泰安第十九中学 2021 级期中考试数学试题 2021.11 一、单选题 1. 直线 x  3 y  3  0 的倾斜角为（ B． 60� A． 30� 2．椭圆 ） x2  2 y2  4 A．  2, 0 C．  6, 0 的焦点坐标为（  ，  2, 0  ，  6, 0 3．已知直线 C．120� ）   y  xm 与圆 A．3 或 1 B．1 或 3 D． 150� ( x  2) 2  ( y  3) 2  2 B．  0, 2  ，  0,  2  D．  0, 6  ，  0,  6  相切，则 m 的值为（ ） D． 4 或 0 C．0 或 4 uuur r uuur r uuur r OA  a ， OB  b ， OC  c ，点 M 在 4．如图所示，空间四边形 OABC 中， OA 上，且 uuuur uuur OM  2MA ， N 为 BC 中点，则 uuuu r MN 等于（ ） 1r 2r 1r A． a  b  c 2 3 2 2r 1r 1r B．  a  b  c 3 2 2 1r 1r 2r C． a  b  c 2 2 3 2r 2r 1r D． a  b  c 3 3 2 5．两平行直线 5 2 A． 2 l1 : x  2 y  10  0 B．3 ， l2 : 4 y  2 x  3 10  0 C． 5 之间的距离为（ ） D． 2 2 6．已知双曲线 C 的离心率 e  4 3 ，虚轴长为 2 7 ，则其标准方程为（ ） x2 y 2 A． 4  3  1 x2 y 2 x2 y 2   1 B． 4 3 或 3  4 1 x2 y 2  1 7 C． 9 x2 y2 y2 x2  1  1 7 7 D． 9 或 9 7．已知平面 P (1, 2, 1) A．1  的一个法向量是 到平面 C． 的距离是（ 3 2 B． 2 8．若圆 C 与圆 A．  ur m  (2, 1, 2) ，点 A(3, 4, 1) 是平面 内的一点，则点 ） C．2 ( x  2) 2  ( y  1)2  1 D． 2 2 关于直线 ( x  2)2  ( y  3)2  1 ( x  2) 2  ( y  3) 2  1 y  x 1 B． D． 对称，则圆 C 的方程是（ ( x  2)2  ( y  3)2  1 ( x  3)2  ( y  2)2  1 二、多选题 9．直线 y  ax   1 a 对应的图像不可能是（ ） A． B． C． D． 10．下列命题中，正确的有（ ） ur uur ur uu r n1 n2 n1 / / n2   / /   A． ， 分别是平面 ， 的法向量，若 ，则 ） B． ur n1 ， uu r n2 ur uu r n� n 0    分别是平面  ， 的法向量，若 1 2 ，则 r n  r n  C． 是平面 D． 是平面 r a l 的法向量， 是直线 的方向向量，若 r r n� a0 ，则 l / / r r � n, a� 120�  l 的法向量， 是直线 的方向向量，若 ，则 与平面 所成角为 r a l 60� x2 y2   1 m �R  11．已知曲线 C 的方程为 m  1 3  m ，则（ ） A．当 m  1 时，曲线 C 为圆 B．当 m  5 时，曲线 C 为双曲线，其渐近线方程为 y� 3 x 3 C．当 m >1 时，曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆 D．存在实数 m 使得曲线 C 为双曲线，其离心率为 12．如图，四棱柱 ABCD  A1B1C1D1 的底面 ABCD 2 是正方形， O 为底面中心， A1O  平面 ABCD ， AB  AA1  2 .则下列说法正确的是（ ） A． uuur OB1   1, 0,1 B．平面 OBB1 的法向量 r n   0,1, 1 2 D．点 A 到平面 OBB1 的距离为 2 C． A1C  平面 OBB1 三、填空题 13．在空间直角坐标系中，点 A 的坐标 (1, 1, 2) B ，点 的坐标 (3, 1, 1) ，则 uuur | AB | ____. x2  y2  1 14．双曲线 4 的焦距为___________. 15．已知点 A  3, 2  ， B  5, 4  ，则以线段 AB 为直径的圆的方程是___________. _______ 16．设 P 是椭圆 uuu r uuur PE � PF M: x2 2 2  y2  1 2 上的任一点， EF 为圆 N : x   y  2   1 的任一条直径，则 的最大值为___________. 四、解答题 2x  y  3  0 4x  3 y  5  0 x y2 0 l 17．