4.1 数列的概念 知识点 1 数列及其有关概念 (1)按照 排列的 称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 序号有关，排在第一位的数称为这个数列的 ……排在第 n 位的数称为这个数列的 ． (2) 数列的一般形式可以写成 ，简记为 (通常也叫做 ．数列中的每一项都和它的 )，排在第二位的数称为这个数列的 ． 知识点 2 通项公式 如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的 ． 知识点 3 数列的分类 (1)按项数分类，项数有限的数列叫做 数列，项数无限的数列叫做 数列． (2)按项的大小变化分类， 从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做 ； 从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做 ； 各项相等的数列叫做 ； 从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做 ． 知识点 4 递推公式 如果数列{an}的第 1 项或前几项已知，并且数列{an}的任一项 an 与它的前一项 an－1(或前几项)间的关系可 以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是数列的一种表示方法． 知识点 5 数列的表示法 数列的表示方法有通项 知识点 6 数列的单调性 、 、 、 ． 判断一个数列的单调性，可以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行，通常转化为判断一个数列 {an}的任意相邻两项之间的大小关系来确定． (1)若 an＋1－an 0 恒成立，则数列{an}是递增数列； (2)若 an＋1－an 0 恒成立，则数列{an}是递减数列； (3)若 an＋1－an 0 恒成立，则数列{an}是常数列． 典例讲解 考向一 根据通项求某项 【例 1】已知数列 an  1 A． 10 n n  8 ，则数列  an  的第 4 项为（ ） 2 1 B． 6 1 C． 4 【变式 1】若数列  an  的通项公式为 A．27 B．21 【变式 2】已知数列，1， A．第 22 项 1 D． 3 3n  2, n �10 � an  �n  2 n �N * ，则 a  （ 3 , n �9 � 5  C．15  D．13 3 ， 5 ， 7 ，…， 2n  1 ，…，则 3 5 是它的（ B．第 23 项 C．第 24 项 D．第 28 项 . 【变式 3】已知数列 A．9  an  的通项公式为 an  4n  3 ，则 a5 的值是（ ） B．13 C．17 D．21 考向二 根据项写通项公式 【例 2】数列 1, 3,5, 7,9,L ） 的一个通项公式为（ ） ）. B． an   1 (2n  1) n A． an  2n  1 C． an   1 n 1 【变式 1】数列 A．8 项 D． an   1 (2n  1) B．7 项 an  4n  1 (2n  1) 3 ，3， 15 ， 21 ，…，则 33 是这个数列的第（ C．6 项 【变式 2】数列 3，7，13，21，31，…的通项公式是（ A． n 1 B． ） D．5 项 ） an  n3  n2  n  2 C． an  n 2  n  1 D．不存在 考向三 根据递推公式求项 【例 3】数列  an  满足 a1  1 ， an  an1  3n （ n 为正整数， n �2 ），则 a3  （ A．43 B．28 C．16 1 a  1 1 a  n 1 【变式 1】在数列  an  中， 1 3 ， an ，则 a28  （ A．-2 B．1 【变式 2】已知数列  an  满足 a1  1 ， 9 A． 10 【变式 3】数列 A．29 10 B． 11 1 C． 3 an 1  an  ） 3 D． 2 1 n(n  1) ，则 a10  （ 19 C． 10  an  中，若 a1  2 ， an1  2an  3 ，则 a10  （ B．2563 D．7 C．2569 21 D． 11 ） D．2557 ） ） 考向四 公式法求通项 【例 4】已知数列{an}的前项和为 Sn ， Sn =4n  3 ，则数列  an  的通项公式为_____________ 【变式 1】已知数列  an  的前 n 项和 Sn  3  2n ，则 an  ______． 【变式 2】已知数列  an  的前 n 项和为 Sn  n2  2n  2 ，则数列  an  的通项公式为_________. 考向 5 数列的单调性 【例 5】设函数 f(x)＝数列{an}满足 an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数 a 的取值范围是____ ____． 【变式】已知数列{an}，其通项公式为 an＝3n2－n(n∈N*)，判断数列{an}的单调性． 课后练习（一） 1．下列叙述正确的是(　　) A．数列 1,3,5,7 与 7,5,3,1 是相同的数列 B．数列 0,1,2,3，…可以表示为{n} C．数列 0,1,0,1，…是常数列 D．数列{}是递增数列 2．数列 2,3,4,5，…的一个通项公式为(　　) A．an＝n，n∈N* B．