2021-2022 学年高考数学第一轮考点专题练习（人教 A 版 2019） 第 4 练 指对幂函数 时间：90 分钟，满分：150 分 一、单选题（共 8 小题，每题 5 分，四个选项中只有一个符合要求）（共 40 分） g  x   2x f  x   2 log 4 x 1．(本题 5 分)函数 与函数 的图象（ ） A．关于 x 轴对称 B．关于 y 轴对称 2．(本题 5 分)若函数 A． g  x   ax 2  bx  c D．关于直线 y  x 对称 C．关于原点对称 的图象如图所示，则函数 B． y  log 0.3 g  x  C． 3．(本题 5 分)以下四种说法中，正确的是（ 的图象大致是（ ） D． ） A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．对任意的 C．对任意的 D．一定存在 x0 x0 x0 ， ， ，当 x a  log a x a x  log a x x  x0 ， a 1 ， n0 时，总有 a x  x n  log a x 4．(本题 5 分)据统计，第 x 年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量 y（只）近似满足 观测发现第 1 年有越冬白鹤 3000 只，估计第 7 年有越冬白鹤（ A．4000 只 B．5000 只 C．6000 只 ） D．7000 只 5．(本题 5 分)已知 f(x)＝a－x(a>0，且 a≠1)，且 f(－2)>f(－3)，则 a 的取值范围是（ A．a>0 B．a>1 C．a<1 D．0<a<1 ） y  a log 3  x  2  ， � a x , x �1 � f  x  � � a� 6．(本题 5 分)已知函数 ，都有 4  �x  2, x  1 ，若对任意的 ， ，且 � � x1 x2 x1 �x2 � 2� � f  x1   f  x2  x1  x2 A． 0 成立，则实数 a 的取值范围是（  1, � B．  1,8 7．(本题 5 分)下列函数既是奇函数，又在 A． f  x   sin x C． f  x   1 x x  e e  2 C．  1,1 ）  4,8 D． 上单调递增的是（ B． f  x   ln e x e x D． f  x   ln   4,8 ）． x2  1  x  1 2� � , � 2 3� 8．(本题 5 分)已知函数 f  x   log a  2 x  a  区间 � �上恒有 f  x   0 ，则实数 a 的取值范围是（ �1 � � ,1 � A． �3 � 1 � � ,1� � 3 � B． � �2 � � ,1� C． �3 � ） 2 � � ,1� � 3 � D． � 二、多选题（共 4 小题，每题 5 分，四个选项中有多个符合要求）（共 20 分） 9．(本题 5 分)（多选）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（ ） 1 A．  x    x  2  x  0   C． 1 2 x 2 y3  3 y2 x  x  0, y  0  1 2 B． 6 y  y 3  y  0  D． x  1 3   3 x  x  0 10．(本题 5 分)（多选）下列各组数符合分数指数幂的定义，且值又相等的是（ 1 2 A．  1 3 和  1 6  1 1 B． 0 2 和 0 2  C． 1 22 和 1 44 ） 1 �1 �4 D． 14 和 �3 � �� 3 a b �1 � �1 � � � � 11．(本题 5 分)（多选）已知实数 a，b 满足等式 � �2 � �3 �，则下列关系式中不可能成立的是（ ） A． 0  b  a B． a  b  0 C． 0  a  b D． b  a  0 12．(本题 5 分)（多选）设函数 f  x 的定义域为 R ，对于给定的正数 k ，定义函数 �f  x  , f  x   k fk  x   � ．若函数 f  x   2 x ，则（ k , f  x  �k � A． C． f 3  2   4 f2  x  B． 为偶函数 D． ） f2  x  在 f4  x   �, 1 上单调递减 最大值为 2 三、填空题（共 4 小题，每题 5 分，把答案填在题中横线上）（共 20 分） 1.5 1.6 13．(本题 5 分)比较大小：1.5 ______ 1.6 ． 2 8 14．(本题 5 分)若代数式 3 x  1  3  x 有意义，则 9 x  6 x  1  3 �  x  3  ______． 