已知直线 经过两条直线 和 的交点，且与直线 垂直，求直线 l 的方程 18．如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD  A1 B1C1D1 中，E，F 分别为 DD1 ，BD 的中点，点 G 1 在 CD 上，且 CG  CD ． 4 （1）求证： EF  B1C ； （2）求 EF 与 CG 所成角的余弦值． x2 y 2  1 19.已知椭圆 16 ，求以 P(2,-1)为中点的弦所在直线方程。 4 x2 y2 1   1(a  b  0) 0, 3 20．椭圆 a 2 b2 经过点 ，离心率为 2 ，左、右焦点分别为   F1 ( c, 0), F2 (c, 0) （1）求椭圆的方程 55 1 AB  l A，B （2）斜率为 2 的直线 与椭圆交于 两点，当 2 时，求直线 l 的方程  P  ABCD 21. 如图，四棱锥 面 ABCD ， （1）求直线 （2）若 PA  AB  6 AD AD  3 22．已知 C 为圆 与平面 中，底面 ，点 PBC ，求二面角 E 是棱 ABCD PB 为矩形， PA  底 的中点. 的距离； A  EC  D ( x  1)2  y 2  12 的平面角的余弦值. P 的圆心， 是圆 C 上的动点，点 M (1, 0) ，若线段 MP 的中 垂线与 CP 相交于 Q 点. （1）当点 P 在圆上运动时，求点 Q 的轨迹 N 的方程； （2）过点 于 E ， F (1, 0) O : x2  y2  2 Q l N A B 的直线 与点 的轨迹 分别相交于 ， 两点，且与圆 相交 两点，求 | AB | � | EF |2 的取值范围. 数学期中考试答案 2021.11 一、单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 A A A B A D C A 二、多选题 9 10 11 12 CD AB AB BCD 三、填空题 14. 2√5 13. 5 15. (x+1)2+(y-1)2=25 16. 8 四、解答题 2x  y  3  0 �x  2 � � � 4 x  3 y  5  0 ，得 �y  1 ，即两直线的交点为 (2,1) ， 17 由 � x y20 l l 因为直线 与直线 垂直，所以直线 的斜率为 1， 所以直线 l 的方程为 y  1  x  2 ，即 x  y  1  0 18．（1）建立以 D 点为坐标原点， DA, DC , DD1 间直角坐标系，如图所示， 1 1 1 则 E (0, 0, 2 ) ， F ( 2 , 2 ,0) ， B1 (1,1,1) ， C (0,1, 0) ， uuu r 1 1 1 uuur 则 EF  ( 2 , 2 ,  2 ) ， B1C  (1, 0, 1) ， uuur uuur 1 �1� uuur uuur EF � B1C  � 1  0  �  � � 1  0 2 � 2� 所以 ，即 EF  B1C ， 所以 EF  B1C . uuur 3 1 （2）由（1）知， G (0, 4 , 0) ， CG  (0,  4 , 0) ， x y z 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空 1 � 1� uuur uuur 0  �� � 0 uuur uuur EF � CG 3 2 � 4�  则 cos  EF , CG  uuur uuur  ， 3 | EF | � | CG | 3 1 � 2 4 �� 3 0, � � 2 因为 EF 与 CG 所成角的范围为 � �，所以其夹角余弦值为 3 . 19 平方差法 答案：x-2y-4=0 x2 y 2 1   1(a  b  0) 0, 3 20（1）因为椭圆 a 2 b2 经过点 ，离心率为 2 ，   c 1 所以 b  3 ， a  2 ， 因为 a 2  b2  c2 ，所以得 c  1, a  2 ， x2 y2  1 3 所以椭圆方程为 4 ， 1 （2）设直线 l 为 y   2 x  m ，设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ， 1 � y   xm � � 2 由 �x 2 y 2 ，得 ， �  1 �4 3 x 2  mx  m 2  3  0 由   m 2  4(m2  3)  0 由根与系数的关系得 因为 所以  AB  ，得 2  m  2 x1  x2  m, x1 x2  m 2  3 55 2 AB  1  1 �( x1  x2 ) 2  4 x1 x2 4 5 m 2  4(m 2  3) 2 ， ，  5