专题 7：椭圆中的定点问题 1．已知椭圆 E: x2 y 2   1( a  b  0) ，点 M a 2 b2   2,1 在椭圆上，椭圆 上 E 存在点 N 与左焦点 F 关于直线 y  x 对称 （1）求椭圆 E 的方程； （2）若 A ､ B 为椭圆的左､右顶点，过点 T (4, m)( m �0) 的直线 TA ， TB 与椭圆相交于点 P ､ Q 两点，求证：直线 PQ 过定点，并求出定点坐标. 2．已知椭圆 C1 : x2 y 2 �3� M� 1,  2  1( a  b  0) 2 经过点 � 2 � �，且其右焦点与抛物 a b 2 线 C2 : y  4 x 的焦点 F 重合，过点 F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆 交于 P ， Q 两点． （1）求椭圆 C1 的方程； （2）设 O 为坐标原点，线段 OF 上是否存在点 N (n,0) ，使得 uuur uuur uuur uuur QPgNP  PQgNQ ？若存在，求出 n 的取值范围；若不存在，说明理由； （3）过点 P0 (4, 0) 且不垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A ， B 两点，点 B 关于 x 轴的对称点为 E ，试证明：直线 AE 过定点． x2  y2  1 3．已知椭圆 Γ： 4 ，斜率为 k 的直线 l 与椭圆 Γ 有两个不同 的公共点 A、B，Γ 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 . （1）若直线 l 经过点 F1 ，求 VABF2 的周长； P 4,0  （2）若 k  1 ，求 VAOB 面积的取值范围；（3）若 k  1 ，  ， 直线 PA 与椭圆 Γ 的另一个交点为 C，直线 PB 与椭圆 Γ 的另一个交点 为 D，求证：直线 CD 过定点，并求出定点的坐标. 4．已知椭圆 : x2 y2   1( a  b  0) a 2 b2 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，离心率 2 为 2 ，M 是椭圆上的动点， △ MF1F2 的最大面积为 1． （1）求椭圆  的方程； （2）求证：过椭圆 : x2 y 2   1( a  b  0) a2 b2 上的一点 T  x0 , y0  的切线方程 x� x0 y � y  2 0 1 2 为： a ； b （3）设点 P 是直线 l : x  2 上的一个动点，过 P 做椭圆  的两条切线， 切点分别为 A，B，则直线 AB 是否过定点？若是，求出这个定点坐 标，否则，请说明理由． x2 5．已知椭圆 C： 2 ＋y2＝1 的右焦点为 F，过点 F 的直线(不与 x 轴 重合)与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l：x＝2 与 x 轴相交于点 H， 过点 A 作 AD⊥l，垂足为 D. （1）求四边形 OAHB(O 为坐标原点)的面积的取值范围. （2）证明：直线 BD 过定点 E，并求出点 E 的坐标. 6．已知椭圆 C: x2 y2 1  2  1 a  b  0  2 2, 0   过点 ，离心率为 a b 2. （1）求椭圆 C 的方程； （2）设点 M 为椭圆 C 的上顶点， A 、 B 是椭圆 C 上两个不同的动点 （不在 y 轴上），直线 MA 、 MB 的斜率分别为 k1 、 k2 ，且 k1k2  3 ，求 � 5 � x2 y 2 N� 0,  3� M : 2  2  1 a  b  0  证：直线 AB 过定点 � 3 �.7．已知椭圆 过 a b A  2, 0  B 0,1 、   两点. （1）求椭圆 M 的离心率； （2）设椭圆 M 的右顶点为 C ，点 P 在椭圆 M 上（ P 不与椭圆 M 的顶 点重合），直线 AB 与直线 CP 交于点 Q ，直线 BP 交 x 轴于点 S ，求证： 直线 SQ 过定点. 8．已知 F 是椭圆 C: x2 y 2   1 a  b  0  的左焦点，焦距为 4 ，且 C 过 a 2 b2 点 P  3,1 . （1）求 C 的方程; （2）过点 F 作两条互相垂直的直线 l1 , l2 ，若 l1 与 C 交于 A, B 两点， l2 与 C 交于 D, E 两点，记 AB 的中点为 M , DE 的中点为 N ，试判断直线 MN 是否过定点，若过点，请求出定点坐标;若不过定点，请说明理 由. x2  y 2  1 a  1 9．如图，已知椭圆 C ： a 2 的左焦点为 F ，直线 3 uuu r uuu r k y  kx  k  0  与椭圆 C 交于 A ， B 两点，且 FA � FB  0 时， 3 . （1）求 a 的值； （2）设线段 AF ， BF 的延长线分别交椭圆 C 于 D ， E 两点，当 k 变 化时，直线 DE 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点， x2 y 2 3 C : 2  2  1 a  b  0  请说明理由.10．