1.2 集合间的基本关系——能力提升 （共 24 题） 一、选择题（共 14 题） P= {− 1,0,1,2 } ， Q= {− 1,0,1 } ，则 () A． P∈ Q B． P⊆ Q C． Q⊆ P 2. 下列命题中正确的 ( ) 1. 已知集合 D． Q∈ P 0 与 { 0 } 表示同一个集合； ② 由 1 ， 2 ， 3 组成的集合可表示为 { 1,2,3 } 或 { 3,2,1 } ； ① ③ 方程 ( x − 1 )2 ( x − 2 )=0 的所有解的集合可表示为 { 1,1,2 } ； ④ 集合 { x ∣ 4< x <5 ¿ ¿ 可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上语句都不对 M ={ 1,2 } ， N= { a2 } ，那么 ( ) 3. 设集合 a=1 ，则 N ⊆ M B．若 N ⊆ M ，则 a=1 C．若 a=1 ，则 N ⊆ M ，反之也成立 D． a=1 和 4. 下列说法正确的个数是 ( ) A．若 ∅ =0 ； ② ∅ ={ 0 } ； ③ ∅ ⊆ { 0 } ；⑧ ∅ ⫋ { ∅ } ． ① A． 3 B． 5. 下列表示正确的个数是 0∈∅ ； ⑤ ∅ ={ ∅ } ； ④ 4 N⊆M 0 ∈ {0 } ； ⑥ C． 5 D． 6 C． 2 D． 1 () （ 1 ） 0∉∅ ； （ 2 ） ∅ ⊆ { 1,2 } ； （ 3 ） { A． 3 6. 已知集合 } { x , y } ∣ 2 x + y=10 ={ 3,4 } ； 3 x − y=5 （ 4 ）若 A ⊆ B ，则 B． A ∩B= A 4 A= { x ∈ N ∗ ∣ x2 −3 x − 4 <0 ¿ ¿ ，则集合 8 个 7. 下列集合中表示同一集合的是 ( ) A． 7 个 A． B． M ={ 3, −1 } ， P= { (3, −1 ) } C． A 的真子集有 15 个 成立没有关系 () D． 16 个 ∅ ∈ {∅ } ； ⑦ B． M ={ ( 3,1 ) } ， P= { (1,3 ) } C． 2 M ={ y ∣ y=x − 1, x ∈ R ¿ ¿ ， P= { ( x , y ) ∣ y =x −1, x ∈ R ¿ ¿ D． M ={ y ∣ y=x − 1, x ∈ R ¿ ¿ ， P= { a∣ a=x − 1, x ∈ R ¿ ¿ 2 2 2 U= { 0,1,2,3,4 } ，则集合 U A． 15 个 B． 16 个 8. 已知集合 9. 能正确表示集合 M ={ x ∈ R ∣ 0 ≤ x ≤2 ¿ ¿ 的真子集共有 C． () 31 个 和集合 D． 32 个 N= { x ∈ R ∣ x 2 − x=0 ¿ ¿ 的关系的维恩图的是 () A． B． C． D． { x ∣ x ≤2 ¿ ¿ 的真子集的是 () A． { x ∣ x >2 ¿ ¿ B． { x ∣ x ≤2 ¿ ¿ C． { x ∣ x ≤ 0 ¿ ¿ D． { 0,1,2,3 } A= { x ∣ x 是平行四边形¿ ¿ ， B={ x ∣ x 是矩形 ¿ ¿ ， 11. 已 知 集 合 D= { x ∣ x 是菱形 ¿ ¿ ，则 ( ) 10. 下列集合中，是集合 A ⊆B B． C ⊆ B C． D⊆C 12. 设集合 M ={ 1,2,3 } ， N= {1 } ，则下列关系正确的是 () A． N ∈ M B． N ∉ M C． N=M 13. 如果集合 M 满足 { 1,2 } ⊆ M ⊆ { 1,2,3,4,5,6 } ，那么这样的集合 A． A． 14. 集合 5 B． 6 C． 8 M ={ 1,2,3 } ，则下列关系正确的是 () C={ x ∣ x 是正方形 ¿ ¿ ， D． A⊆D D． N⫋M M D． 的个数为 16 () 1∈ M A． B． 1∉ M C． 1⊆ M 1⊊ M D． 二、填空题（共 6 题） A= { a ∣ a 具有性质 α ¿ ¿ ， B={ b ∣ b 具有性质 β ¿ ¿ ， 则 “ 15. 