2021-2022-1 石嘴山市三中高三年级第二次月考试卷 理科数学 第 I 卷（选择题） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数 z 满足  2  i  z  5i ，则 z  （  B.  3, 4, 6 C.  2,3 A.  2,3, 4 3．已知随机变量 n 服从正态分布 ，若  n �N   的展开式中所有项的二项式系数和为 128，则该二项式展开 5 最小值为（ ） 7 8 9 A. B. C. D. 7 4 5 4 7. 已知数列  an  是公比为 q 的等比数列，若 2a1  a3a4 ，且 a5 是 a4 与 6 的等差中项，则 q A. 1 ） B. 1 | x| 8. 函数 f ( x )  e sin x 的部分图象大致为（ D. D.  2 式中含有 x 项的系数为（ ） A. 1344 B. 672 C. 336 D. 168 1 1 1 3 1 2 6. 已知函数 f  x   ax  x  bx ( )的一个极值点为 2，则  的 且a � ， a0 a b 3 2 b0 的值是（ C. ） ，则 为（ ） A．0．7 B．0．5 C．0．4 D．0．35 4．如图是一边长为 8 的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形 的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径 是黑色小圆半径的 2 倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点 取自黑色区域的概率为（ ） π π π π A． 8 B． 16 C． 1− 8 D． 1−16 5. 若二项式  1  2 x  B. ） A . 2  i B. 2  i C. 1  2i D. 1  2i x 2. 已知集合 A  x | 2 �8 ， B  {2,3, 4, 6} ，则 A I B  （  A. C. 2 ） D. 1 或 1 3 9．凸 n 边形有 f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的角数 f(n＋1)为( ) A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2 �x  3 y  6 �0 10．以原点为圆心的圆全部都在平面区域 �x  y  2 �0 内，则圆的面积的最大值为（ � ） 18π A． 5 9π B． 5 C． 2π D． π   f ( x)  sin( x  ) 在 ( ,  ) 上单调递减，则 的取值范围是（ ） 11. 已知 ，函数 0  4 2 1 5 1 3 1 A. [ , ] B. [ , ] C. (0, ] D. (0, 2] 2 4 2 4 2 �x, x  0 , g ( x )   x 2  2 x （其中 是自然对数的底数），若关于 12. 已知函数 f  x   �2 x e , x �0 x � e 的方程 g ( f ( x))  m  0 恰有三个不等实根 x1 , x2 , x3 ，且 x1  x2  x3 ，则 x2  2 x1  2 x3 的最 小值为（ A. ） B. ln 3  3 3  ln 2 2 C. ln 2  3 D. 1 第 II 卷（选择题） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. r r r r r 13. 已知 a   3, m  ， b   4, 1 ，若 a // a  2b ，则实数 m 的 值为______.   cos 2 2  � 2 ，则 14 若 sin � =_____．  � � . � 4� sin 2 15. 4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少 安排 1 名同学，则不同的安排方法共有__________种. 16. 在 VABC 中，角 A ､ B ､ C 的对边分别为 a ､ b ､ c ，点 P 是 VABC 的重心，且 AP  2 7 ______. ，若 ， ，则 b  2 cos 2 A  4  3 sin  B  C   2 3  1 a 3   三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题 为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17. （12 分）已知向量 （1）求函数 a   sin x,cos x  f  x  a � b ， b  3 cos x, cosx  ， f  x   a �b ． 的最小正周期； f  A  1 （2）在 △ ABC 中， BC  7 ， sin B  3sin C ，若 ，求 △ ABC 的周长． 18. （12 分） 正项数列  an  的 前 n 和为 Sn ， a1  1 ，且 S n 1  Sn  1 . （1）求数列  an  的通项公式；   an （2）求数列 an  2 的 前 n 和 Tn . 