5.7　三角函数的应用 基础巩固 1.如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置 O 的距离 s cm 和时间 t s 的 函数关系式为 s=6sin(100πt+ A. 1 50 B. 1 100 π ),则单摆摆动的频率为(　　) 6 C.50 D.100 2.弹簧上挂的小球做上下振动,它在时间 t(单位:s)时离开平衡位置的位移 s(单 π 位:cm)满足函数关系式 s=2sin t+ 4 衡位置上方 .给出下列三种说法:① 小球开始时在平 √ 2 cm 处;② 小球下降到最低点时在平衡位置下方 2 cm 处;③ 经过 ❑ 2π s 小球重复振动一次.其中说法正确的是(　　) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 3.已知函数 y=sin ax+b(a>0)的部分图象如图所示,则函数 y=loga(x+b)的图象可能 是图中的(　　) 4.一观览车的主架示意图如图所示,其中 O 为轮轴的中心,距地面 32 m(即 OM 的 长),巨轮的半径长为 30 m,AM=BP=2 m,巨轮逆时针旋转且每 12 min 转动一圈.若 点 M 为吊舱 P 的初始位置,经过 t min,该吊舱 P 距离地面的高度为 h m,则 h=(　 ) A.30sin C.30sin ( 12π t - π2 ) +30 ( π6 t - π2 ) +32 ( π6 t - π2 ) +30 π π D.30sin ( t - ) 6 2 B.30sin 5.设某人的血压满足函数式 p(t)=115+25sin 160πt,其中 p(t)为血压(单位:mmHg),t 为时间(单位:min),则此人每分钟心跳的次数是　　　　　. 6.已知某种交流电电流 I(单位:A)随时间 t(单位:s)的变化规律可以拟合为函数 I=5 π √ 2 sin 100 π t - 2 ❑ ( ) ,t∈[0,+∞),则这种交流电在 0.5 s 内往复运动的次数为　 . 7.已知某海滨浴场海浪的高度 y(单位:m)是时间 t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记作: y=f(t),下表是某日各时的浪高数据: t/h y/m 0 1.5 3 1.0 6 0.5 9 1.0 12 1.5 15 1.0 18 0.5 21 0.99 24 1.5 经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数 y=Acos ωt+b. (1)根据以上数据,求函数 y=Acos ωt+b 的最小正周期 T,振幅 A 及函数解析式; (2)依据规定,当海浪高度高于 1 m 时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断 一天内的 8:00 至 20:00 之间,有多少时间可供冲浪者进行运动? 能力提升 1.如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转 ⏜ 一周,点 P 所旋转过的 AP 的长为 l,弦 AP 的长为 d,则函数 d=f(l)的图象大致是 (　　) 2.已知动点 A(x,y)在圆 x2+y2=1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12 s 旋转一 周,且当 t=0 时,点 A 的坐标是 ( 1 ❑√ 3 , 2 2 ) ,则当 0≤t≤12 时,动点 A 的纵坐标 y 关于 t(单位:s)的函数的单调递增区间是(　　) A.[0,1] B.[1,7] C.[7,12] D.[0,1]和[7,12] 3.如图,半圆的直径为 2,A 为直径 MN 的延长线上一点,且 OA=2,B 为半圆上任意 一点,以 AB 为边作等边三角形 ABC.当∠AOB=x 时,S 四边形 OACB 等于(　　) A.sin x 5 ❑√ 3 √ 3 cos x+ 4 5 ❑√ 3 C.- ❑√ 3 cos x+ B.sin x- ❑ 4 D.sin x+ 5 ❑√ 3 √ 3 cos x- 4 ❑ 4.一种波的波形为函数 y=-sin π x 的图象,若其在区间[0,t]上至少有 2 个波峰 2 (图象的最高点),则正整数 t 的最小值是　　　　　. 5.在物理学中,把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距 离的运动称为“简谐运动”.可以证明,在适当的直角坐标系下,简谐运动可以用函数 y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中 A>0,ω>0.如图,在直角坐标系中,以原点 O 为圆 心,r 为半径作圆,A 为圆周上的一点,以 Ox 为始边,OA 为终边的角为 α,则点 A 的坐 标是　　　　　,从点 A 出发,以恒定的角速度 ω(单位:弧度/秒)转动,经过 t 秒转动 到点 B(x,y),动点 B 在 y 轴上的投影 C 做简谐运动,则点 C 的纵坐标 y 与时间 t 的 函数关系式为　　　　　　　　. 6.已知某游乐园内摩天轮的中心点 O 距离地面的高度为 50 m,摩天轮做匀速转动, 摩天轮上的一点 P 自最低点 A 起,经过 t min 后,点 P 的高度 h=40sin ( π6 t - π2 ) +50(单位:m),则在摩天轮转动一圈的过程中,点 P 距离地面的高度不低于 70 m 的 时间将持续　　　　　 min. 7.如图所示,某市拟在长为 8 km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一 部分为曲线段 OSM,该曲线段为函数 y=Asin ωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的图象,且图象 的最高点为 S(3,2 ❑ √ 3 );赛道的后一部分为折线段 MNP.为保证参赛运动员的安 全,限定∠MNP=120°,求 A,ω 的值和 M,P 两点间的距离. 参考答案 基础巩固 1. C 2. D 3. A 4. B 5. 80 6. 25 7. 解(1)由题表中数据知周期 T=12, ∴ω= 2 π 2π π = = , T 12 6 由 t=0,y=1.5,得 A+b=1.5. 由 t=3,y=1.0,得 b=1.0. ∴A=0.5,b=1,∴y= 1 π cos t+1. 2 6 (2)由题意知,当 y>1 时才可对冲浪者开放, ∴ 1 π π cos t+1>1,∴cos t>0, 2 6 6 ∴2kπ- π π π < t<2kπ+ ,k∈Z, 2 6 2 即 12k-3<t<12k+3,k∈Z. ∵8≤t≤20,∴9<t<15.∴在 8:00 至 20:00 之间,有 6h 可供冲浪者进行运动. 能力提升 1. C 2. D 3. B 4. 7 5. (rcos α,rsin α)　y=rsin(ωt+α) 6. 4 7. 解设函数的最小正周期为 T,依题意,有 A=2 故 T=12,又 T= ∴ω= π . 6 ∴y=2 ❑ 2π , ω π √ 3 sin 6 x. 当 x=4 时,y=2 2π √ 3 sin 3 =3, ❑ ∴M(4,3). 又 P(8,0), ∴MP= √ 4 2+3 2 ❑ =5(km). ❑ √3 , T =3, 4