莆田一中 2021-2022 学年高二年段第一学期期中数学试卷 命题人：蔡晶晶 审核人：林新潮 单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1．直线 A． 30� 3x  3 y  1  0 的倾斜角是（ B． 60� C． 120� ） D． 150� r r uuu r r uuur uuur r uuu a  OA , b  OB , c  OC O  ABC OA V ABC 2．在三棱锥 中，M 是 的中点，P 是 的重心，设 ，则 MP  （ ） 1 r 1r 1r a b c A． 2 6 3 3．点 P(2, 1) 与圆 1r 1r r a b c B． 3 2 x2  y2  1 1r 1r 1r  a b c C． 6 3 3 上任一点连线的中点轨迹方程是（ A． x2  y2  2 x  y  1  0 B． x2  y2  2x  y  2  0 C． x2  y2  2x  y  1  0 D． x2  y2  2x  y  2  0 r 1r 1r a  b  c D． 3 2 ） 4．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率  等于椭圆的长 x2 y2 C : 2  2  1(a  b  0) 半轴长与短半轴长的乘积．已知在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 的面积为 2 3 ， a b 两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆 C 的标准方程是（ x2 y 2  1 A． 4 3 x2 y2  1 B． 3 4 x2 y2  1 C． 2 3 ） x2 y2  1 D． 3 2 5．若函数 y   4  ( x  1) 的图象与直线 x  2 y  m  0 有公共点，则实数 m 的取值范围为（ 2 A． [2 5  1, 2 5  1] B． [ 2 5  1,1] C． [2 5  1, 1] D． ） [3,1] x2 y2  1 6．如图，椭圆 a 2 的焦点为 F1 , F2 ，过 F1 的直线交椭圆于 M，N 两点，交 y 轴于点 H．若 F1 ，H 是 4 线段 MN 的三等分点，则 A．20 B．10 VF2 MN C． 2 5 的周长为（ ） D． 4 5 7．阿波罗尼斯（约公元前 262-190 年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 k（ k �1 k 0 且 ）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点 A、B 间的距离为 2，动点 P 与 A、B 距 离之比为 2 A． 3 2 ，当 P、A、B 不共线时， VPAB 面积的最大值是（ 2 2 B． 3 8．如图，在正四棱柱 记 AP 与平面 4 A． 3 BCC1 B1 5 B． 3 C． 2 D． 2 2 ABCD  A1B1C1D1 中， AB  3, AA1  4 所成的角为  ，则 tan  的最大值为（ C．2 ） ，P 是侧面 BCC1 B1 内的动点，且 AP  BD1 ） 25 D． 9 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有项选错得 0 分． ， 9．设椭圆 C: x2  y 2  1( a  b  0) 的左右焦点为 F1 , F2 ，P 是 C 上的动点，则下列结论正确的是（ 2 A． PF1  PF2  2 2 C． VPF1F2 B．离心率 面积的最大值为 2 6 2 e D．以线段 ） F1F2 为直径的圆与直线 x  y  2  0 相切 10．瑞士著名数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人 称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中， 线”与圆 A． M : ( x  3) 2  y 2  r 2 VABC 的“欧拉线”方程为 B．圆 M 上存在三个点到直线 VABC 满足 AC  BC 相切，则下列结论正确的是（ ，顶点 A(1,0) 、 B ( 1, 2) ，且其“欧拉 ） y  x 1 x  y 1  0 的距离为 2 y C．若点 ( x, y ) 在圆 M 上，则 x  1 的最小值是  2 D．若圆 M 与圆 11．过点 A． P (3, 4) | AB | x 2  ( y  a )2  2 作圆 有公共点，则 C : x2  y2  4 2 21 5 a �[ 3,3] 的两条切线，切点分别为 A，B，则下列说法正确的是（ B． AB 所在直线的方程为 3 x  4 y  4  0 C．四边形 PACB 的外接圆方程为 x 2  y 2  3 x  4 y  0 12．正方体 ABCD  A1B1C1D1 的棱长为 1，E，F，G 分别为 D． VPAB 的面积为 BC , CC1 , BB1 42 21 25 的中点．