2021—2022 学年第一学期期中考试 高一数学试题 时间：150 分钟 分值：150 分 第Ⅰ卷（60 分） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一项符合要求． 1．若 a � 1,3, a 2  ，则 a 的可能取值有（ A．0 B．0，1 2．已知集合 ） C．0，3 D．0，1，3 A   x 2  x  1 ， B   x x �2 ，则集合  x x �2或x �1  （ A． A �B B． A �B C． � R  A �B   D． ） � R  A �B   2 x 3  x  2 ，则不等式 ax 2   a  b  x  c  2a  0 的解集为（ 3．若不等式 ax  bx  c  0 的解集为 ） A．  x 4  x  2 B．  x  x  4或x  2 C．  x 2  x  4 D．  x x  2或x  4 4．已知函数 A． f  x   ax 5  bx 3  cx  1 6 B． 5 5．下列命题为假命题的是（ A．若 ac 2  bc 2 ，则 ，则 f  2  4 （ D． ） 3 ） B．若 C．若 a  b  0 ，则 a  ab  b �1 a 2  b2 ，则 a 3  b3 1 1  D．若 ab  0 ， a  b ，则 a b 2 6．设幂函数 f  x  的图像经过点 � �2 A． f  2   5 C． ab 2 ，若 � , 2� 1 �，若实数 m  1 ，则 f  m  与 f  m  的大小关系是（ f  m 1   f  m  B． f  m 1   f  m  C． f  m 1   f  m  D．以上都有可能 1 2  4 7．已知 x ， y 均为正实数，且 x y ，若 2x  y  m 2  m 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ A． ） m  2 或 m 1 B． 2  m  1 C． m  1 或 m2 D． 1  m  2 ） 8．已知奇函数 f  x  在区间  0, � 单调递减，且 f  2   0 ，则不等式 A．  2, 0  � 2, � B．  �, 2  � 0, 2  C．  �, 2  � 2, � f  x  f  x 0 的解集为（ x3 D． ）  2, 0  � 0, 2  二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分． 9．已知函数 f  x    x 2  2  a  1 x  2 项是命题 p 成立的充分不必要条件（ A． a �5 B． f  x  �,3 上是增函数”．下列哪些选 ，命题 p 为：“函数 在区间 ） a �4 C． a �5 D． a �6 x a, a �b � �1 � max a , b    � g  x   1  � �， x 10 ． 对 于 任 意 实 数 ， ， 定 义 b, a  b ， 若 函 数 f  x   1  2 ， �2 � a b � F  x   max  f  x  , g  x   A．函数 F  x C．方程 F  x  11．若 a0 ，则下列说法正确的是（ 是奇函数 ， B．函数 1 2 有两个解 b0 ，且满足 ） F  x 是偶函数 D．函数 F  x  的最大值为 1 ab  2 ，则下列说法正确的是（ ） a  b 有最小值 2 A． ab 有最大值 2 B． 1 1  C． a b 有最小值 2 D． a 2  b 2 有最小值 2 12．符号  x 表示不超过 x 的最大整数，如 以下结论正确的是（ A．函数 f  x C．方程 f  x   0.5  5.1  5 ，  3.14  3 ，  3.14  4 ，定义函数 f  x   x   x  ， ） 的定义域是 R ，值域为 有无数个解  0,1 B．函数 f  x 是偶函数 D．函数 f  x 是增函数。 第Ⅱ卷（90 分） 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知函数 f  x   2a 2 x  2  1 ，（ a  0 且 a �1 ）的图像恒过点 P ，则点 P 的坐标是______． x �1 � x 14．已知函数 f  x   �2 � 2 ，若 f  1  m   f  2m  1 �0 ，则实数 的取值范围是______． �� m 15．已知函数 f  x   3x  m 在区间  2, � 上单调递增，则 m 的取值范围是______． �x  1, x �0 f x    � 16．