第三章 圆锥曲线与方程 3.3.1 抛物 线 的标 准方 程 漳州市龙海区港尾中学 抛物线的标准方程 教学目标 01 理解抛物线的定义及焦点、准线的意义（重点） 02 掌握抛物线的四种标准方程和 p 的几何意义（重点） 03 会用定义法、待定系数法求抛物线的标准方程（难点） 抛物线的标准方程 学科素养 逻辑推 理 抛物线的标准方程及其推导过程 数学建模 抛物线的标准方程 数学运算 用定义法、待定系数法求抛物线的标准方程 直观想象 抛物线的图像，焦点，准线的联系 01 新 知 探 索 New Knowledge explore 抛物线的标准方程 在初中，我们将二次函数的图象称为抛物线． 在重力作用下的平抛或斜抛物体 ( 比如运动 场上投出的篮球、水池里喷出的水柱 ) 其运动的轨 迹都是抛物线的一部分． 怎样通过几何性质来刻画抛物线呢 ? 实验：任给一个定点 F 和一条直线 l ．你能设计适当的方法或装置，画出 到 F 和 l 距离相等的点的轨迹并观察轨迹的形状吗？ 抛物线的标准方程 1 ．将一直尺固定在直线 l 上，取一个直角三 角板，以它的一条直角边靠紧直尺的一边 l2 ； ．在另一条直角边上取定点 A ，设三角板 的直角顶点为 C ； 3 ．再取一条长度正好等于 AC 的细线，将 这条细线的一端固定在三角板上的点 A 处， 另一端用大头针固定在点 F 处（ F ∉l ）； 4 ．用铅笔将细线绷紧，使铅笔尖贴在三角板的边 AC 之上，让三角板沿 着直尺滑动，则铅笔尖所在的点 P 就画出所要作的轨迹的一段． 抛物线的标准方程 抛物线的标准方程 观察画出的轨迹的形状，发现它与二次函数的图象－抛物线很相似 ．为了验证这个猜想，我们先设法求出轨迹的方程． 已知定点 F 与一条定直线 l ， F ∉l ．动点 P 到 F 与 l 的距离相等， 建立适当的平面直角坐标系，求动点 P(x ， y) 的轨迹方程． y y P O l F y P P x O l F x OF l x 抛物线的标准方程 过点 F 作直线 l 的垂线，交 l 于点 D ．设 |FD|=p>0 ．取 FD 的中点 O 为原点，以 OF 的方向为 x 轴的正方向，建立平面直角坐标系． y p 则点，到点，的距离， P( x y ) F ( 0) 2 P O l F x p 2 d1  ( x  )  y 2 2 p 点，到直线的距离． P( x y ) l:x 2 因为，所以， d1  d 2 p d 2  |x  | 2 p 2 p 2 ( x  )  y  |x  | 2 2 化简可得 ． y 2  2 px 因此，点的轨迹方程为 P ，． y 2  2 px p  0 抛物线的标准方程 如果以 O 为原点， OF 的方向为 y 轴的正方向，建立平面直角坐标 1 2 系，则可得轨迹方程为 x2=2pyy ，即  x ，这是以 x 为自变量、以 y 2p 为因变量 1 2 而 y2=2px 的图像是将开口向上的抛物线 的二次函数，它的图像是抛物线． y x 2p 方向旋转 90° 得到． y y F l O 绕顶点沿顺时针 P P O x l F x 抛物线的标准方程 我们把平面内与一定点 F 和一条定直线 l （ F ∉l ）距离相等的点的 轨迹叫作抛物线，点 F 叫作抛物线的焦点，直线 l 叫作抛物线的准线． 对于任意 p>0 ，焦点为p ，准线方程为 p 的抛物线方 程为 F ( ，0) 2 x 2 y2=2px按其他方式建立直角坐标系，可以得出抛物线其他形式的方程．如 ，这称为抛物线的标准方程． 果建立的坐标系满足条件：原点是焦点到准线的垂线段的中点，一条坐 标轴垂直于准线，所得的抛物线方程就称为标准方程． 这样的标准方程 及其图象有如下四种情况． 