5.3.2　第 1 课时　函数的极值 【自主预习】 导思 1．什么是函数的极小(大)值点？ 2．什么是函数的极小(大)值？如何求函数的极值？ 1.极小值点与极小值 (1)函数特征：函数 y＝f(x)在点 x＝a 处的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数值 ， 且 f′(a)＝0. (2)导数符号：在点 x＝a 附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0. (3)结论： 叫做函数 y＝f(x)的极小值点， 叫做函数 y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 (1)函数特征：函数 y＝f(x)在点 x＝b 处的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近其他点的函数值都大， 且 f′(b)＝0. (2)导数符号：在点 x＝b 附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0. (3)结论： 叫做函数 y＝f(x)的极大值点， [思考] (1)函数的极小值点是点吗？ (2)函数的极小值唯一吗？ (3)函数的极大值一定大于它的极小值吗？ 叫做函数 y＝f(x)的极大值． 3．极值点、极值的定义 (1)极小值点、极大值点统称为极值点． (2)极小值、极大值统称为极值． [思考] (1)导数值为 0 的点一定是函数的极值点吗？ (2)极值刻画的是函数的整体性质还是局部性质？ 【基础小测】 1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”). (1)一个函数在一个区间的端点不能取得极值．(　　) (2)一个函数在给定的区间上一定有极值．(　　) (3)函数极大值一定比极小值大．(　　) 2．函数 f(x)的定义域为 R，导函数 f′(x)的图象如图所示，则函数 f(x)(　　) A.无极大值点，有四个极小值点 B.有三个极大值点，两个极小值点 C.有两个极大值点，两个极小值点 D.有四个极大值点，无极小值点 3．函数 f(x)＝x＋2cos x 在上的极大值点为(　　) A.0 B． C． D． 【合作学习】 类型一　求函数的极值(点)(数学抽象、数学运算) 【典例】1．函数 y＝2－x2－x3 的极值情况是(　　) A.有极大值，没有极小值 B.有极小值，没有极大值 C.既无极大值也无极小值 D.既有极大值又有极小值 2．(多选)定义在 R 上的可导函数 y＝f(x)的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是( ) A.－3 是 f(x)的一个极小值点 B.－2 和－1 都是 f(x)的极大值点 C.f(x)的单调递增区间是(－3，＋∞) D.f(x)的单调递减区间是(－∞，－3) 3．(多选)下列四个函数中，在 x＝0 处取得极值的函数是(　　) A.y＝x3 B．y＝x2＋1 C.y＝|x| D．y＝2x [解题策略] 函数极值和极值点的求解步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求方程 f′(x)＝0 的根． (3)用方程 f′(x)＝0 的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格． (4)由 f′(x)在方程 f′(x)＝0 的根左右的符号，来判断 f(x)在这个根处取极值的情况． 提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然． 【跟踪训练】 1.当 x＝1 时，三次函数有极大值 4，当 x＝3 时有极小值 0，且函数过原点，则此函数是( ) A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x 2．函数 f(x)＝x3－3x2＋1 的极小值点为________． 类型二　求含参数的函数的极值(数学抽象、数学运算) 【典例】设函数 f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0). (1)若曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线 y＝8 相切，求 a，b 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间与极值点． [解题策略] 已知函数的极值情况求参数时的注意问题 (1)待定系数法：根据极值点处导数为 0 和极值两条件列出方程组，用待定系数法求解． (2)验证：因为导数值为 0 不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证． 【跟踪训练】 1．若函数 f(x)＝x－a ln x(a∈R)，求函数 f(x)的极值． 2．已知函数 f(x)＝x3－(a＋2)x2＋2ax＋(a∈R). (1)若函数 f(x)在 x＝2 处取得极小值 1，求实数 a 的值； (2)讨论函数 f(x)的单调性． 类型三　函数极值的综合应用(数学运算、逻辑推理) 角度 1　已知极值点求参数值　 【 典例 】若 函数 f(x)＝ x3 ＋ ax2 ＋bx ＋a2 在 x＝ 1 处取 得极 值 10 ， 则 a ＝________ ，b ＝ ________． 【变式探究】 本例条件不变，试求 f(x)的极大值． 角度 2　与参数相关的极值问题　 【典例】已知函数 f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1 既有极大值又有极小值，则实数 a 的取值范 围是________． [解题策略] 1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数． 2．根据导数的几何意义，可直接得到曲线上某一点处的切线的斜率．