已知斜率为的 4 的直线 l 与椭圆 a b D 11 , 交于点 A, B ，线段 AB 中点为  ，直线 l 在 y 轴上的截距为椭圆 C 7 的长轴长的 16 倍. （1）求椭圆 C 的方程； （2）若点 P, Q, M , N 都在椭圆上，且 PQ, MN 都经过椭圆 C 的右焦点 F ， 设直线 PQ, MN 的斜率分别为 k1 , k2 ， k1  k2  1 ，线段的中点分别为 G, H ，判断直线 GH 是否过定点，若过定点.求出该定点，若不过定 点，说明理由. x2  y2  1 11．在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C ： 3 的左顶点为 A ，点 P Q C 、 是椭圆 上的两个动点． （1）当 P 、 O 、 Q 三点共线时，直线 PA 、 QA 分别与 y 轴交于 M ， N 两点，求 uuuu r uuur AM � AN 的值； （2）设直线 AP 、 AQ 的斜率分别为 k1 ， k2 ，当 k1k 2  1 时，证明：直 线 PQ 恒过一个定点 R ． x2 y 2 C:   1(a  b  0) 12．已知：椭圆 a 2 b2 的左右焦点为 F1 ､ F2 ，椭圆 C 截 直线 x  c 所得线段 MN 的长为 2 ，三角形 △ F1MN 的周长为 4 2 . （1）求 C 的方程； （2）若 A ， B 为 C 上的两个动点，且 �AF2 M  �BF2 M .证明：直线 AB 过定点，并求定点的坐标. 13．已知椭圆 圆x 2 C: x2 y 2 1  2  1 a  b  0  2 的离心率为 a b 2 ，直线 y  x  6 与  y 2  b2 相切. （1）求椭圆 C 的方程； （2） 若直线 l : y  kx  m 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点（ A 、 B 不是左、右 顶点），且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点，证明：直线 l 过定 点，并求出该定点坐标． x2 y2   1 a  b  0 14．已知 P  0,1 为椭圆 a 2 b 2  上的一点，焦距长为 2． PA 、 PB 为椭圆的两条动弦，其倾斜角分别为  ，  ，且 0     π 4（ π π 0  4， 4 ）． （1）求椭圆的标准方程； （2）探究直线 AB 是否过定点．若过定点，求出定点坐标；若不过 定点，请说明理由． 3 x2 y 2 15．已知椭圆 C : a 2  b2  1(a  b  0) 的离心率为 2 ，且经过点 A(2, 0) . （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）不过点 A 的直线 l 与椭圆交于 P, Q 两点，以线段 PQ 为直径的圆 经过点 A ，证明：直线 l 过定点. 参考答案，仅供参考哦 x2 y2  1 1．（1） 4 2 ；（2）定点坐标 (1, 0) . �2 1 �a 2  b 2  1 � 【分析】（1）先写出 的坐标，得 ，再联立方程 � a 2  b2  c 2 ， � � N bc � bc 解方程即可； m y  ( x  2) P ( x , y ) Q ( x , y ) 6 （2）设 1 1 ， 2 2 ，设 TA 方程和 TB 方程分别为 、 y x2 y2 m  1 ( x  2) ，将它们分别与椭圆方程 4 2 联立，得到 PQ 方程， 2 进而求出定点. 【解析】（1）由题意可得：左焦点 F ( c,0) 关于直线 y  x 对称点 N (0, c ) ； �2 1 �a 2  b 2  1 � a2  4 � � �2 2 2 解得 �b 2  2 所以椭圆的方程： x 2 y 2 ； a  b  c � �c 2  2  1 � � � bc 4 2 （2）由题意可知 A(2, 0) ， B(2, 0) 同时直线 TA, TB 斜率存在且不为零， l AT : y  可得 x2 y2 m ( x  2)  1 与椭圆 4 2 交于 A ，设 P( x1 , y1 ) ， 6 (1  m 2 2 2m 2 2m 2 4m 2  72 )x  x  4  0 2 � x1  18 9 9 18  m 2 ， 36  2m 2 12m  x1  ，y1  2 18  m 18  m 2 ， lBT m x2 y2 : y  ( x  2)  1 与椭圆 4 2 交于 B ，设 Q( x2 , y2 ) ， 2 � m2 �2 4m 2  8 1 x  2m 2 x  2m 2  4  0， � �  2 � x  可得 � 2 � ， 2 2  m2  x2  2m 2  4 4m ，y2  2 2m 2  m2 ， 当 x1 �x2 时，直线 y PQ : y  y2  y1  y2 ( x  x1 ) x1  x2 ， 4m 4m 2m 2  4  ( x  ) m2  2 6  m2 m2  2 ， 令 y  0 时， x  1 ， 36-2m 2 2m 2  4  当 x1  x2 时， m 2  18 m 2  2 ， m2  6，x1  x2  1 ，  直线 PQ 恒过点