八　正弦函数的性质与图像 一、选择题 1．函数 y＝－sin x 在[0，2π]上的图象是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．函数 y＝－sin |x|的图象是(　　) 3．设 a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则(　　) A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．c>a>b 4．下列函数是奇函数的是(　　) A．y＝sin B．y＝x sin C．y＝－sin D．y＝sin (－) 5．方程 sin 2x－2sin x－a＝0 在 x∈R 上有解，则 a 的取值范围是(　　) A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞) C．[－1，3] D．[－1，3) 6．设 f(x)是定义域为 R 且最小正周期为 2π 的函数，且有 f(x)＝则 f＝(　　) A． B．－ C．0 D．1 7．(2021·尤溪高一检测)已知函数 f(x)＝sin x＋|sin x|，则下列结论正确的是( ) A．f(x＋π)＝f(x) B．f(x)的值域为[0，1] C．f(x)在上单调递减 D．f(x)的图象关于点(π，0)对称 8．已知 f(x)＝为奇函数，则 g(x)在下列哪个区间上单调递增(　　) A． B． C． D． 9．已知函数 y＝2sin x 的定义域为[a，b]，值域为[－2，1]，则 b－a 的值可能是 (　　) A． B． C．π D． 10．已知函数 f(x)＝|tan x|·cos x，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为 π B．f(x)的图象关于中心对称 C．f(x)在区间上单调递增 D．f(x)的值域为[－1，1] 二、填空题 11．不等式－sin x－cos 2x－m≤0 对任意的 x∈R 恒成立，则实数 m 的最小值为__ ______． 12．用“五点法”作出函数 y＝－1－sin x，x∈[0，2π]的图象，并说明它的图象由 y＝sin x，x∈[0，2π]的图象经过怎样的变换得到． 13．(2021·济南高一检测)函数 y＝的最大值是________，最小值是________． 14.函数 y＝2－4sin x－4cos 2x 的最大值是________，函数取最大值时对应的 x 的值是________. 15．若函数 y＝sin x－(x∈)有两个零点，则实数 m 的取值范围为________，两个 零点之和为________． 16．函数 y＝的单调递增区间为________． 三、解答题 17．已知函数 f(x)＝. (1)化简 f(x)并求 f 的值； (2)设函数 g(x)＝1－2f(x)且 x∈，求函数 g(x)的单调区间和值域． 18．定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若 f(x)的最小正周期是 π，且当 x∈时，f(x)＝sin x. (1)当 x∈[－π，0]时，求 f(x)的解析式． (2)画出函数 f(x)在[－π，π]上的函数简图． (3)当 f(x)≥时，求 x 的取值范围． 19．已知函数 f(x)＝sin x－2|sin x|，x∈[0，2π]， (1)作出函数 f(x)的图象，并写出 f(x)的单调区间； (2)讨论 g(x)＝sin x－2|sin x|－k，x∈[0，2π]的零点个数，并求此时 k 的取值范围． 参考答案 一、选择题 1．函数 y＝－sin x 在[0，2π]上的图象是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【解析】选 D.根据五点法找出五个特殊点，分别为(0，0)，，(π，0)，， (2π，0)，然后描点并用光滑的曲线连接． 2．函数 y＝－sin |x|的图象是(　　) 【解析】选 D.因为函数 y＝－sin |x|是定义域 R 上的偶函数，图象关于 y 轴对称 所以排除 A； 因为函数 y＝－sin |x|的值有正有负， 所以排除 C；当 x≥0 时，y＝－sin x，所以排除 B. 3．设 a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则(　　) A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．c>a>b 【解析】选 B.因为 a＝sin 33°，b＝cos 55°＝sin 35°，所以 a<b，又 tan 35°＝>sin 35°， 所以 c>b>a. 4．下列函数是奇函数的是(　　) A．y＝sin B．y＝x sin C．y＝－sin D．y＝sin (－) 【解析】选 B.对于 A 选项，函数的定义域为 R， 设 f(x)＝sin |x|，f(－x)＝sin |x|＝f(x)，故函数为偶函数，不符合题意．对于 B 选 项，函数的定义域为 R，设 f(x)＝x sin |x|，f(－x)＝－x sin |x|＝－f(x)，故函数为 奇函数，符合题意．对于 C 选项，函数的定义域为 R，设 f(x)＝－sin |x|， f(－x)＝－sin |x|＝f(x)，故函数为偶函数，不符合题意．对于 D 选项，函数的定 义域为 R， 设 f(x)＝sin (－|x|)，f(－x)＝sin (－|x|)＝f(x)，故函数为偶函数，不符合题意． 