第二章 第四节 直线与圆锥曲线的位置关系 综合培优卷 一、单选题。本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，每小题只有一个选项符合题意。 y2  4x A, B x l A B 1．已知直线 与抛物线 交于 两点（点 在第一象限，点 在第四象限），与 轴交于点 M (m, 0) A． ，若线段 的中点的横坐标为 3，则 (0, 3] 2．已知以 （ A． AB B． F1 ( 2,0) ， (�,3] F2 (2,0) m 的取值范围是（ C． ） (0, 6] 为焦点的椭圆与直线 D． x  3y  4  0 (1,6] 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 ） 3 2 3．椭圆 B． C: 2 6 C． 2 7 D． 4 2 x2 y 2 1   1 a  b  0  a 2 b2 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ，斜率为 2 的直线 l 过左焦点 F1 且交 C 于 A ， 1 3� � e �� , � 2 4 �，则线段 AB 的长度的取值范围 � B 两点，且 VABF2 的内切圆的周长是 2 ，若椭圆 C 的离心率为 是（ ） � � 4 5 ,2 5� � A． � 3 � 4．已知抛物线 � � 8 5 , 4 5� � B． � 3 � y2  4x ，过焦点 F 作直线与抛物线交于点 对称，若直线 AB 的斜率为1 ，则直线 3 A． 3 5．已知点 E 是抛物线 �5 3 5� , � C． � 8 � �4 A1 B 的斜率为（ C : y 2  2 px  p  0  PF   �PE （点 A x 在 轴下方），点 A1 与点 A x 关于 轴 ） 2 C． 2 B． 3 线 C 上.在 △ EFP 中，若 A, B �5 3 5� , � D． � �8 16 � D． 2 的对称轴与准线的交点，点 F 为抛物线 C 的焦点，点 P 在抛物 ，则  的最小值为（ ） 2 A． 2 6．以 3 B． 2 F1 (1, 0), F2 (1,0) C． 2 x y3 0 为焦点且与直线 D． 3 有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是 x2 y 2  1 A． 20 19 x2 y 2 + =1 B． 9 8 x2 y 2  1 4 C． 5 x2 y 2  1 2 D． 3 x2 y2  1 7．椭圆 16 9 中，以点 M  1, 2  为中点的弦所在的直线斜率为（ A． 9 16 B． 8．已知 A、B 是抛物线 9 32 C．  y 2  2 px  p  0  9 32 D． ） 9 64 上的两点，直线 AB 垂直于 x 轴，F 为抛物线的焦点，射线 BF 交 4 5 抛物线的准线于点 C，且 AB  5 AF ， △ AFC 的面积为 2 5  2 ，则 p 的值为（ A． 2 B．1 C．2 ） D．4 二、多选题。本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，每小题有两项或以上符合题意。 x2 y 2  3 ＝1 的右焦点为 F，直线 y＝m（0＜m＜ 3 ）与椭圆交于 A，B 两点，下列结论正确 9．设椭圆 9 为（ ） A．|AF|+|BF|为定值 B．△ABF 的周长的取值范围是[6，12] 3 C．当 m＝ 2 时，△ABF 为直角三角形 D．当 m＝1 时，△ABF 的面积为 6 ． x2 y 2 10．设椭圆的方程为 2  4  1 ，斜率为 k 的直线 l 不经过原点 O ，且与椭圆相交于 A ， B 两点， M 为线 段 AB 的中点，则下列说法正确的是（ ） A． k AB � kOM  1 B．若点 M 坐标为  1,1 ，则直线 l 的方程为 2x  y  3  0 �1 4 � �, � C．若直线 l 的方程为 y  x  1 ，则点 M 坐标为 �3 3 � D．若直线 l 的方程为 y  x  2 ，则 11．过抛物线 A．以线段 AB y2  4x 的焦点 F AB  4 2 3 作直线交抛物线于 A B 3 为直径的圆与直线 x   2 相离 B．以线段 9 v时， AB  C．当 uuuv uuu 2 AF  2 FB 12．已知曲线 C ： x x  y y 1 M ， 两点， BM 为线段 AB 的中点，则（ ） 为直径的圆与 y 轴相切 D． AB 的最小值为 4 ，则下列结论正确的是（ ） A．直线 x  y  0 与曲线 C 没有公共点 B．直线 x  y  m 与曲线 C 最多有三个公共点 C．当直线 x y m 与曲线 C 有且只有两个不同公共点 P1  x1 , y1  ， P2  x2 , y2  时， x1 x2 的取值范围为 � 1� ��, � � 2� n D．当直线 x  y  m 与曲线 C 有公共点时，记公共点为 Pi  xi , y  (i �N * x ) ．则 � 的取值范围为  0, 2  i 1 i 三、填空题。本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．