已知函数 ，若方程 f  x   m 有两个不同的实数根，则 m 的取值范围是______；若 � x, x  0 f  a  f  b 且 a �b ，则 a b 的取值范围是______．（本题第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题：本题共 6 小题，17 题 10 分，其余每题 12 分，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤． 17．（10 分）化简下列格式： 1 3 7 3 3   2  （1） 3 0.027 8 9    0 3 2 ； 1 � 23 1 �2  12 13 m � n �� m � n � � （2） � ． 6 5 m� n A   x 3 �x  7 ， B   x �Z 2  x  10 ， C   x �R x  t或x  t  1 ． 18．（12 分）集合 （1）  �A �B ； R （2）若 A �C  R t ，求实数 的取值范围． x 3 �0 2 2 p q 19．（12 分）设命题 ：实数 x 满足 x  4ax  3a  0 ；命题 ：实数 x 满足 x  2 ． x （1）解关于实数 不等式 x 2  4ax  3a 2  0 ； （2）若 q 是 p 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围． �1 � 3 ax  3b f � � f x    20．（2 分）已如函数 1  x 2 是定义在区间  1,1 上的奇函数，且 �3 � 10 ． （1）求函数 f  x 的解析式； （2）判断并证明 f  x 在区间  1,1 上的单调性； � 3� f� 2t   f  2t   0 （3）若实数 t 满足 � 2 � ，求 t 的取值范围． � 21．（12 分）某服装厂为扩大生产增加收益，新引进了一套某种服装的生产设备，用该设备生产制作服装每 t 月的成本 （单位：元）由两部分构成：①固定成本（与生产服装的数量无关）： 料成本： 100 x  2 �105 元；②生产所需材 x2 20 （单位：元）， x 为每月生产服装的件数． （1）用该设备生产服装，每月产量 x 为何值时，平均每件服装的成本最低，每件的最低成本为多少？ （2）若每月生产 x 件服装，每件售价为： 360  x 10 （单位：元），假设每件服装都能够售出，则该企业应 如何制定计划，才能确保该设备每月的利润不低于 4 万元？ 22．（12 分）已知函数 （1）若 （2）若 f  x   a x  ax （ a  0 ，且 a �1 ）． �1 � f � � 3 �2 � ，求 f  1 的值； f  2  15 4 ，求函数 f  x  的解析式； （3）在（2）的条件下，设 g  x   a 2 x  a 2 x  bf  x  ，（ x � 0,1 ， b �R ），若函数 g  x 7 4 ，求实数 b 的值． 2021—2022 学年第一学期期中考试高一数学试题参考答案 一、单选题： 1．C；2．D；3．A；4．D；5．B；6．A；7．D；8．C 二、多选题： 9．CD；10．BC；11．CD；12．AC 三、填空题： 3 � � ,1� � 13．  1,3 ；14． m �2 ；15． m �6 ；16． 0  m �1 ； � 4 � 三、解答题： 的最小值为 5 1 17．（1） 2 ；（2） m ； 18．解：（1） B   x �Z 2  x  10   x �Z 3, 4,5, 6, 7,8,9 ，所以  � R A  �B   7,8,9 ． t �3 � � （2）因为 t  1  7 ，解得： 3 �t  6 ． A �C  R ， C   x �R x  t或x  t  1 ，所以 � a 所以实数 的取值范围是： 19．解：（1）令 3 �t  6 x 2  4ax  3a 2  0 ． 得 xa 或 当 a  0 时， a  3a ，所以不等式的解集为： 当 a0 时， a  3a ，所以不等式的解集为： 当 a  0 时， a  3a ，所以不等式的解集为： （2）若命题 q 成立，则 x 的取值集合为： x  3a ；  x a  x  3a ； � ；  x 3a  x  a ；  x 2  x �3 ；   x a  x  3a ，且满足 因为 q 是 p 的充分不必要条件，所以 a  0 ，即命题 p 成立时 x 的取值集合为： 0  a �2 � �  x 2  x