专题 06 圆的弦被内(外)分成定比问题 【方法点拨】 1.利用垂径定理通过二次解直角三角形求出弦长，进而求出“弦心距”，最后利用“点线距” 列方程； 2.利用圆幂定理(相交弦定理、切割线定理、割线定理)求出弦长，然后同上. 3. （1）相交弦定理：如下左图，圆 O 的两条弦 AB、PC 相交于圆内一点 P，则 PA � PB  PC � PD PB （切割 （2）如下右图，PT 为圆 O 的切线，PAB、PCD 为割线，则：(1) PT  PA � 2 PB  PC � PD （割线定理). 线定理）; (2) PA � PB  PO  R (其中 R 是半径)，统称为圆幂定理. 说明：上述三个定理可以统一为 PA � 2 2 【典型题示例】 例1 在平面直角坐标系 xOy 中，过点 M (1, 0) 的直线 l 与圆 x2  y 2  5 uuuu r uuur l A BM  2 MA 其中 点在第一象限，且 ，则直线 的方程为 交于 A, B 两点， ． 【答案】y＝x－1 【分析】本题思路有下列几种：①利用向量坐标设点转化，点参法；②设直线方程的在 x 轴上的截距式，联立方程组；③垂径定理后二次解三角形；④相交弦定理；⑤利用” uuuu r 2 uuu r 1 uuu r OM  OA  OB 3 3 爪”型结构,得 ,两边平方求得 �AOB 的余弦值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 【解法一】：易知直线 l 的斜率必存在，设直线 l 的方程为 y＝k(x－1)． 由BM＝2MA，设 BM＝2t，MA＝t. 如图，过原点 O 作 OH⊥l 于点 H，则 BH＝. 设 OH＝d，在 Rt△OBH 中，d2＋2＝r2＝5. 在 Rt△OMH 中，d2＋2＝OM2＝1，解得 d2＝， 则 d2＝＝，解得 k＝1 或 k＝－1. 因为点 A 在第一象限， BM＝2MA，由图知 k＝1， 所以所求的直线 l 的方程为 y＝x－1. uuuu r uuur BM  2 MA 【解法二】由 ，设 BM＝2t，MA＝t 又过点 M 的直径被 M 分成两段长为 5  1 、 5  1 2t 2    5 1 由相交弦定理得 过原点 O 作 OH⊥l 于点 H，  ，解之得 t  5 1 2 在 Rt△OBH 中，d2＋2＝r2＝5，解得 d2＝，（下同解法一，略）. 【解法三】设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则BM＝(1－x2，－y2)，MA＝(x1－1，y1)． 因为BM＝2MA，所以 当直线 AB 的斜率不存在时，BM＝MA，不符合题意． 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y＝k(x－1)， 联立得(1＋k2)y2＋2ky－4k2＝0，则 解得所以 y1·y2＝＝，即 k2＝1.又点 A 在第一象限， 所以 k＝1，即直线 AB 的方程为 y＝x－1. 【解法四】设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则BM＝(1－x2，－y2)，MA＝(x1－1，y1)． 因为BM＝2MA，所以即 又代入可得解得 x1＝2，代入可得 y1＝±1.又点 A 在第一象限，故 A(2,1)，由点 A 和点 M 的坐标可得直线 AB 的方程为 y＝x－1. 点评： 上述各种解法中，以解法一、解法二最简、最优. 例2 已知圆 M： ( x  1) 2  ( y  3) 2  4 ，过 x 轴上的点 P(a, 0) 交点为 A、B，且满足 PA=BA，则点 P 的横坐标 a 的取值范围为 存在一直线与圆 M 相交， ． ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【答案】 1  3 3 �a �1  3 3 【解法一】取 AB 中点 C ，连接 MC 、 MP ， 2 2 2 � �MC  m  r 设 ，则 � 2 ， 2 2 ， 相 减 得 �MC   3m   MP AB  2m MP 2  8m 2  r 2  8m 2  4 2 2 Q 0  m �r ∴ MP 2  8m 2  4 �36 ，即 (a  1)  3 �36 ∴ 1  3 3 �a �1  3 3 【解法二】由圆幂定理得： PA � PB  PM 2  R 2 设 AB  2m ，代人上式得： Q 0  m �2 2 2 8m 2  � (a  1) 2  9 � � � 4 ，即 8m  (a  1)  5  0  (a  1) 2  5 �32 ∴ 1  3 3 �a �1  3 3 【解法三】（利用圆中最长弦为直径，得出 PA 范围，而 PA 的两个端点都在动，以静制动， 然后再将 PA 范围转化为 PM 范围问题） 因为 PA=BA，所以 PA 的最大值为 2，故 PM 的最大值为 4（下略）. 【巩固训练】 1. 在平面直角坐标系 xOy 中，设直线 y  x  2 uuur 与圆 x 2  y 2  r 2 (r  0) r 3 uuur 5 uuu 为坐标原点，若圆上一点 C 满足 OC  4 OA  4 OB ，则 r 2.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P  0,1 在圆 C： 交于 A、B 两点， O ． x 2  y 2  2mx  2 y  m 2  4m  1  0 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 内， 若存在过点 P 的直线交圆 C 于 A、B 两点，且△PBC 的面积是△PAC 的面积的 2 倍，则 实数 m 的取值范围为 3.在平面直角坐标系 xOy ． 中，圆 C : ( x  2) 2  ( y  m) 2  3 且 AB  2GO ，则实数 m 的取值范围是 ．若圆 C 存在以 G 为中点的弦 AB ， ． 2 2 P  x0 , y0  4. 已 知 直 线 y  ax  3 与 圆 x  y  2 x  8  0 相 交 于 A, B 两 点 ， 点 在直线 y  2x x 上且 PA  PB ，则 0 的取值范围为 . 【答案与提示】 1.【答案】 10 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 【解法一】遇线性表示想求模，将向量问题实数化. 2 uuur 2 �5 uuu r 3 uuu r� r2 r uuu r 9 uuu r2 25 uuu 5 3 uuu OC  � OA  OB � OA  2 �� OA � OB  OB ， 4 4 4 16 �4 � 16 即 r2  25 2 15 2 9 3 r  r cos �AOB  r 2 cos �AOB   16 8 16 ，整理化简得 5. 过点 O 作 AB 的垂线交 AB 于 D ， 则 cos �AOB  2 cos 2 �AOD  1   又圆心到直线的距离 OD  3 1 cos 2 �AOD  5 ，得 5. 2 1 OD 2 2  2 cos 2 �AOD   2  2 ，所以 2 5 r r ， r  10 . 【解法二】注意到线性表示时的系数和为 2，联想“三点共线”. uuur 5 uuu r 3 uuu r r 3 uuu r 1 uuur 5 uuu OC  OA  OB OC  OA  OB ，即 2 4 4 8 8 由 得 设 A、、 B D AD  3 x 三点共线（其中 ， D 是 AB 的中点），且 AD : BD  3: 5 ， BD  5 x 2 � 2 �r � 2 � � � x  2 �2 � � . 思路一：垂径定理后二次解三角形， �2 2 ，解之得 2 r  4 x  2   r  10 � r 3r � 3x � 5x  � � 2 2 � 2 ，解之得 2 . 思路二：相交弦定理， � r 2   4x   2 r  10 � 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 4 � � ,4� 2.【答案】 � 9 � � 【提示】由于△PBC 与△PAC 同高，故 PB=2PA. 3.【答案】 [ 2, 2] 【简析】易知 OA  OB ，考察临界状态，只需过原点作圆的切线，切点弦的张角大于等于 直角即可. 4.【答案】 (1,0) �(0, 2) 【提示】直接利用勾股定理转化. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7