某同学在篮球场打球时，无意间发现当球放在地面上时，球的斜上方的一颗灯泡照过来的光线使得 球在地面上留下了影子，这个影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但自己还是不太确定这个想法，于是 他回到家里重新翻阅了教材，对椭圆这一节知识进行学习和思考，当他读到教材中的阅读材料后瞬间明 白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和球的接触点（切点）就是椭圆影子的焦点， 如图，地平面上有一个球，其中球的半径为 1 个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯 泡与地面的距离为 4 个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为 A，椭圆的顶点中到 A 点的距离最短时为 2 个单位长度，则这个椭圆的离心率为___________. 14．过抛物线 的射影分别为 D 15．已知椭圆 M y 2  2 px( p  0) ， C: C 3 的焦点作斜率为 ，若梯形 ABCD 的面积为 的直线，与该抛物线交于 10 3 ，则 p A B ， 两点， A B y ， 在 轴上 ______. x2 y2   1(a  b  0) a 2 b2 的离心率为 e ，直线 l : y  ex  a 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A ， B ， | AM | e | AB | C e l 是直线 与椭圆 的一个公共点，设 ，则该椭圆的离心率 ______. 16．在平面直角坐标系 xOy P 中， 为双曲线 x2  y 2  1 P 右支上的一个动点.若点 到直线 x  y 1  0 的距离 大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为___________. 四、解答题。本大题共 6 小题，共 70 分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。 y2 x2 1 17．已知椭圆 C： a 2 ＋ b 2 ＝1 经过点(0, 3 )，离心率为 2 ，直线 l 经过椭圆 C 的右焦点 F 交椭圆于 A、B 两点. （1）求椭圆 C 的方程； （2）若直线 l 交 y 轴于点 M，且 uuur MA ＝λ uuur AF ， uuur MB ＝μ uuur BF 是否为定值？若是，求出 λ＋μ 的值；否则，请说明理由. ，当直线 l 的倾斜角变化时，探求 λ＋μ 的值 18．已知双曲线两个焦点分别是    F1  2, 0 , F2 2, 0  ，点 P   在双曲线上. 2,1 （1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程； （2）过双曲线的右焦点 F2 且倾斜角为 VF1 AB 60� 的直线与双曲线交于 A，B 两点，求 的周长. 19．已知点 A(－1,0)，点 P 是⊙B：(x－1)2＋y2＝16 上的动点．线段 AP 的垂直平分线与 BP 交于点 Q． （1）设点 Q 的轨迹为曲线 C，求 C 的方程． l1 l2 l1 l2 （2）过 x 轴上一动点 R 作两条关于 x 轴对称的直线 与 ，设 M，N 分别是 ， 与曲线 C 的交点且 M，N 不关于 x 轴对称，MN 与 x 轴交于点 S， OS OR 是否为定值？若是定值，请求出定值，若不是定 值，请说明理由． uuu r uuur 2 P 3,0  OB  3 （ O 为 20．已知抛物线 E ： y  2 px  p  0  ，过点  的直线 l 交抛物线 E 于 A ， B ，且 OA � 坐标原点）． （1）求抛物线 E 的方程； （2）求三角形 AOB 面积的最小值． 21．如图，已知抛物线 A  x1 , y1  ， 积分别为 S1 B  x2 , y2  ， S2 y 2  2 px  p  0  两点，且 y1  0 ， 上一点 y2  0 M  2, m  到焦点 F 的距离为 3，直线 l 与抛物线交于 uuur uuur OB  5 （ O 为坐标原点），记△ ABF ，△ OAF 的面 ， OA � ． （1）求抛物线的方程； （2）设直线 l 为 x  ty  n ，求 n 的值； （3）求 S1  S2 的最小值． x2 y2  1 22．设 A ， B 为双曲线 C ： a 2 b 2 （ a  0 ， b  0 ）的左、右顶点，直线 l 过右焦点 F 且与双曲线 C 的右支交于 M ， N 两点，当直线 l 垂直于 x 轴时，△ AMN 为等腰直角三角形． （1）求双曲线 C 的离心率； （2）若双曲线左支上任意一点到右焦点 F 点距离的最小值为 3， ① 求双曲线方程； ② 已知直线 AM ， AN 分别交直线 x  a 于 ， 两点，当直线 l 的倾斜角变化时，以 PQ 为直径的圆是否 2 P Q 过 x 轴上的定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 参考答案 1．A 【解析】解：设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ，直线方程为 x  ty