根据往年录取数据划出预录分数线，分数区间与可能被录取院校层次如表． （1）求 n 的值及频率分布直方图中的 x, y 值； （2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生 中任取 2 人，求此 2 人都不能录取为专科的概率； （3）在选取的样本中，从可能录取为自招和专科两个层次的学生中随机抽取 3 名学生 进行调研，用  表示所抽取的 3 名学生中为自招的人数，求随机变量  的分布列和数学 期望． 20（12 分）.某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以 C 为圆心，半径为 1 千米的圆 周.已有两条互相垂直的道路 OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点 A，B.现 � ，线段 QN 三段组成），其中点 M，N 分别在 规划修建一条新路（由线段 MP， PQ OE，OF 上，且使得 MP，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点  � 所对的圆心角为 .记∠PCA＝ （道路宽度均忽略不计）. P，Q， PQ 2 6 （1）若   5 ，求 QN 的长度； 12 （2）求新路总长度的最小值. 19．（12 分）某普通高中为了解本校高三年级学生数学学习情况，对一模考试数学成 绩进行分析，从中抽取了 n 名学生的成绩作为样本进行统计（该校全体学生的成绩均在  60,150 ） ， 按 下 列 分 组  60, 70  ，  70,80  ，  80,90  ，  90,100  ，  100,110  ，  110,120  ，  120,130  ，  130,140  ，  140,150 作出频率分布直方图，如图1 ： 样本中分数在  70,90  内的所有数据的茎叶图如图 2 ： 23. [选修 4-5: 不等式选讲](10 分) 设不等式 2  x  1  x  2  0 的解集为 M， a, b �M ln x 21. （12 分） 已知函数 f ( x )  ． x 2021 （1）判断 f ( x) 的单调性，并比较 2020 与 20212020 的大小； a 1 e 2 （2）若函数 g ( x)  ( x  2)  x(2 f ( x)  1) ，其中 �a � ，判断 g ( x) 的零点的个数， 2 2 2 并说明理由．(参考数据： ln 2 �0.693 ) (二)选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做．则按 所做的第一题记分. 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 数学中有许多寓意美好的曲线，在极坐标系中，曲线 C :   sin 3 (  �R ) 被称为“三叶玫瑰 线”（如图所示）． （1）当  �[0,  ) ，求以极点为圆心， 2 为半径的圆与三叶玫瑰线交点的极坐标； 2  � �   � 2 ， （2）设点 P 是由（1）中的交点所确定的圆 M 上的动点，直线 l :  cos � � 4� 求点 P 到直线 l 的距离的最大值． 1 1 1 （1）证明： 3 a  6 b  4 ； （2）比较 1  4ab 与 2 a  b 的大小，并说明理由. . 石嘴山市第三中学 2022 届高三第二次月考数学(理科)（参考答案） 1 C 题号 答案 2 C 3 C 4 C 3 3 13. 14.  15. 36 4 4 17. 【解析】（1） 16. 5 B 6 B 7 D 8 A 9 C 10 C 11 A 12 A f  x   3sinxcosx  cos 2 x  又由图 知，频率为 1 3 1 1 sin2 x  cos2 x  2 2 2， x   2 2 2 设角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，则 a  b  c  2bccosA ， 50 人中，成绩能被专科院校录取的频率是 从该校高三年级学生中任取 人能被专科院校录取的概率为 1 3 ， 25 2 �3 � 616 则此 人都不能录取为专科的概率 P  A   1  � � ． �25 � 625 2 又 sinB  3sinC ，所以 b  3c ，故 7  9c  c  3c ，解得 c  1 ． 2 2 2 所以 b  3 ， △ ABC 的周长为 4  7 ． S1  a1  1 ， 数列  Sn  是以 1 为公差的等差数列， （3）选取的样本中能被专科院校录取的人数为 6 人， 10  12 人， 成绩能过自招线人数为： 50 � 0.012  0.004  0.008  �  Sn  1   n  1 �1 ， Sn  n 2 ，当 n �2 时， an  S n  S n 1  n 2   n  1  2n  1 ， 又随机变量  的所有可能取值为 0,1, 2,3 ， 经检验 n  1 时符合上式， an  2n  1  数列  an  的通项公式 an  2n  1 . ∴