0 ）的右顶点为 A ，抛物线 C ： y  8ax 的焦点为 F .若在 uuu r uuu r E 的渐近线上存在点 P ，使得 AP  FP ，则 E 的离心率的取值范围是（ ） A. (1, 2) �3 2� 1, � � � 4 � � B. � � 3 2 � , �� � 4 � C. � D. (2, �) 11.如图，四棱锥 P  ABCD 的底面是边长为 2 的正方形， PA  平面 ABCD ，且 PA  4 ， M 是 PB 上的 一个动点，过点 M 作平面 a // 平面 PAD ，截棱锥所得图形面积为 y ，若平面  与平面 PAD 之间的距离 为 x ，则函数 y  f  x 的图象是（ A. B. 12.设非空集合 ②若 ） m S   x | m�x�l C. D. 2 S   1 满足：当 x �S 时，有 x �S .给出如下三个命题：①若 m  1 ，则 ； 2 1 1 1 �� l 1 l  �m�0 2 ，则 4 2 ，则 2 ；③若 .其中正确命题的个数是（ A.0 B.1 C.2 ） D.3 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. � �1 �2 � sin �   � cos �  2 � �6 � 3 ，则 �3 � ______. 13.若 14.安排 A ， B ， C ， D ， E ， F ，共 6 名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考 虑到义工与老人住址距离问题，义工 A 不安排照顾老人甲，义工 B 不安排照顾老人乙，则安排方法共有__ ____种. 15.已知正项等比数列 项和为  an  的公比 q  1 ，且满足 a2  6 ， a1a3  2a2 a4  a3a5  900 ，设数列  an  的前 n S n ，若不等式  an�1  S n ，对一切 n �N* 恒成立，则实数  的最大值为______. 16.已知函数 f ( x)  e x  k  1  ln x 1 x x （ k �R ）在 (0, �) 上存在唯一零点 0 ，则下列说法中正确的是_ _____.（请将所有正确的序号填在横线上） 1 1  x0  ln x   x 0 0 ；④ e 2. ① k  2 ；② k  2 ；③ 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. ur m a c  ABC C b 17.在 中，角 A ， B ， 的对边分别为 ， ， ，已知向量  (sin A,sin B  sin C ) ， r n  a  3b, b  c   ，且 mur  nr . （1）求角 C 的值； （2）若 ABC 为锐角三角形，且 c  1 ，求 3a  b 的取值范围. 18.如图，四棱锥 P  ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA  平面 ABCD ， E 为 PD 的中点. （1）证明： PB // 平面 AEC ； （2）设二面角 D  AE  C 为 60� ， AP  1 ， AD  3 ，求三棱锥 E  ACD 的体积. x2 y2 1  2 1 2 b 19.已知椭圆 C ： a （ a  b  0 ）的离心率为 2 ，右焦点为 F (c, 0) ，左顶点为 A ，右顶点 B 在 直线 l ： x  2 上. （1）求椭圆 C 的方程； （2）设点 P 是椭圆 C 上异于 A ， B 的点，直线 AP 交直线 l 于点 D ，当点 P 运动时，判断以 BD 为直径 的圆与直线 PF 的位置关系，并加以证明. 20.十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱 贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加.为了更好地制定 2019 年 关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了 2018 年 50 位农民的年收入并制成 如下频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图估计 50 位农民的年平均收入 x （单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的 中点值表示）； （2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 N   , 2  ，其中  近似为年平 均收入 x ，  近似为样本方差 s ，经计算得 s  6.92 ，利用该正态分布，求： 2 2 2 （ⅰ）在 2019 年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的 84.14% 的农民的年收入高于扶贫办制 定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？ （ⅱ）为了调硏“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了 1000 位农民.若每个农民的 年收入相互独立，问：这 1000 位农民中的年收入不少于 12.14 千元的人数最有可能是多少？ X ~ N   , 2  6.92 � 2.63 附：参考数据与公式 ，若 ，则 ① P(     X �   )  0.6827 ； ② P(   2  X �  2 )  0.9545 ； ③ P (   3  X �  3 )  0.9973 . 21.已知函数 f ( x)  1  x  a ln x x . （1）讨论 f ( x ) 的单调性； f  x1   f  x2   a2 x x x1  x2 （2）若 f ( x) 存在两个极值点 1 ， 2 ，证明： . （二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 � �x  1  5 cos  , � y  5 sin  C xOy 1 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 � （  为参数），以坐标原点 O 为极点， x    (  �R ) C 4 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 2 的极坐标方程为 . （1）求 C1 的极坐标方程； （2）若直线 C2 与曲线 C1 相交于 M ， N 两点，求 MN . 23.选修 4-5：不等式选讲 设函数 f ( x)  x  m  x  n ，其中 m  0 ， n  0 . （1）当 m  1 ， n 