2022 高考数学拔尖计划之选填（二） 一.单选题 1．等差数列  an  的前 n 项和为 Sn ， a5  11 ， S12  186 ，则 a8  （　　）． A． 18 B． 20 C． 21 D． 22 2．已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数，且在 (0, �) 上是增函数，设 a  f ( 3) ， � 1� �4 � b� log 3 �， c  f � �，则 、 、 的大小关系是（ � 2� �3 � a b c A． a  c  b 3．已知双曲线 B． b  a  c ）． C． b  c  a D． c  b  a x2 y 2   1 的一个焦点在圆 2 x  y 2  4 x  5  0 上，则双曲线的渐近线方程为 9 m （　　）． 3 A． y  � x 4 4 B． y  � x 3 2 2 x C． y  � 3 3 2 x D． y  � 4 4．下列四个条件中， p 是 q 的充要条件的是（　　）． 2 2 A． p : a  b ， q : a  b 2 2 B． p : ax  by  c 为双曲线， q : ab  0 C． p : ax 2  bx  c  0 ， q : c b  a 0 x2 x 2 D． p : m  2 或 m  6 ； q : y  x  mx  m  3 有两个不同的零点 5．函数 f ( x)  log a x  x  2 （ a  0 ，且 a �1 ）有且仅有两个零点的充要条件是（　　）． A． 0  a  1 B． a  1 C． 1  a  2 D． a  2 x2 y2 6．已知离心率为 的双曲线 2  2  1(a  0, b  0) 的两条渐近线与抛物线 y 2  2 px ( p  0) a b 2 的准线分别交于 A ， B 两点， O 是坐标原点．若 △ AOB 的面积为 3 ，则抛物线的方程为 （　　）． 2 A． y  2 x 2 B． y  3x 2 C． y  4 x 2 D． y  6 x �1 � 7．已知 f ( x ) 为 上的减函数，则满足 f �x  1 � f (1) 的实数 的取值范围是（　　）． � � x R A． (�, 2) B． (2, �) C． (�,1) U (1, 2) D． (�,1) U (2, �) �  x 2  4 x  3, x ≤ 1 f ( x )  � 8．已知函数 ，若 ，则 的取值范围是（　　）． ln x, x  1 | f ( x) |  a ≥ ax a � A． [2, 0] B． [ 2,1] C． (�, 2] D． (�, 0] 二.多选题 1．已知向量 r a  ( 2,1) ， r b  (cos  ,sin  )(0� � ) ，则下列命题正确的是（ ） r r a A．若  b ，则 tan   2 1 2 r r r r  B．若 b 在 a 上的投影为 2 ，则向量 a 与 b 的夹角为 3 r r r r | a  b || a |  | b | C．存在  ，使得 r r D． a gb 的最大值为 3 2．下列说法中错误的为（ ） r r r a  (1, 2) b  (1,1) ，且 ar 与 ar   b 的夹角为锐角，则实数  的取值范围是 A．已知 ， �5 � � , �� �3 � uu r �1 3 � ur e  , � B．向量 e  (2, 3) ， 2 � �2 4 �不能作为平面内所有向量的一组基底 1 r r r r C．若 a //b ，则 a 在 b 方向上的投影为 r |a| r r r r r r r | a || b || a  b | ，则 ar 与 ar  b 的夹角为 60° a b D．非零向量 和 满足 1 0  a  1 a 3．设数列  n  满足 2 ， an 1  an  ln  2  an  对任意的 n �N * 恒成立，则下列 说法正确的是（ 1 A． 2 C． ）  a2  1 1  a2020  4．设  an  的有（ B．  an  是递增数列 3 2 是无穷数列， 3  a2020  1 D． 4 An  an  an 1 ，  n  1, 2,L  ，则下面给出的四个判断中，正确 ） A．若  an  是等差数列，则 B．若  An  是等差数列，则 C．若  an  是等比数列，则 D．若  An  f ( x)  an  是等差数列  An  是等比数列 是等差数列，则 5．已知函数 A．  An  是等差数列  a2n  都是等差数列 f  x   (sin x  cos | x )sin | x  cos x ，下列说法正确的是（ 是周期函数 k x1  x2  f x  f x  2     1 2 B．