an＝n＋1，n∈N* C．an＝n＋2，n∈N* D．an＝2n，n∈N* 3．已知数列{an}的通项公式为 an＝，n∈N*，则该数列的前 4 项依次为(　　) A．1,0,1,0 B．0,1,0,1 C.，0，，0 D．2,0,2,0 4．已知数列{an}的通项公式为 an＝n2－n－50，n∈N*，则－8 是该数列的(　　) A．第 5 项 B．第 6 项 C．第 7 项 D．非任何一项 5．数列 1,3,6,10，…的一个通项公式是(　　) A．an＝n2－n＋1 B．an＝ C．an＝ D．an＝n2＋1 6．数列，，，，…的第 10 项是(　　) A. B. C. D. 7．如图 1 是第七届国际数学教育大会(简称 ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图 2 的一连串 直角三角形演化而成的，其中 OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图 2 中的直角三角形继续作下去， 记 OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为(　　) . A．an＝n，n∈N* B．an＝，n∈N* C．an＝，n∈N* D．an＝n2，n∈N* 8．设 an＝＋＋＋…＋(n∈N*)，那么 an＋1－an 等于(　　) A. B. C.＋ D.－ 9.已知数列{an}的通项公式 an＝，n∈N*，则 a1＝________；an＋1＝________. 10．数列 3,5,9,17,33，…的一个通项公式是________． 11．323 是数列{n(n＋2)}的第________项． 12．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…； (3)，，－，，－，，…； (4)，1，，，…. 13．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式 an 是 n 的一次函数． (1)求{an}的通项公式； (2)判断 88 是不是数列{an}中的项？ 14．已知数列 { 9 n2 −9 n+2 9 n2 −1 } ，n∈N*. (1)求这个数列的第 10 项； (2)是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：该数列是递增数列； 1 2 ， 3 3 (4)在区间 ( ) 内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由． 课后练习（二） 1．数列 1,3,6,10,15，…的递推公式是(　　) A．an＋1＝an＋n，n∈N* B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2 C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N* D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2 2．已知数列{an}满足 a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项 an 等于(　　) A．n2＋1 B．n＋1 C．1－n D．3－n 3．已知 an＋1－an－3＝0，则数列{an}是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定 4．已知数列{an}的首项为 a1＝1，且满足 an＋1＝an＋，则此数列的第 4 项是(　　) A．1 B. C. D. 5．数列{an}中，a1＝1，对所有的 n≥2，n∈N*，都有 a1·a2·a3·…·an＝n2，则 a3＋a5 等于(　　) A. B. C. D. 6．已知 a1＝1，an＝an－1＋3(n≥2，n∈N*)，则数列的通项公式为(　　) A．an＝3n＋1 B．an＝3n C．an＝3n－2 D．an＝3(n－1) 7．若 a1＝1，an＋1＝，则给出的数列{an}的第 4 项是(　　) A. B. C. D. 8．已知数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则数列中最大项的值是(　　) A．107 B．108 C．108 9.在数列{an}中， D．109 a1   1 a  1  1 (n  1) n an 1 ，则 a2019 的值为（ ） 4， 4 A. 5 B. C. 5 D. 以上都不对  10.已知数列{an}的通项公式为 A. 100 1 4 an  n 2  2n ，则 a10  ( B. 110 　　 ) C. 120 D. 130 11．已知数列{an}满足 an＋1＝若 a1＝，则 a2 017＝________. 12．数列{an}的通项公式为 2 a n  2nλn n � ，  NλR * �  ，若{a }是递减数列，则 λ 的取值范围是（ n ） A. (－∞,4) B. (－∞,4] 13.已知数列{an}的通项公式是 A. 递增数列 an  C. (－∞,6) n 3n  1 ，那么这个数列是（ B. 递减数列 C. 摆动数列 D. (－∞,6] ） D. 常数列 1 � 2an , 0 �an  , � � 2 a  14.数列{an}满足