抛物线的标准方程 y 焦点 坐标 准线 方程 y y F 图像 标准 方程 y O F x F x O l O x O x F l l l y 2  2 px，p  0 y 2  2 px，p  0 x 2  2 py，p  0 x 2  2 py，p  0 p F ( ，0) 2 p F ( ，0) 2 p F (0， ) 2 p F (0， ) 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 2 抛物线的标准方程 （ 1 ）抛物线的顶点在原点，以 x 轴或 y 轴为对称轴，焦点在对称轴上 ； （ 2 ）抛物线的标准方程中， x 与 y ，哪个是一次的，焦点就在哪一轴 上； 如果一次项的系数是正的，焦点就在正半轴上（开口朝对称轴 抛物线的标准方程 例 1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （ 1 ） y2 = 4x ； （ 2 ） x = － y2 ； （ 3 ） y = ax2 ， a>0 ． y 解：（1）方程具有标准形式， y 2  2 px p 其中，从而，． 2p  4 p2 1 2 O 抛物线的焦点在轴的正半轴上， x 所以焦点坐标为，，准线方程为． (1 0) x  1 l F x 抛物线的标准方程 例 1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （ 1 ） y2 = 4x ； （ 2 ） x = － y2 ； 解：（2）方程化为标准形式，具有标准形式， y2  x 1 其中，从而，． 2p 1 p 2 （ 3 ） y = ax2 ， a>0 ． y 2  2 px y p 1  2 4 抛物线的焦点在轴的负半轴上， x 1 所以焦点坐标为，，准线方程为． ( 0) 4 F 1 x 4 x O l 抛物线的标准方程 例 1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （ 1 ） y2 = 4x ； （ 2 ） x = － y2 ； 1 解：（3）方程化为标准形式，具有标准形式． x  y a 2 1 1 其中，从而，． 2p  p a 2a （ 3 ） y = ax2 ， a>0 ． x 2  2 py y p 1  2 4a F 抛物线的焦点在轴的正半轴上， y 1 1 所以焦点坐标为，，准线方程为． (0 ) y 4a 4a l O x 抛物线的标准方程 变式 求下列抛物线 x2 = ay ， a≠0 的焦点坐标和准线方程． 解：当时，具有标准形式， a0 x  ay 2 a x  2 py 其中，． 2p  a p  2 2 y 抛物线的焦点在轴的正半轴上， y O a a l 所以焦点坐标为，，准线方程为． (0 ) y 4 4 a 当时，具有标准形式， a0 x 2  ay x 2  2 py 其中，． 2p  a p   2 y 抛物线的焦点在轴的负半轴上， y a a 所以焦点坐标为，，准线方程为． (0 ) y 4 4 a 综上，抛物线的焦点坐标为，，准线方程为． x  ay (0 ) 4 2 F x l O x F a y 4 抛物线的标准方程 例 2 求适合下列条件的抛物线的标准方程： 1 （ 1 ）焦点坐标为 F(0 ，－ 4) ；（ 2 ）准线方程为 x 2 (2 ， 4) ． 解：（）抛物线的焦点在轴的负半轴上， 1 y ；（ 3 ）过点 y 可设抛物线的标准方程为，， x 2  2 py p  0 p 则，即． 4  2 p8 因此，所求抛物线的方程为． x 2  16 y l O x F 抛物线的标准方程 例 2 求适合下列条件的抛物线方程： 1 （ 1 ）焦点坐标为 F(0 ，－ 4) ；（ 2 ）准线方程为 x 2 (2 ， 4) ． ；（ 3 ）过点 1 解：（）由抛物线的准线方程为，知焦点在轴的负半轴上， 2 x x 2 可设抛物线的标准方程为，， y 2  2 px p  0 p 1 则，即 ． 2 2 p 1 因此，所求抛物线的方程为． y 2  2 x F y x O l 抛物线的标准方程 例 2 求适合下列条件的抛物线方程： 1 （ 1 ）焦点坐标为 F(0 ，－ 4) ；（ 2 ）准线方程为 x 2 (2解：（）因为点，在第一象限， ， 4) ． 3 (2 4) 所以抛物线的标准方程为或，． y 2  2 px x 2  2 py p  0 当抛物线的方程为，时， y 2  2 px p  0 16  4 p，即， p4 因此，所求抛物线的方程为． y2  8x 当抛物线的方程为，时， x  2 py p  0 2 因此，所求抛物线的方程为． x2  y 1 4  8 p，即， p 2 综上所述，所求抛物线的方程为或． y 2  8x x2  y ；（ 3 ）过点