则（ ） ） A．直线 D1D 与直线 AF 不垂直 B．直线 9 C．平面 AEF 截正方体所得的截面面积为 8 A1G 与平面 AEF 平行 D．点 C 与点 G 到平面 AEF 的距离相等 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案直接填写在答题卡相应位置 上． 13．直线 l1 : x  ay  6  0 与 l2 : ( a  2) x  3 y  2a  0 平行，则 a 的值为________． x2 y2   1( a  b  0) 14 ． 已 知 点 P 是 椭 圆 a 2 b2 上 的 一 点 ， F1 , F2 分 别 为 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 ， 已 知 �F1PF2  120�，且 PF1  3 PF2 ，则椭圆的离心率为___________． 15．在棱长为 2 的正方体 PQ ABCD  A1B1C1D1 中，点 P 是直线 BC1 上的一个动点，点 Q 在平面 ACD1 上，则 的最小值为___________． 16 ． 若 直 线 x ym0 上存在点 P 可作圆 O : x2  y2  1 的 两 条 切 线 PA 、 PB ， 切 点 为 A 、 B ， 且 �APB  60� ，则实数 m 的取值范围为_________． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 10 分）已知圆 C : x2  y2  2x  4 y  m  0 （1）若圆 C 与直线 l : x  2 y  4  0 （2）在（1）成立的条件下，过点 ． | MN | 相交于 M、N 两点，且 P (2,1) 4 5 5 ，求 m 的值； 引圆的切线，求切线方程． 18 ． （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 如 图 ， 在 四 棱 锥 P  ABCD 中，底面 ABCD, AP  AB  2, BC  2 2 ，E，F 分别是 AD, PC 的中点． ABCD 是矩形， PA  平面 （1）证明： PC  平面 BEF ； （2）求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小． 19．（本小题满分 12 分）已知圆 圆 C1 C1 : ( x  1) 2  y 2  36 ，圆 C2 ( x  1) 2  y 2  4 ，动圆 M 与圆 C2 外切，与 内切． （1）求动圆 M 的圆心 M 的轨迹 L 的方程； （2）在 y 轴正半轴上存在一点 P，其到轨迹 L 上的点的最远距离为 20 ． （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 如 图 ， 在 四 棱 锥 17 ，求点 P 坐标． P  ABCD 中， PA  面 ABCD, AB∥ CD ，且 CD  2, AB  1, BC  2 2, PA  1, AB  BC ，N 为 PD 的中点． （1）求证： AN∥ 平面 PBC ． 26 （2）在线段 PD 上是否存在一点 M，使得直线 CM 与平面 PBC 所成角的正弦值是 26 ，若存在，求出 DM DP 的值；若不存在，说明理由． 21．（本小题满分 12 分）设椭圆 y  �b 所围成的区域面积为 C: x2 y2   1(a  b  0) 的一个焦点为 ( 2,0) ，四条直线 x  � a， a 2 b2 4 3． （1）求椭圆 C 的方程； （2）设过 D(0,3) 的直线 l 与 C 交于不同的两点 A，B，若以弦 AB 为直径的圆恰好经过原点 O，求直线 l 的 方程． 22．（本小题满分 12 分）已知圆 C : ( x  3) 2  y 2  1 （1）若直线 l 与圆 C 相切，求直线 l 的方程； （2）若直线 l 与圆 C 相交于 P、Q 两点，点 M 是 PQ 与直线 m : 3x  y  6  0 ，动直线 l 过定点 A(0,1) ． uuuu r uuur AM � AN 是 的中点，直线 l 与直线 m 相交于点 N．探索 否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 莆田一中 2021-2022 学年高二年段第一学期期中数学试卷答案 一、单项选择题：DCAA BDDB 二、多项选择题：9．AD 10．BCD 11．BD 12．ABC 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案直接填写在答题卡相应位置 上． 13 13．【答案】 1 14．【答案】 4 2 3 15．【答案】 3 16．【答案】 [ 2 2, 2 2 ] 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1） m4 （2）切线方程为 【详解】（1）圆 C 方程