2022 届高考数学二轮复习解答题分类刷题 （1） 三角函数与解三角形 1.在 VABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已 知 a  3, c  2, B  45�. （1）求 sin C 的值； （2）在边 BC 上取一点 D，使得 cos �ADC   4 5 ，求 tan �DAC 的值. 2. VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a c b 1    bc ab ac a cos C  c cos A . （1）求角 B； （2）若 VABC 的面积为 求 c. 3 3 2 ，其外接圆半径为 3 ，且 c  a ， 3. V ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 �π5 � cos 2 �  A � cos A  . 4 �2 � （1）求 A； （2）若 bc  3 a 3 ，证明： V ABC 是直角三角形. 4. △ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ， △ ABC 的面积为 S ， 2 2 2 4 cS  (2 a  c ) a  c  b   tan C . 已知 （1）求角 B ； （2）若 a  c  3, a  b,△ ABC 外接圆半径为 cos 2A 2 3 3 ，求 . 5. VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 c sin B  2a sin C . （1）若 a  3 ， （2）若 cos B   cos C  3 3 1 4 ，求 c； ，求 sin C . ba ac  1 6.在① a  b  4 ，② c b  a ，③ a 2  c2  b2  4 3S （其中 S 为 VABC 的面积）这三个条件中任选一个，补充在下面 问题中，并作答. 问题：在 VABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 b sin A B  c sin B 2 ，c  13 ，且___________， 计算 VABC 的面积 S. 7.如图，在 VABC 中， �C  π 3 ， BC  2 ，点 E 为 AB 的中点， 点 D 在 AC 上且 DE  AB . （1）若 AC  3 ，求 VABD 的面积； （2）若 DE  2 ，求 sin �A . 8.在 VABC 中，内角 A, B, C 对应的边长分别为 a, b, c ，已知 1 � � a� b cos C  c � b 2  c 2 2 � � . （1）求角 B； （2）若 b  9.从① 3�a sin A  cos A 2 ，求 2a  c 的取值范围. ，② 2a cos A  b cos C  c cos B ，③ a cos C   2b  c  cos A  0 ， 这个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解 答. 问题：在 VABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，______. （1）求 A； （2）若 a  2 ，求 VABC 面积的最大值. 10.在 VABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已 知 a  3, c  . 2, b  45� （1）求 sin C 的值； （2）在边 BC 上取一点 D，使得 的值. cos �ADC   4 5 ，求 tan �DAC 答案以及解析 1.答案：（1）因为 a  3, c  由余弦定理： b  a 2  c 2  2ac cos� B  9  2  2 �3 � 2 � 由正弦定理可得 得 5 2  sin 45� sin C 所以 所以 5 5 （2）因为 所以 c b  sin C sin B ， ， c sin C �sin ‫װ‬ 45 b sin C  ， 2, B  45� 2 5 2 2 5 5 . . cos �ADC   4 5 ， sin �ADC  1  cos 2 �ADC  3 5 ， 在三角形 ADC 中，易知 C 为锐角， 由（1）可得 cos C  1  sin 2 C  所以在三角形 ADC 中， 2 5 5 ， 2  5 2 ， sin �DAC  sin(�ADC  �C )  sin �ADC cos �C  cos �ADC sin �C  因为 所以 � π� �DAC �� 0, � � 2� ，所以 tan �DAC  sin �DAC 2  cos �DAC 11 cos �DAC  1  sin 2 �DAC  2 5 25 11 5 25 ， ， . 2.答案：（1）在 VABC 中，由余弦定理，得 a 2  c2  b2  2 cos B ac ，  a c b a2 c2 b2 a 2  c 2  b 2 2cos B        bc ab ac abc abc abc abc b  2 cos B 1  b a cos C  c cos A . . 由正弦定理，得 2cos B 1 1   sin B sin A cos C  sin C cos A sin( A  C ) . 又 A  C  π  B ， 2 cos B sin B  sin B . 又 Q sin B �0 ，  cos B  1 2 Q B �(0,π) . （2）由题意，得 得 1 3 3 3 ac sin B  ac  2 4 2 b 2 3 sin B ， ac  6 . ， B  π 3 . ， b  3 .由 VABC 的面积为 3 3 2 ， 由余弦定理 b 解 � a 2  c 2  15, � ac  6, � 得  a 2  c 2  2ac cos B 2 � a  2 3, � � c 3 � 或 ，得 a 2  c2  6  9 � a  3, � � c  2 3。 � 又Q c  a ， a  3 ， c  2 3 . 3.答案：（1）因为 所以 即 sin 2 A  cos A  1  cos 2 A  cos A  5 4 5 4 ，解得 A （2）由（1）知 又 2  c 2  a 2  bc bc  3 a 3 � A � cos A  4 � ， ， 又 0π A  ，所以 即b �π5 cos 2 �  �2 π 3 cos A  1 2 . . cos A  b2  c 2  a 2 1  2bc 2 ， .① ，② 所以将②代入①得， b 整理可得 2b 2  5bc  2c 2  0 2 ，  c 2  3(b  c) 2  bc ， ， a 2  c 2  15 . 解得 b  2c 或 又因为 所以 a  b bc  3c c 2 . 3 a0 3 ，故 b 2 ，所以 b  2c ，  a2  c2 ，所以 V ABC 是直角三角形. 4.答案：（1）由 4cS  (2a  c)  a 1 sin C 4c � absin C  (2a  c)  a 2  c 2  b 2  2 cos C 得到 b cos C  (2a  c) a 2  c2  b2  2ac 2  c 2  b 2  tan C 可得 ， ， 由余弦定理可得： bcos C  (2a  c) cos B ， 由正弦定理可得： sin B cos C  (2sin A  sin C ) cos B ， 因为 sin(B  C )  sin(π) Asin 所以 cos B  1 2 ，因为 ,sinA 0π B  0A � ， ，所以 B （2）因为 △ ABC 外接圆的半径为 2 3 3 b  2� � 2 3 2 ， π 3 . 2 3π ,B  3 3 ，所以 由正弦定理得 a 所以由 a  c  3 得 又 a  b, B  π 3 4 3 4 3 sin A, c  sin C 3 3 ， 4 3� � �2π � sin A  sin �  A � � � 3 3 � �3 � � ，所以 A π 3 ，故 ，整理可得 πππ  A  6 6 2 ，所以 2 7� � � π3� cos �A  � 1  � �  � 6� �4 � 4 所以  � ππππππ � � � � � sin A  sin �A   � sin �A  � cos  cos �A  � sin � 6 6� � 6� 6 � 6� 6 3 3 7 1 3 3 7 �  �  4 2 4 2 8 故 ， cos 2 A  1  2sin 2 A  ， 3 21  1 16 . 5.答案：（1）已知 c sin B  2a sin C ， 由正弦定理得 cb  2ac ，即 b  2a ， 又 cos C  所以 c 2 a 2  b 2  c 2 5a 2  c 2 1   2ab 4a 2 4  4a 2 ， ，即 c  2a  2 3 . � π3� sin �A  � � 6� 4 ， （2）因为 cos B   3 3 ， 2 所以 � 3� 6 sin B  1  cos B  1  �  � � � 3 3 � � 2 由（1）知 b  2a ，所以由正弦定理得 为锐角， 2 所以 �6� 30 cos A  1  � �6 � � 6 � � 所以 sin C  sin(π) A  B  sin( A  B)  sin A cos B  cos A sin B  6 � 3 � 30 6 ��   � � � � 6 