设 A ⊆B ” 与 “ α ⇒ β ” 等 价 ． 集合 ¿ 元素性质 ( 命题 ) ¿ A={ a ∣ a 具有性质 α ¿ B={ b ∣ b 具有性质 β ¿ ¿ ¿ β ¿ A ⊆ B ¿❑ ¿ A ⊇ B ¿❑ ¿ A=B ¿❑¿ A ⫋ B ¿ ¿ 16. 给出下列四个判断： ∅ ={ 0 } ； ① ② 空集没有子集； ③ 任何一个集合必有两个或两个以上的子集； ④ 空集是任何一个集合的子集．其中正确的是 ． { a } ⊂ M ⊆ { a ,b ,c } 的所有集合 M 共有 个． 18. 已知集合 A= { a , b , c } ，则集合 A 的真子集的个数是 ． 17. 满足 19. 从符号 ∈ 、 ∉ 、 ¿ 、 ⊆ 、 ⫋ 中选出适当的一个填空． a {( a , b ) } { 2,1 } ； a { a } ； { 1,2 } 20. 用“ ∈ ”“ ∉ ”“ ⊆ ”“ ⊇ ”填空： { a } ； { 1,2 } ； ∅ Q ， [ 0,2 ] ❑ √5 [ −1,2 ] { 1,2,3 } ． ． 三、解答题（共 4 题） 21. 相等的集合 对于两个集合 读作“集合 A A B ，如果 等于集合 B ”． 和 且 ，那么叫做集合 A 与集合 B 相等，记作 A=B ， 问题：如何判定两个集合相等？ 2 ， a ， b ，集合 N ，且两个集合表示同一个集合，求实数 a ， b 的值． 22. 已知集合 2 b M 中含有三个元素 中含有三个元素 2a ， 2 ， 23. 真子集 对于两个集合 为集合 B A ， B ，如果 的真子集，记为 或 ，并且 ，读作“ B ”或“ 中至少有一个元素不属于 A ，那么集合 A 称 ”． 问题：真子集与子集有什么区别？ 24. 子集 （ 1 ）对于两个集合 a ∈ B ），那么集合 可用文氏图表示为 A A B ，如果集合 A 中 都属于集合 B （若 叫做集合 B 的子集，记作 或 ，读作“ ”或“ ”． 和 a ∈ A ，则 （ 2 ）子集的性质： ① A ⊆ A ，即任何一个集合是它本身的子集； ② ∅ ⊆ A ，即空集是任何集合的子集． 问题：集合 A 是集合 B 的子集的含义是什么？ 答案 一、选择题（共 14 题） 1. C 2. C 3. A 4. B 5. A 6. A 7. D 8. C 9. B 10. C 11. B 12. D 13. D 14. A 二、填空题（共 6 题） α⇒β 15. ； α⇐β ； α⇔ β 16. ④ 17. 3 18. 7 19. ∈ ； ¿ ； ∉ ； ⫋ ； ⫋(⊆) ． 20. ∉ ； ⊆ 三、解答题（共 4 题） 21. A ⊆B ； B ⊆ A ① 两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关． ② 若两个集合中元素均为无限多个，要看两集合的代表元素是否一致，且看代表元素满足条件是否 致，若均一致，则两集合相等． 22. 由题意得 解得 { 2a=a , 2 b =b {a=0, b=0 或 或 {a=0, b=1 经检验， a=0 ， b=0 所以 23. { 2a=b , 2 b =a , 或 { 1 a= , 4 1 b= . 2 不符合题意； a=0 ， b=1 和 a= 1 1 b= ， 4 2 符合题意． 1 1 a=0 ， b=1 或 a= ， b= ． 4 2 A ⊆ B ； A ⫋ B ； B ⫌ A ； A 真包含于 B ； B 在真子集的定义中， A ⫋ B 首先要满足 A ⊆B ， 其次至少有一个元素 x 满足 x ∈ B ，但 x ∉ A ， 也就是说集合 B 至少要比集合 A 多一个元素． 24. （ 1 ）任何一个元素； A ⊆ B ； B ⊇ A ； A 真包含 A B ； B 包含 A （ 2 ）集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，即由 x ∈ A 能推出 例如 { 0,1 } ⊆ {− 1,0,1 } ，则由 0 ∈ {0,1 } 能推出 0 ∈ {− 1,0,1 } ． 包含于 x∈B ．