当问题中涉及相切但 未出现切点坐标时要设出切点坐标，然后根据已知条件求出切点坐标． 【跟踪训练】 1．设 a∈R，若函数 y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则 a 的取值范围为________． 2．已知函数 f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m 为常数)在区间(1，＋∞)内有两个极值点， 求实数 m 的取值范围． 【课堂达标】 1．函数 f(x)＝－的极值点为(　　) A．0 B．－1 C．0 或 1 D．1 2．如图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，则下列说法正确的是(　　) A．x＝a 是函数 y＝f(x)的极小值点 B．当 x＝－a 或 x＝b 时，函数 f(x)的值为 0 C．函数 y＝f(x)关于点(0，c)对称 D．函数 y＝f(x)在(b，＋∞)上单调递增 3．设函数 f(x)＝xex，则(　　) A．x＝1 为 f(x)的极大值点 B．x＝1 为 f(x)的极小值点 C．x＝－1 为 f(x)的极大值点 D．x＝－1 为 f(x)的极小值点 4．已知函数 f(x)＝(x2－mx－m)ex＋2m(m∈R，e 是自然对数的底数)在 x＝0 处取得极小值， 则 m＝________，这时 f(x)的极大值是________． 5．求函数 f(x)＝的极大值． 【参考答案】 【自主预习】 1.极小值点与极小值 (1)都小 (3)点 a f(a) 2．极大值点与极大值 (3)点 b f(b) [思考] (1)提示：函数的极小值点不是点，它是函数极小值对应的自变量的值． (2)提示：不一定，有的函数无极小值，有的函数有唯一一个极小值，有的函数有多个极小 值． (3)提示：不一定． 3．极值点、极值的定义 [思考] (1)提示：不一定．例如对于函数 f(x)＝x3，虽有 f′(0)＝0，但 x＝0 并不是 f(x)＝x3 的极值点， 要使导数为 0 的点成为极值点，还必须满足其他条件． (2)提示：极值反映了函数在某一点附近的函数值的大小情况，刻画的是函数的局部性质． 【基础小测】 1．提示：(1)√ 函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，因为不符合极值点的定义． (2)× 在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点． (3)× 极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小． 2．【解析】由导数与函数极值的关系知，当 f′(x0)＝0 时，在 x0 的左侧 f′(x)>0，右侧 f′ (x)<0，则 f(x)在 x＝x0 处取得极大值；若在 x0 的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0，则 f(x)在 x＝x0 处 取得极小值，设 y＝f′(x)图象与 x 轴的交点从左到右横坐标依次为 x1，x2，x3，x4，则 f(x)在 x ＝x1，x＝x3 处取得极大值，在 x＝x2，x＝x4 处取得极小值． 【答案】C 3．【解析】f′(x)＝1－2sin x．令 f′(x)＝0，因为 x∈，所以 x＝， 当 x∈时 f′(x)＜0，当 x∈时，f′(x)＞0. 所以 x＝是 f(x)在上的极大值点． 【答案】B 【合作学习】 类型一　求函数的极值(点)(数学抽象、数学运算) 【典例】 1．【解析】y′＝－2x－3x2，令 y′＝0，得 x1＝－，x2＝0. 当 x<－时，y′<0；当－<x<0 时，y′>0；当 x>0 时，y′<0. 故当 x＝－时，函数 y 有极小值；当 x＝0 时，函数 y 有极大值． 【答案】D 2．【解析】当 x＜－3 时，f′(x)＜0，x∈(－3，＋∞)时，f′(x)≥0，所以－3 是极小值点，无 极大值点，单调递增区间是(－3，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－3). 【答案】ACD 3．【解析】对于 A，y′＝3x2≥0，所以 y＝x3 单调递增，无极值； 对于 B，y′＝2x，x＞0 时 y′＞0，x＜0 时 y′＜0，所以 x＝0 为极值点； 对于 C，根据图象，在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以 C 符合； 对于 D，y＝2x 单调递增，无极值． 【答案】BC 【跟踪训练】 1.【解析】因为三次函数过原点，故可设为 y＝x3＋bx2＋cx， 所以 y′＝3x2＋2bx＋c，又 x＝1，3 是 y′＝0 的两个根， 所以即所以 y＝x3－6x2＋9x， 又 y′＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，且当 x＝1 时，y 极大值＝4， 当 x＝3 时，y 极小值＝0，满足条件． 【答案】B 2．【解析】由 f′(x)＝3x2－6x＝0，解得 x＝0 或 x＝2.列表： x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以当 x＝2 时，f(x)取得极小值． 【答案】2 类型二　求含参数的函数的极值(数学抽象、数学运算) 【典例】 【解】 【跟踪训练】 1．【解】函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－＝. (1)当 a≤0 时，f′(x)＞0，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数 f(x)无极值． (2)当 a＞0 时，令 f′(x)＝0，解得 x＝a. 当 0＜x＜a 时，f′(x)＜0；当 x＞a 时，f′(x)＞0. 所以 f(x)在 x＝a 处取得极小值，且 f(a)＝a－a ln a，无极大值． 综上可知，当 a≤0 时，函数 f(x)无极值； 当 a＞0 时，函