5．方程 sin 2x－2sin x－a＝0 在 x∈R 上有解，则 a 的取值范围是(　　) A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞) C．[－1，3] D．[－1，3) 2 【解析】选 C.由于 sin x－2sin x－a＝0， 即 a＝sin 2x－2sin x＝(sin x－1)2－1， 令 t＝sin x，t∈[－1，1]， 所以 y＝(t－1)2－1∈[－1，3]，故 a∈[－1，3]. 6．设 f(x)是定义域为 R 且最小正周期为 2π 的函数，且有 f(x)＝则 f＝(　　) A． B．－ C．0 D．1 【解析】选 A.因为 f(x)是定义域为 R 且最小正周期为 2π 的函数，所以 f ＝f＝f.又因为 0≤≤π， 所以 f＝f＝sin ＝. 7．(2021·尤溪高一检测)已知函数 f(x)＝sin x＋|sin x|，则下列结论正确的是( ) A．f(x＋π)＝f(x) B．f(x)的值域为[0，1] C．f(x)在上单调递减 D．f(x)的图象关于点(π，0)对称 【解析】选 C.f(x)＝sin x＋|sin x|＝ 故函数的周期为 2π，即 f(x＋2π)＝f(x)，故排除 A， 显然函数 f(x)的值域为[0，2]，故排除 B， 在上，函数 f(x)＝2sin x 为单调递减，故 C 正确， 根据函数 f(x)的图像特征，可知图像不关于点(π，0)对称，故排除 D. 8．已知 f(x)＝为奇函数，则 g(x)在下列哪个区间上单调递增(　　) A． B． C． D． 【解析】选 C.因为 f(x)是奇函数，且 x≤0 时， f(x)＝|sin x|， 当 x>0 时，－x<0，所以 f(－x)＝|sin (－x)| ＝|sin x|＝－f(x)， 即 f(x)＝－|sin x|， 所以 g(x)＝－|sin x|(x>0)，画出函数图象如下： 观察图形可知，g(x)在单调递增． 9．已知函数 y＝2sin x 的定义域为[a，b]，值域为[－2，1]，则 b－a 的值可能是 (　　) A． B． C．π D． 【解析】选 BCD.因为 y＝2sin x 的定义域为 [a，b]，值域为[－2，1]，所以 x∈[a，b]时，－1≤sin x≤，故 sin x 能取得最小值－1，最大值只能取到. 在内考虑：当 a＝－，b＝或 a＝－π，b＝－时，b－a 最小，为；a＝－π，b＝时， b－a 最大，为，即≤b－a≤， 故 b－a 的值可能为，π，. 10．已知函数 f(x)＝|tan x|·cos x，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为 π B．f(x)的图象关于中心对称 C．f(x)在区间上单调递增 D．f(x)的值域为[－1，1] 【解析】选 BC.因为函数 f(x)＝|tan x|·cos x＝ 画出函数 f(x)的图象，如图所示： 所以 f(x＋2π)＝|tan (x＋2π)|·cos (x＋2π)＝ |tan x|·cos x，f(x)的最小正周期是 2π，根据 f(x)的图象，f(x)的图象关于中心对称， f(x)在区间上单调递增，f(x)的值域为(－1，1). 二、填空题 11．不等式－sin x－cos 2x－m≤0 对任意的 x∈R 恒成立，则实数 m 的最小值为__ ______． 【解析】由－sin x－cos 2x－m≤0 得 m≥－sin x－cos 2x＝sin 2x－sin x－， 由题意可知，不等式 m≥sin 2x－sin x－对任意的 x∈R 恒成立，则 m≥max. 另一方面 y＝sin 2x－sin x－＝2－，且－1≤sin x≤1. 所以函数 y＝sin 2x－sin x－在 sin x＝－1 时取得最大值，即 ymax ＝2－＝，所以 m≥. 因此，实数 m 的最小值为. 答案： 12．用“五点法”作出函数 y＝－1－sin x，x∈[0，2π]的图象，并说明它的图象由 y＝sin x，x∈[0，2π]的图象经过怎样的变换得到． 【解析】列表． x 0 π 2π sin x 0 1 0 0 －1 0 －1－sin x －1 －2 －1 －1 描点作图． 要作出 y＝－1－sin x，x∈[0，2π]的图象，先由正弦函数 y＝sin x，x∈[0，2π]作 关于 x 轴的对称图象，再向下平移 1 个单位得到． 13．(2021·济南高一检测)函数 y＝的最大值是________，最小值是________． 【解析】因为 y＝＝1－， 因为－1≤sin x≤1⇒1≤sin x＋2≤3⇒－2≤－≤－， 所以－1≤1－≤，所以函数 y＝的最大值是；最小值是－1. 答案：　－1 14.函数 y＝2－4sin x－4cos 2x 的最大值是________，函数取最大值时对应的 x 的值是________. 【解析】y＝2－4sin x－4cos2x＝2－4sinx－ 4＝42－3， 当 sin x＝－1，即 x＝－＋2kπ，k∈Z 时， 函数取得最大值， 最大值为 4×(－1)2－4×(－1)－2＝6. 答案：6　2kπ－，k∈Z 15．若函数 y＝sin x－(x∈)有两个零点，则实数 m 的取值范围为________，两个 零点之和为________． 【解析】由 sin x－＝0 得 sin x＝.在同一平面直角坐标系中作出函数 y＝sin x 的 图象与直线 y＝，如图所示． 由图知，当≤＜1，即≤m＜2 时，两图象有两个交点，即原函数有两个零点， 此时 m∈. 设两个零点分别为