8 15．(本题 5 分)若 a  0 且 a �1 ，则函数 16．(本题 5 分)已知函数 f  x   log 2 x f  x   a 2 x4  3 的值域为 的图象恒过的定点的坐标为______． [ 0,1] ，定义域为 [ a, b] ，则 b  a 的最大值为______. 四、解答题（本大题共 6 个大题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（共 70 分） 1  a   1  a    a k  1 17．(本题 10 分)证明：当 0  a  1 ， k  0 时，  ． k 1 18．(本题 12 分)已知 a 2  a  1 2  4 ，求下列各式的值： 3 （1） a  a 1 ；（2） 1 a4  a  1 4 ；（3） a2  a 1 a2  a  3 2  1 2 ． k k 19．(本题 12 分)已知函数 （1）写出函数 g  x f  x  ax （ a  0 且 a �1 ）， g  x 为 f  x 的反函数. 的解析式； （2）解关于 x 的不等式 g  x   log a  2  3 x  �0 . ax 20．(本题 12 分)已知函数 y  a x （ a  0 ，且 a �1 ）在  1, 2 上的最大值与最小值之和为 20，记 f  x   a x  2 ． （1）求 a 的值； （2）求证： f  x  f  1 x 为定值； �1 � �2 � �2020 � f� � � f� � f � � � � �2021 �的值． （3）求 �2021 � �2021 � 21．(本题 12 分)已知函数 （1）求函数 f  x （2）判断函数 （3）已知 f  x   ln  e  x   ln  e  x  ， e 为自然对数的底数. 的定义域； f  x 的奇偶性，并证明你的结论； f  1  2m   f  m  �0 ，求实数 m 的取值范围. 22．(本题 12 分)已知函数 （1）当 a  f  x   log a  a x  1 （ a  0 ，且 a �1 ）. 1 时，求函数 f  x  的定义域； 2 （2）求关于 x 的不等式 f  x   f  1 （3）当 a  2 时，若不等式 的解集； f  x   log 2  1  2 x   m 对任意实数 x � 1, 3 恒成立，求实数 m 的取值范围. 参考答案 1．D 【解析】解： f  x   2log 22 x  log 2 x 与 g  x   2x 互为反函数，所以它们的图象关于直线 yx 对称. 故选：D. 2．C 【解析】解：由函数 因为对数函数 g  x y  log 0.3 t 的图象，可知 是减函数，所以 g  x  �1 ，函数 g  x y  log 0.3 g  x  �0 数，即只有 C 满足条件． 故选：C． 3．D 1 【解析】A.如函数 y  x 2 和 y  2 x  1 ，的图象如图所示： 由图象知：错误； 1 B.当 a 1 y  x 2 , y  log 1 x 的图象如图所示： 2 时， 2 由图象知：错误； x �1 � 1 y  � �, y  log 1 x a  C. 当 的图象如图所示： �2 � 2 时， 2 在  �,1 ，且在 上是减函数，在  �,1  1, � 上是增函数， 上是增函数，在  1, � 上是减函 由图象知：错误； D. 当 a  2, n  1 时， y  2 x , y  x, y  log 2 x 的图象如图所示： ， 由图象知：正确； 故选：D． 4．C 【解析】当 x  1 时，由 所以当 x  7 时， 3000  a log 3  1  2  y  3000 �log 3  7  2   6000 故选：C 5．D 【解析】解析：∵f(－2)＝a2， f(－3)＝a3． f(－2)>f(－3)，即 a2>a3，故 0<a<1． 故选：D 6．D ，得 a  3000 ， ． 【解析】由 f  x1   f  x2  x1  x2 � � a 1 � � a 4  0 ，可知 在 上呈增函数，所以 � 2 ，解得 ． � a � 0 a �4   2 � f  x R 2 � 4 �a  8 故选：D. 7．C 【解析】对于 A， f  x   sin x ，其定义域为 R ，为偶函数，不符合题意； e x e x ex 对于 B， f  x   ln e  x ，其定义域为  e,e  ，有 f   x   ln e  x   ln e  x   f  x  ，为奇函数，设 t ex 2e e x  1  f  x  