人教 A 版选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 1.1 1.2 1.3 1.4 空间向量及其运算 空间向量基本定理 空间向量及其运算的坐标表示 空间向量的应用 第二章 直线与圆的方程 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 内容简 介 直线的倾斜角与斜率 直线方程 直线的交点坐标与距离公式 圆的方程 直线与圆、圆与圆的位置关系 第三章 圆锥曲线的方程 3.1 椭圆 3.2 双曲线 3.3 抛物线 言 问题 1 章前引 用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥 , 截口 曲线 ( 截面与圆锥侧面的交线 ) 是一个什么图形？ 答案：截口曲线是一个圆 . 问题 2 如果改变圆锥的轴与截平面所成的角 , 那么 会得到怎样的曲线呢 ? 答案：它们分别是抛物线、椭圆和双曲线 . 我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲 第三章 圆锥曲线的方程 3.1 椭圆 3.2 双曲线 3.3 抛物线 言 章前引 本章主要学习内容 • 采用坐标法，在探究圆锥曲线几何特征的基础上， 建立椭圆、双曲线、抛物线的方程 • 通过方程研究椭圆、双曲线、抛物线的性质 • 解决与圆锥曲线有关的几何问题和实际问题 • 进一步感受数形结合的思想方法，体会坐标法的魅 力与威力 . 高二数学 选择性必修 1 第三章 圆锥曲线的方程 3.1 椭圆 3.1.1 椭圆及其标准方程 3.1.2 椭圆的简单几何性质 3.1.1 椭圆及其标准方程 M F1 F2 入 复习引 问题 1 ：圆是如何定义的？ 平面内与定点距离等于定长的点的集合 ( 轨 迹 ) 叫做圆 . 问题 2 ：写出圆的方程？ 标准方程：( x  a) 2  ( y  b) 2 r 2 x  y r 2 2 y y 2 问题 3 ：回忆圆的画法 O OC r x x 数学实验 [1] 取一条细绳， [2] 把它的两端固定在板上的两点 F1 、 F2, [3] 用铅笔尖（ P ）把细绳拉紧，在板上慢慢 移动看看画出的图形 M F1 F2 根据刚才的实验请同学们回答下面几个问 题： 数 学 观 察 1. 在画椭圆的过程中，细绳的两端的位 置是固定的还是运动的？ 2. 在画椭圆的过程中，绳子的长度变了 没有？说明了什么？ 3. 在画椭圆的过程中，绳子长度与两定 点距离大小有怎样的关系？ M F1 F2 1. 改变两图钉之间的距离，使其 与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗 ？ 2 ．绳长能小于两图钉之间的距离吗？ 结论 动点： P 与两个定点 F 1 ， F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是 什么？ ①|PF1|+|PF2|= 常数（大于 |F1F2| ）：轨迹为椭圆 ； ②|PF1|+|PF2|= 常数（等于 |F1F2| ）：轨迹为线段 ； P. ③|PF1|+|PF2|= 常数（小于 |F1F2| ）：轨迹不存在 F F 1. 椭圆的定 义平面内与两个定点 F1 ， F2 的距离之和等于 1 2 常数（大于 |F1F2| ）的点的轨迹叫做椭圆 . 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做 椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距 . 1. 椭圆的定 义平面内与两个定点 F1 ， F2 的距离之和等于 常数（大于 |F1F2| ）的点的轨迹叫做椭圆 . 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做 M 椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距 . 注意 : 2c F1 （ 1 ）两个定点间的距离 --- | F1F2 |=2c （ 2 ）与两个定点 F1,F2 的距离的和等于常数 ---| MF1 |+|M F2 |=2a （ 3 ） 2a>2c F2 求曲线方程的基本步骤 坐标法： 01 02 03 04 05 建系 设点 列式 化简 验证 第一步： 如何建立适当的坐标系呢？ y y 数 学 推 M y F2 M F1 O y y O O OF2 xx x x 方案一 O x F1 方案二 原则： ( 对称、“简洁” ) 取过焦点 F1 、 F2 的直线为 x 轴，线段 F1F2 的垂直 平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系 ( 如图方案 一 ). 设 M(x, y) 是椭圆上任意一点，椭圆的两个 焦点分别为 F1 和 F2 ，椭圆的焦距为 数 学 推 2c(c>0) ， M 与 F1 和 F2 的距离的和等于 2a 由椭圆的定义 (2a>2c>0) ( 限 ) P  M MF1  MF2  2a (2a  2c) Q  MF1   x  c MF2   x  c  x  c 2 y  2 2 2  c, 0  y2 y F1 o 2  x  c y 2  y 2  2a M x , y   c, 0 F2 x   x  c 2 y  2  x  c 2  y 2  2a 2 2 2 2 2 2 2 移项后平方 ( x  c )  y 4a  4a ( x  c )  y  ( x  c )  y 2 2 a  cx a ( x  c )  y 2 两边再平方，得 a 4  2a 2 cx  c 2 x 2 a 2 x 2  2a 2cx  a 2 c 2  a 2 y 2 整理得 ( a 2  c 2 ) x 2  a 2 y 2 a 2 ( a 2  c 2 ) 由椭圆定义知2a  2c , 即a  c , 所以a 2  c 2  0. 令a 2  c 2 b 2 (b  0), 代入上式得 b 2 x 2  a 2 y 2 a 2 b 2 两边除以a 2 2 b ,得 x2 y2  2 1( a  b  0). 2 a b 简洁、美观 、对称、和 谐