若 ，则 2 (k �Z) �  �  , � C． f ( x) 在区间 � � 2 2 �上是增函数 D．函数 g ( x )  f ( x)  1 在区间 [0, 2 ] 上有且仅有 1 个零点 ） f  x  6．已知函数 π 3 对称 x A．关于直线 3 1 sin2 x  cos2 x 则下列判断正确的是（ ） 2 2 B．关于直线 �π � ,0� C．关于点 � 对称 12 � � π 6 对称 �π � ,0� D．关于点 � 对称 �3 � 7．如果对定义在 R 上的奇函数 y  f  x x1 f  x1   x2 f  x2   x1 f  x2   x2 f  x1  H 函数的是（ x ，对任意两个不相等的实数 ，则称函数 y  f  x x1 、 x2 ，都有 为“ H 函数”，下列函数为 ） A． f  x   ln x B． f  x   ex C． f  x   x3  3x D． f  x  x x 8．（2020·福建厦门一中月考）若存在实常数 k 和 b，使得函数 定义域上的任意实数 x 都满足： F  x  �kx  b 和 G  x  �kx  b F  x 和 G  x 对其公共 恒成立，则称此直线 1 g  x    x  0 2 F x G x     f x  x x � R  ， y  kx  b 为 和 的“隔离直线”，已知函数   ， x h  x   2e ln x （e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ A． m  x   f  x   g  x  在 B． f  x 和 g  x � 1 � x ��  3 ,0 � � 2 �内单调递增 之间存在“隔离直线，且 b 的最小值为 4 ）  4,1 C． f  x 和 g  x 间存在“隔离直线”，且 k 的取值范围是 D． f  x 和 h  x 之间存在唯一的“隔离直线” y  2 e x  e 三.填空题 �7π � f � � 1．已知函数 f ( x)  2sin( x   ) 的图象如图所示，则 �12 � __________． a11 +a13 1  a3 2．已知各项均为正数的等比数列 {an } 中， 3a1 ， 2 ， 2a2 成等差数列，则 a8 +a10 _____ _____． 3．函数 f ( x)  1  2x 在 处切线的倾斜角是__________． x 1 2 2 � �x  x, x  0 f ( x )  � 2 4．设函数 ，若 ，则实数 的取值范围是__________． f ( f (a )) ≤ 2 � x , x ≥ 0 a 　 5．若 △ ABC 的内角满足 sin A  sin B  2sin C ，则 cosC 的最小值是__________． 6．已知函数 f ( x) | x  2 | 1 ， g ( x)  kx ，若方程 f ( x )  g ( x ) 有且只有一个正实根，则实 数 k 的取值范围是__________． 　 uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 7．设点 P 为等边 △ ABC 所在平面内的一点，满足 CP  CB  2CA ，若 AB  2 ，则 PA � PB 的值是__________． 　 8．已知 ab 1 � � ，关于 的不等式 ax 2  2 x  b＞0(a �0) 的解集是 �x | x � a , x �R �，且 � U R x ，则 t  a2  b2 ，实数 的取值集合为 ．集合 B  {m || x  1 |  | x  3 |≤ m 2  3m, x �R t ab A U B )  __________． 恒成立}，则 A I (� 2022 高考数学拔尖计划之小题（二）参考答案 一.单选题 1．等差数列  an  的前 n 项和为 Sn ， a5  11 ， S12  186 ，则 a8  （　　）． A． 18 B． 20 C． 21 D． 22 12 【分析】由数列的性质得 a  a  a  a ，又因为 S12  �(a1  a12 )  186 ，所以 2 1 12 5 8 a1  a12  a5  a8  31 所以 a8  20 ， 【解答】解：由数列的性质得 a1  a12  a5  a8 ， 又因为 S12  12 �(a1  a12 )  186 ， 2 所以 a1  a12  a5  a8  31 ， 因为 a5  11 所以 a8  20 ， 故选 B ． 【点评】本题主要考查数列的性质即若 m  n  l  k 则 am 